第15講統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 總綱目錄 考點一抽樣方法抽樣方法主要有簡單隨機抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣三種 這三種抽樣方法各自適用不同特點的總體 但無論哪種抽樣方法 每一個個體被抽到的概率都是相等的 都等于樣本容量和總體容量的比值 1 采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查 為此將他們隨機編號為1 2 960 分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9 抽到的32人中 編號落入?yún)^(qū)間 1 450 的人做問卷A 編號落入?yún)^(qū)間 451 750 的人做問卷B 其余的人做問卷C 則抽到的人中 做問卷B的人數(shù)為 A 7B 9C 10D 15 答案C抽取號碼的間隔為 30 從而區(qū)間 451 750 包含的段數(shù)為 10 則編號落入?yún)^(qū)間 451 750 的人數(shù)為10人 即做問卷B的人數(shù)為10 2 2018課標全國 文 14 5分 某公司有大量客戶 且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異 為了解客戶的評價 該公司準備進行抽樣調(diào)查 可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣 分層抽樣和系統(tǒng)抽樣 則最合適的抽樣方法是 答案分層抽樣 解析因為客戶數(shù)量大 且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異 所以最合適的抽樣方法是分層抽樣 3 2018惠州第二次調(diào)研 某班共有56人 學(xué)號依次為1 2 3 56 現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本 已知學(xué)號為2 30 44的同學(xué)在樣本中 則樣本中還有一位同學(xué)的學(xué)號為 答案16 解析由題意得 需要將56人按學(xué)號從小到大排列后分成4組 每組抽取第2個學(xué)號對應(yīng)的同學(xué) 所以還有一位同學(xué)的學(xué)號為1 14 2 16 方法歸納 解決抽樣問題的方法 1 解決此類題目的關(guān)鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點和適用范圍 2 在系統(tǒng)抽樣的過程中 要注意分段間隔 需要抽取n個個體 樣本就需要分成n個組 則分段間隔為 N為樣本容量 首先確定在第一組中抽取的個體的號碼 再從后面的每組中按規(guī)則抽取每個個體 考點二用樣本估計總體 1 直方圖的兩個結(jié)論 1 小長方形的面積 組距 頻率 2 各小長方形的面積之和等于1 2 統(tǒng)計中的四個數(shù)字特征 1 眾數(shù) 在樣本數(shù)據(jù)中 出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù) 2 中位數(shù) 樣本數(shù)據(jù)中 將數(shù)據(jù)按大小排列 位于最中間的數(shù)據(jù) 如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù) 就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù) 3 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 即 x1 x2 xn 4 方差與標準差方差 s2 x1 2 x2 2 xn 2 標準差 s 命題角度一樣本的數(shù)字特征 例1在一個容量為5的樣本中 數(shù)據(jù)均為整數(shù) 已求出其平均數(shù)為10 但墨水污損了兩個數(shù)據(jù) 其中一個數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損 即9 10 11 1 那么這組數(shù)據(jù)的方差s2可能的最大值是 答案32 8 解析設(shè)這組數(shù)據(jù)的最后兩個數(shù)分別是10 x y x為 0 9 中的自然數(shù) y為整數(shù) 則9 10 11 10 x y 50 得x y 10 故y 10 x 故s2 x2 顯然x取9時 s2有最大值32 8 方法歸納 關(guān)于平均數(shù) 方差的計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的計算關(guān)鍵在于準確記憶公式 要特別注意區(qū)分方差與標準差 不能混淆 標準差是方差的算術(shù)平方根 例2 2018課標全國 文 19 12分 某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù) 單位 m3 和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù) 得到頻數(shù)分布表如下 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 命題角度二直方圖與莖葉圖 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 1 作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖 2 估計該家庭使用節(jié)水龍頭后 日用水量小于0 35m3的概率 3 估計該家庭使用節(jié)水龍頭后 一年能節(jié)省多少水 一年按365天計算 同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表 解析 1 如圖所示 2 根據(jù)以上數(shù)據(jù) 該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0 35m3的頻率為0 2 0 1 1 0 1 2 6 0 1 2 0 05 0 48 因此該家庭使用節(jié)水龍頭后 日用水量小于0 35m3的概率的估計值為0 48 3 該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為 0 05 1 0 15 3 0 25 2 0 35 4 0 45 9 0 55 26 0 65 5 0 48 該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為 0 05 1 0 15 5 0 25 13 0 35 10 0 45 16 0 55 5 0 35 估計使用節(jié)水龍頭后 一年可節(jié)省水 0 48 0 35 365 47 45 m3 方法歸納 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)與直方圖的關(guān)系 1 眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標 2 中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標 3 平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和 1 某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人 分為兩個小組 在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示 其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88 乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89 則n m的值是 A 5B 6C 7D 8 答案B由題意得 解得m 3 n 9 所以n m 9 3 6 2 2018貴陽第一學(xué)期檢測 在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識競賽中 將三個年級參賽學(xué)生的成績進行整理后分為5組 繪制如圖所示的頻率分布直方圖 圖中從左到右依次為第一 第二 第三 第四 第五小組 已知第二小組的頻數(shù)是40 則成績在80 100分的學(xué)生人數(shù)是 A 15B 18C 20D 25 答案A根據(jù)頻率分布直方圖 得第二小組的頻率是0 04 10 0 4 第二小組的頻數(shù)是40 樣本容量是 100 又成績在80 100分的頻率是 0 01 0 005 10 0 15 成績在80 100分的學(xué)生人數(shù)是100 0 15 15 選A 3 2018蘭州診斷考試 已知樣本數(shù)據(jù)a1 a2 a2018的方差是4 如果有bi ai 2 i 1 2 2018 那么數(shù)據(jù)b1 b2 b2018的標準差為 答案2 解析 bi ai 2 i 1 2 2018 數(shù)據(jù)b1 b2 b2018的方差和樣本數(shù)據(jù)a1 a2 a2018的方差相等 均是4 所以數(shù)據(jù)b1 b2 b2018的標準差為2 考點三統(tǒng)計案例 1 線性回歸方程 稱為樣本點的中心 2 隨機變量K2 K2也可表示為 2 若K2 3 841 則有95 的把握說兩個事件有關(guān) 若K2 6 635 則有99 的把握說兩個事件有關(guān) 命題角度一回歸分析 例1 2018課標全國 18 12分 下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y 單位 億元 的折線圖 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 建立了y與時間 變量t的兩個線性回歸模型 根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù) 時間變量t的值依次為1 2 17 建立模型 30 4 13 5t 根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù) 時間變量t的值依次為1 2 7 建立模型 99 17 5t 1 分別利用這兩個模型 求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值 2 你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠 并說明理由 解析 1 利用模型 可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 30 4 13 5 19 226 1 億元 利用模型 可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 99 17 5 9 256 5 億元 2 利用模型 得到的預(yù)測值更可靠 理由如下 i 從折線圖可以看出 2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y 30 4 13 5t上下 這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢 2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加 20 10年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近 這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢 利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 99 17 5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢 因此利用模型 得到的預(yù)測值更可靠 ii 從計算結(jié)果看 相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元 由模型 得到的預(yù)測值226 1億元的增幅明顯偏低 而利用模型 得到的預(yù)測值的增幅比較合理 說明利用模型 得到的預(yù)測值更可靠 以上給出了2種理由 考生答出其中任意一種或其他合理理由均 可得分 方法歸納 求回歸直線方程的方法 1 若所求的回歸直線方程是在選擇題中 常利用回歸直線必經(jīng)過樣本點的中心 快速解決 2 若所求的回歸直線方程是在解答題中 則求回歸直線方程的一般步驟 依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖 確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系 計算 xiyi的值 計算回歸系數(shù) 寫出回歸直線方程 x 例2 2018西安八校聯(lián)考 某工廠有25周歲以上 含25周歲 工人300名 25周歲以下工人200名 為研究工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)是否與年齡有關(guān) 現(xiàn)采用分層抽樣的方法 從中抽取了100名工人 先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù) 然后按工人年齡在 25周歲以上 含25周歲 和 25周歲以下 分為兩組 再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 分別加以統(tǒng)計 得到如圖所示的頻率分布直方圖 命題角度二獨立性檢驗 1 根據(jù) 25周歲以上 含25周歲 組 的頻率分布直方圖 求25歲以上 含25周歲 組工人日平均生產(chǎn)件數(shù)的中位數(shù)的估計值 四舍五入保留整數(shù) 2 規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80的工人為生產(chǎn)能手 請你根據(jù)已知條件完成2 2列聯(lián)表 并判斷是否有90 的把握認為 生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān) 附 K2 解析采用分層抽樣 25周歲以上 含25周歲 組 應(yīng)抽取工人100 60 名 25周歲以下組 應(yīng)抽取工人100 40 名 1 由 25周歲以上 含25周歲 組 的頻率分布直方圖可知 其中位數(shù)為70 10 70 73 件 綜上 25周歲以上 含25周歲 組工人日平均生產(chǎn)件數(shù)的中位數(shù)的估計值為73件 2 由頻率分布直方圖可知 25周歲以上 含25周歲 的生產(chǎn)能手共有60 0 0200 0 0050 10 15 名 25周歲以下的生產(chǎn)能手共有 40 0 0325 0 0050 10 15 名 則2 2列聯(lián)表如下 K2 1 786 2 706 所以沒有90 的把握認為 生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān) 方法歸納 獨立性檢驗的關(guān)鍵 1 根據(jù)2 2列聯(lián)表準確計算K2的觀測值k0 若沒有列出2 2列聯(lián)表 要先列出此表 2 K2的觀測值k0越大 對應(yīng)假設(shè)事件H0成立 兩類變量相互獨立 的概率越小 H0不成立的概率越大 1 某醫(yī)療研究所為了檢驗?zāi)撤N血清能起到預(yù)防感冒的作用 把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較 利用2 2列聯(lián)表計算得K2的觀測值k0 3 918 附表 則作出 這種血清能起到預(yù)防感冒的作用 出錯的可能性不超過 A 95 B 5 C 97 5 D 2 5 答案B因為觀測值k0 3 918 3 841 所以對照題目中的附表 得P K2 k0 0 05 5 2 面對競爭日益激烈的消費市場 眾多商家不斷擴大自己的銷售市場 以降低生產(chǎn)成本 某白酒釀造企業(yè)市場部對該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量x 單位 千箱 與單位成本y 單位 元 的資料進行線性回歸分析 得到結(jié)果如下 71 79 xiyi 1481 則銷量每增加1千箱 單位成本約下降元 結(jié)果保留5位有效數(shù)字 附 回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為 答案1 8182 解析由題意知 1 8182 71 1 8182 77 364 所以 1 8182x 77 364 所以銷量每增加1千箱 則單位成本約下降1 8182元