第十九講數學文化與核心素養(yǎng) 總綱目錄 考向四概率中的數學文化 考向五推理與證明的數學文化 考向一立體幾何中的數學文化立體幾何中的數學文化題一般以我國古代發(fā)現的球的體積公式 圓柱的體積公式 圓錐的體積公式 圓臺的體積公式和 牟合方蓋 陽馬 鱉臑 塹堵 芻薨 等中國古代幾何名詞為背景考查空間幾何體的三視圖 幾何體的體積與表面積等 芻薨 中國古代算術中的一種幾何形體 九章算術 記載 芻薨者 下有褒有廣 而上有褒無廣 芻 草也 薨 屋蓋也 翻譯為 底面有長有寬為矩形 頂部只有長沒有寬為一條棱 芻薨的字面意思為茅草屋頂 下圖為一芻薨的三視圖 其中正視圖為等腰梯形 側視圖為等腰三角形 則搭建它 無底面且不考慮厚度 需要的茅草面積為 A 24B 32C 64D 32 答案B 解析由三視圖易知 此幾何體的表面由兩個等腰三角形和兩個等腰梯形組成 不考慮底面 則搭建此幾何體需要的茅草面積S 2 4 2 4 8 32 故選B 點評本題以芻薨為背景 考查由三視圖還原幾何體 并求幾何體的表面積 此問題源于生活中的蓋房問題 引領師生關注生產 生活中的社會問題 體現數學文化 以數化人 的功能 對于其他幾何體 如 芻童 羨除 等 需要給予關注 答案C由三視圖知 該幾何體是直三棱柱ABC A1B1C1 其中AB AA1 2 BC AC ACB 90 其直觀圖如圖所示 側面為三個矩形 故該 塹堵 的側面積S 2 2 2 4 4 故選C 考向二數列中的數學文化數列中的數學文化題一般以我國古代數學名著中的等差數列和等比數列問題為背景 考查等差數列和等比數列的概念 通項公式和前n項和公式 典型例題我國古代數學著作 九章算術 有如下問題 今有蒲生一日 長三尺 莞生一日 長一尺 蒲生日自半 莞生日自倍 問幾何日而長等 意思是 今有蒲草第1天長高3尺 莞草第1天長高1尺 以后 蒲草每天長高前一天的一半 莞草每天長高前一天的2倍 問第幾天蒲草和莞草的高度相同 根據上述的已知條件 可求得第天時 蒲草和莞草的高度相同 結果采取 只入不舍 的原則取整數 相關數據 lg3 0 4771 lg2 0 3010 解析由題意得 蒲草的長度組成首項為a1 3 公比為的等比數列 an 設其前n項和為An 莞草的長度組成首項為b1 1 公比為2的等比數列 bn 設其前n項和為Bn 則An Bn 令 化簡得2n 7 n N 解得2n 6 所以n 1 3 即第3天時 蒲草和莞草的高度相等 方法歸納與等差數列一樣 我國古代數學涉及等比數列的問題也有很多 解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉化為現代數學問題 掌握等比數列的概念 通項公式和前n項和公式 九章算術 是我國古代第一部數學專著 全書收集了246個問題及其解法 其中一個問題的大意為 現有一根九節(jié)的竹子 自上而下各節(jié)的容積成等差數列 上面四節(jié)容積之和為3升 下面三節(jié)的容積之和為4升 求中間兩節(jié)的容積各為多少 則該問題中第2節(jié) 第3節(jié) 第8節(jié)竹子的容積之和為 A 升B 升C 升D 升 答案A設等差數列為數列 an 依題意有即解得從而a2 a3 a8 故選A 考向三算法中的數學文化算法中的數學文化題一般以我國古代優(yōu)秀算法為背景 考查程序框圖 典型例題我國古代的勞動人民曾創(chuàng)造了燦爛的中華文明 戍邊的官兵通過在烽火臺上點火產生煙向國內報告 烽火臺上點火表示數字1 不點火表示數字0 這蘊含了進位制的思想 圖中的程序框圖的算法思路就源于我國古代戍邊官兵的 烽火傳信 執(zhí)行該程序框圖 若輸入a 110011 k 2 n 7 則輸出的b A 19B 31C 51D 63 答案C 解析執(zhí)行程序框圖 b依次為0 1 3 3 3 19 51 當b 51時 i 7 跳出循環(huán) 故輸出b 51 故選C 點評輾轉相除法 更相減損術 秦九韶算法和進位制都是課本上出現的算法案例 其中 更相減損術和秦九韶算法是中國古代的優(yōu)秀算法 課本上的進位制案例原本不滲透中國古代數學文化 但命題人巧妙地將烽火戍邊的故事作為背景 強化了試題的文化育人的功能 2018河南鄭州質量預測 我國古代數學典籍 九章算術 盈不足 中有一道兩鼠穿墻問題 今有垣厚十尺 兩鼠對穿 初日各一尺 大鼠日自倍 小鼠日自半 問幾何日相逢 現用程序框圖描述 如圖所示 則輸出結果n A 5B 4C 3D 2 答案Bn 1 S 2 n 2 S 2 2 n 3 S 4 n 4 S 8 10 結束循環(huán) 則輸出的n為4 故選B 考向四概率中的數學文化概率中的數學文化題一般以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為背景 考查古典概型和幾何概型 典型例題太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案 它形象化地表達了陰陽輪轉 相反相成是萬物生成變化根源的哲理 展現了一種相互轉化 相對統(tǒng)一的形式美 按照太極圖的構圖方法 在平面直角坐標系中 圓O被函數y 3sinx的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案 如圖所示 其中小圓的半徑均為1 現從大圓內隨機取一點 則此點取自陰影部分的概率為 A B C D 答案B 解析函數y 3sinx的圖象與x軸相交于點 0 0 6 0 和點 6 0 則大圓的半徑為6 面積為36 而小圓的半徑為1 兩個小圓的面積和為2 所以所求的概率是 點評本題以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化太極圖為背景 考查幾何概型 角度新穎 所給圖形有利于考生分析問題和解決問題 給出了如何將抽象的數學問題形象化的范例 齊王與田忌賽馬 田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬 劣于齊王的上等馬 田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬 劣于齊王的中等馬 田忌的下等馬劣于齊王的下等馬 現從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進行一場比賽 田忌獲勝的概率是 A B C D 答案A從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進行一場比賽 對陣情況如下表 在雙方馬的對陣中 有3種對陣情況田忌能贏 所以田忌獲勝的概率P 故選A 考向五推理與證明的數學文化推理與證明的數學文化題一般以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為背景 考查邏輯推理 天干地支紀年法源于中國 中國自古便有十天干與十二地支 十天干即甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 十二地支即子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配 排列起來 天干在前 地支在后 天干由 甲 起 地支由 子 起 例如 第一年為 甲子 第二年為 乙丑 第三年為 丙寅 以此類推 排列到 癸酉 后 天干回到 甲 重新開始 即 甲戌 乙亥 然后地支回到 子 重新開始 即 丙子 以此類推 已知1949年為 己丑 年 那么到中華人民共和國成立80周年時為年 答案己酉 解析易知2029年為中華人民共和國成立80周年 因為天干的周期為10 所以2029年的天干紀年與1949年的天干紀年相同 為 己 因為地支的周期為12 所以2029年地支紀年與1957年的地支紀年相同 易知1957年的地支紀年為 酉 所以2029年為 己酉 年 點評天干地支紀年法是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化 本題可以看成是有關天干和地支的兩個周期數列問題 因為10與12的最小公倍數為60 故天干地支紀年法的周期為60 又天干地支紀年法由 甲子 起 故有 人生六十一甲子 的俗語 天干地支除了可以紀年外 還可以紀月紀日紀時 所謂 生辰八字 就是用天干地支紀一個人的出生年月日時 楊輝三角 又稱 賈憲三角 是因為賈憲約在公元11世紀首先使用 賈憲三角 進行高次開方運算 而1261年楊輝在 詳解九章算法 一書中 輯錄了賈憲三角形數表 并稱之為 開方作法本源 圖 下列數表的構造思路就源于楊輝三角 該表由若干行數字組成 從第二行起 每一行中的數字均等于其 肩上 兩數之和 表中最后一行僅有一個數 則這個數是 A 2017 22016B 2018 22015C 2017 22015D 2018 22016 答案B由題意知 最后一行為第2017行 且第1行的最后一個數為2 2 1 第2行的最后一個數為3 20 第3行的最后一個數為4 21 第n行的最后一個數為 n 1 2n 2 則第2017行僅有的一個數為2018 22015 故選B