第七講等差數(shù)列與等比數(shù)列 總綱目錄 考點(diǎn)一等差 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 1 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式an a1 n 1 d Sn na1 d 2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式an a1qn 1 q 0 Sn 1 2018課標(biāo)全國(guó) 4 5分 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若3S3 S2 S4 a1 2 則a5 A 12B 10C 10D 12 答案B本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 則3 3a1 3d 2a1 d 4a1 6d 即d a1 又a1 2 d 3 a5 a1 4d 10 故選B 2 2018課標(biāo)全國(guó) 17 12分 等比數(shù)列 an 中 a1 1 a5 4a3 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 記Sn為 an 的前n項(xiàng)和 若Sm 63 求m 解析 1 設(shè) an 的公比為q 由題設(shè)得an qn 1 由已知得q4 4q2 解得q 0 舍去 或q 2或q 2 故an 2 n 1或an 2n 1 2 若an 2 n 1 則Sn 由Sm 63得 2 m 188 此方程沒有正整數(shù)解 若an 2n 1 則Sn 2n 1 由Sm 63得2m 64 解得m 6 綜上 m 6 方法歸納等差 比 數(shù)列的通項(xiàng)公式 求和公式中一共包含a1 d 或q n an與Sn這五個(gè)量 如果已知其中的三個(gè) 就可以求其余的兩個(gè) 其中a1和d 或q 是兩個(gè)基本量 所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題一般先設(shè)出這兩個(gè)基本量 然后根據(jù)通項(xiàng)公式 求和公式構(gòu)建這兩者的方程組 通過解方程組求其值 這也是方程思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn) 提醒 注意等差數(shù)列中公差d 0的情況和等比數(shù)列中公比q 1的情況 1 2018湖南湘東五校聯(lián)考 已知在等比數(shù)列 an 中 a3 7 前三項(xiàng)之和S3 21 則公比q的值是 A 1B C 1或 D 1或 答案C當(dāng)q 1時(shí) an 7 S3 21 符合題意 當(dāng)q 1時(shí) 得q 綜上 q的值是1或 選C 2 2018湖北武漢調(diào)研 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 等比數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和為Tn a1 1 b1 1 a2 b2 3 1 若a3 b3 7 求 bn 的通項(xiàng)公式 2 若T3 13 求Sn 解析 1 設(shè) an 的公差為d bn 的公比為q q 0 則an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 3 得d q 4 由a3 b3 7 得2d q2 8 聯(lián)立 和 解得q 0 舍去 或q 2 因此 bn 的通項(xiàng)公式為bn 2n 1 2 T3 b1 1 q q2 1 q q2 13 解得q 3或q 4 或 Sn na1 n n 1 d n2 n或4n2 5n 考點(diǎn)二等差 等比數(shù)列的性質(zhì) 1 等差數(shù)列的性質(zhì) 1 若m n p q N 且m n p q 則am an ap aq 2 Sm S2m Sm S3m S2m 仍成等差數(shù)列 3 am an m n d d m n N 且m n 4 A2n 1 B2n 1分別為 an bn 的前2n 1項(xiàng)的和 2 等比數(shù)列的性質(zhì) 1 若m n r s N 且m n r s 則am an ar as 2 an amqn m 3 當(dāng) an 的公比q 1 或q 1且m為奇數(shù) 時(shí) 數(shù)列Sm S2m Sm S3m S2m 是等比數(shù)列 命題角度一 等差 比 數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì) 1 2018廣東惠州模擬 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a2 a3 a4 15 a7 13 則S5 A 28B 25C 20D 18 答案B通解 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由已知得解得所以S5 5a1 d 5 1 2 25 故選B 優(yōu)解 由 an 是等差數(shù)列 可得a2 a4 2a3 所以a3 5 所以S5 25 故選B 2 2018河南洛陽(yáng)第一次統(tǒng)考 已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列 a4 a7 2 a5 a6 8 則a1 a10的值為 A 7B 5C 5D 7 答案D在等比數(shù)列 an 中 a5a6 8 a4a7 8 又a4 a7 2 解得a4 4 a7 2或a4 2 a7 4 若a4 4 a7 2 則q3 a1 8 a10 a7 q3 1 a1 a10 7 若a4 2 a7 4 則q3 2 a1 1 a10 a7 q3 8 a1 a10 7 綜上可得 a1 a10 7 命題角度二 等差 比 數(shù)列和的性質(zhì) 1 一個(gè)等差數(shù)列 an 的前12項(xiàng)的和為354 前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和S偶與前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和S奇之比為 則公差d等于 A 5B 6C 10D 12 答案A由題意可知解得又由等差數(shù)列的性質(zhì) 可得S偶 S奇 6d 即192 162 6d 解得d 5 故選A 2 設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若 3 則等于 A 2B C D 3 答案B由等比數(shù)列的性質(zhì)知 S3 S6 S3 S9 S6也成等比數(shù)列 由 3可得 S6 3S3 S9 S6 2 S6 S3 4S3 即S9 7S3 所以 故選B 方法歸納等差 等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用問題求解策略 1 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn n n為奇數(shù) 是常用的轉(zhuǎn)化方法 2 熟練運(yùn)用等差 等比數(shù)列的性質(zhì) 如m n p q時(shí) 若 an 為等差數(shù)列 則am an ap aq 若 an 為等比數(shù)列 則有am an ap aq 可減少運(yùn)算過程 提高解題效率 2018課標(biāo)全國(guó) 17 12分 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 已知a1 7 S3 15 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 求Sn 并求Sn的最小值 命題角度三 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題 解析 1 設(shè) an 的公差為d 由題意得3a1 3d 15 由a1 7得d 2 所以 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 9 2 由 1 得Sn n2 8n n 4 2 16 所以當(dāng)n 4時(shí) Sn取得最小值 最小值為 16 方法歸納等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和公式Sn na1 d的變形為Sn n2 n 1 當(dāng)d 0時(shí) Sn可看成關(guān)于n的二次函數(shù) 注意其常數(shù)項(xiàng)為0 點(diǎn) n Sn 是拋物線y x2 x上一系列孤立的點(diǎn) 當(dāng)d 0時(shí) Sn有最小值 當(dāng)d 0時(shí) Sn有最大值 1 2018湖北黃岡模擬 已知正項(xiàng)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a1a6 2a3 a4與2a6的等差中項(xiàng)為 則S5 A 36B 33C 32D 31 答案D設(shè) an 的公比為q q 0 a1a6 2a3 而a1a6 a3a4 a3a4 2a3 a4 2 又a4 2a6 3 a6 q a1 16 S5 31 故選D 2 2018吉林長(zhǎng)春監(jiān)測(cè) 在等差數(shù)列 an 中 已知a6 a11 0 且公差d 0 則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為 A 6B 7C 8D 9 答案C由題意知a60 且a1 5d a1 10d 0 所以a1 d 又Sn na1 d n 8 2 64 所以當(dāng)n 8時(shí) 數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和取得最小值 故選C 3 2018重慶調(diào)研 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 若a5 5 則log5a1 log5a2 log5a9 答案9 解析因?yàn)閿?shù)列 an 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1 a9 a2 a8 a3 a7 a4 a6 52 則log5a1 log5a2 log5a9 log5 a1 a2 a9 log5 a1 a9 a2 a8 a3 a7 a4 a6 a5 log5 log559 9 考點(diǎn)三等差 等比數(shù)列的判斷與證明 命題角度一 等差數(shù)列的判定與證明 2017課標(biāo)全國(guó) 17 12分 記Sn為等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 求Sn 并判斷Sn 1 Sn Sn 2是否成等差數(shù)列 解析 1 設(shè) an 的公比為q 由題設(shè)可得解得q 2 a1 2 故 an 的通項(xiàng)公式為an 2 n 2 由 1 可得Sn 1 n 由于Sn 2 Sn 1 1 n 2 2Sn 故Sn 1 Sn Sn 2成等差數(shù)列 命題角度二 等比數(shù)列的判定與證明 2018課標(biāo)全國(guó) 17 12分 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 nan 1 2 n 1 an 設(shè)bn 1 求b1 b2 b3 2 判斷數(shù)列 bn 是不是等比數(shù)列 并說明理由 3 求 an 的通項(xiàng)公式 方法歸納判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差 等比數(shù)列時(shí)應(yīng)注意的問題 1 判斷一個(gè)數(shù)列是等差 等比 數(shù)列 還有通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法 但不作為證明方法 2 若要判斷一個(gè)數(shù)列不是等差 等比 數(shù)列 只需判斷存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差 等比 數(shù)列 3 an 1an 1 n 2 n N 是 an 為等比數(shù)列的必要而不充分條件 也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí) 要注意各項(xiàng)不為0 提醒 1 判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列 等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明 其他方法最后都會(huì)回到定義 如證明等 差數(shù)列可以證明通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù) 但最后還得使用定義才能說明其為等差數(shù)列 2 證明數(shù)列 an 為等比數(shù)列時(shí) 不能僅僅證明an 1 qan 還要說明q 0 才能遞推得出數(shù)列中的各項(xiàng)均不為零 最后斷定數(shù)列 an 為等比數(shù)列 解析 1 證明 由an 2 2an 1 an 2得 an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首項(xiàng)為1 公差為2的等差數(shù)列 2 由 1 得bn 1 2 n 1 即an 1 an 2n 1 于是所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通項(xiàng)公式為an n2 2n 2