第3講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 總綱目錄 考點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義及定積分 1 導(dǎo)數(shù)公式 1 sinx cosx 2 cosx sinx 3 ax axlna a 0 且a 1 4 logax a 0 且a 1 5 x x 1 Q 6 ex ex 7 lnx 2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f x 在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f x 在點P x0 f x0 處的切線的斜率 曲線f x 在點P處的切線的斜率k f x0 相應(yīng)的切線方程為y f x0 f x0 x x0 3 定積分的性質(zhì)a kf x dx kf x dx k為常數(shù) b f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx c f x dx f x dx f x dx a c b 1 已知函數(shù)f x cosx 則f f A B C D 答案C f x cosx f x cosx sinx f f 1 2 2018課標(biāo)全國 5 5分 設(shè)函數(shù)f x x3 a 1 x2 ax 若f x 為奇函數(shù) 則曲線y f x 在點 0 0 處的切線方程為 A y 2xB y xC y 2xD y x 答案D f x x3 a 1 x2 ax為奇函數(shù) a 1 0 解得a 1 f x x3 x f x 3x2 1 f 0 1 故曲線y f x 在點 0 0 處的切線方程為y x 故選D 解后反思求曲線的切線方程需注意的幾個問題 1 首先應(yīng)判斷所給的點是不是切點 如果不是 需要設(shè)出切點 2 切點既在原函數(shù)的圖象上 又在切線上 可先設(shè)出切線方程 再將切點代入兩者的解析式建立方程組 3 切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率 這是求切線方程最重要的條件 3 2018課標(biāo)全國 14 5分 若曲線y ax 1 ex在點 0 1 處的切線的斜率為 2 則a 答案 3 解析設(shè)f x ax 1 ex 則f x ax a 1 ex 所以曲線在點 0 1 處的切線的斜率k f 0 a 1 2 解得a 3 4 已知a cosx dx 則的展開式中 x3項的系數(shù)為 答案 解析a cosx dx sinx 1 的展開式的通項公式為 x 9 r 1 9 rx9 2r 由9 2r 3 得r 3 故x3的系數(shù)為 方法歸納 曲線y f x 的切線方程的三種類型及求解方法 1 已知切點P x0 y0 求切線方程 求出切線的斜率f x0 由點斜式寫出方程 2 已知切線的斜率k 求切線方程 設(shè)切點P x0 y0 通過方程k f x0 解得x0 再由點斜式寫出方程 3 已知切線上一點 非切點 求切線方程 設(shè)切點P x0 y0 利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f x0 再由斜率公式求得切線斜率 列方程 組 解得x0 再由點斜式或兩點式寫出方程 考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 1 f x 0是f x 為增函數(shù)的充分不必要條件 如函數(shù)f x x3在 上單調(diào)遞增 但f x 0 2 f x 0是f x 為增函數(shù)的必要不充分條件 當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f x 0時 f x 為常數(shù)函數(shù) 函數(shù)不具有單調(diào)性 命題角度一討論 確定 函數(shù)的單調(diào)性 區(qū)間 例1 2018課標(biāo)全國 21節(jié)選 已知函數(shù)f x x alnx 討論f x 的單調(diào)性 解析f x 的定義域為 0 f x 1 若a 2 則f x 0 當(dāng)且僅當(dāng)a 2 x 1時 f x 0 所以f x 在 0 上單調(diào)遞減 若a 2 令f x 0 得x 或x 當(dāng)x 時 f x 0 所以f x 在 上單調(diào)遞減 在 上單調(diào)遞增 方法歸納 求解或討論函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略討論函數(shù)的單調(diào)性 其實就是討論不等式解集的情況 大多數(shù)情況下 這類問題可以歸納為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論 1 在能夠通過因式分解求出不等式對應(yīng)方程的根時 依據(jù)根的大小進行分類討論 2 在不能通過因式分解求出根的情況時 根據(jù)不等式對應(yīng)方程的判別式進行分類討論 注意 討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行的 千萬不要忽視了定義域的限制 命題角度二利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值 范圍 例2若函數(shù)f x x2 4ex ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間 求實數(shù)a的取值范圍 解析因為f x x2 4ex ax 所以f x 2x 4ex a 由題意得 f x 2x 4ex a 0 即a 2x 4ex有解 令g x 2x 4ex 則g x 2 4ex 令g x 0 解得x ln2 當(dāng)x ln2 時 函數(shù)g x 2x 4ex單調(diào)遞增 當(dāng)x ln2 時 函數(shù)g x 2x 4ex單調(diào)遞減 所以 當(dāng)x ln2時 g x 2x 4ex取得最大值 2 2ln2 所以a 2 2ln2 所以實數(shù)a的取值范圍為 2 2ln2 方法歸納 根據(jù)函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的單調(diào)性 求參數(shù)范圍的方法 1 若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)遞增 則轉(zhuǎn)化為f x 0在區(qū)間 a b 上恒成立求解 2 若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)遞減 則轉(zhuǎn)化為f x 0在區(qū)間 a b 上恒成立求解 3 若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào) 則轉(zhuǎn)化為f x 在區(qū)間 a b 上不變號 即f x 在區(qū)間 a b 上恒正或恒負 4 若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上不單調(diào) 則轉(zhuǎn)化為f x 0在區(qū)間 a b 上有解 1 已知函數(shù)f x lnx 3 則函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 A 0 B 0 1 C 0 D 1 答案B已知函數(shù)f x lnx 3 其定義域為 0 則f x x 由得0 x 1 所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 0 1 故選B 2 若函數(shù)f x 在R上可導(dǎo) 且滿足f x f 2 C 2f 1 f 2 D f 1 f 2 答案A設(shè)g x 則g x f x 0 函數(shù)g x 在 0 上單調(diào)遞增 即2f 1 f 2 故選A 3 若函數(shù)f x x2 x 1在區(qū)間上單調(diào)遞減 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 解析由已知 得f x x2 ax 1 函數(shù)f x 在區(qū)間上單調(diào)遞減 f x 0在區(qū)間上恒成立 即解得a 實數(shù)a的取值范圍為 考點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 最值 問題 可導(dǎo)函數(shù)的極值與最值 1 若在x0附近左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 則f x0 為函數(shù)f x 的極小值 2 設(shè)函數(shù)y f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 則f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得 例 2018天津文 20節(jié)選 設(shè)函數(shù)f x x t1 x t2 x t3 其中t1 t2 t3 R 且t1 t2 t3是公差為d的等差數(shù)列 1 若t2 0 d 1 求曲線y f x 在點 0 f 0 處的切線方程 2 若d 3 求f x 的極值 解析 1 由已知 可得f x x x 1 x 1 x3 x 故f x 3x2 1 所以f 0 0 f 0 1 又因為曲線y f x 在點 0 f 0 處的切線方程為y f 0 f 0 x 0 故所求切線方程為x y 0 2 由已知 可得f x x t2 3 x t2 x t2 3 x t2 3 9 x t2 x3 3t2x2 3 9 x 9t2 故f x 3x2 6t2x 3 9 令f x 0 解得x t2 或x t2 當(dāng)x變化時 f x f x 的變化情況如下表 所以函數(shù)f x 的極大值為f t2 3 9 6 函數(shù)f x 的極小值為f t2 3 9 6 方法歸納 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值 最值的方法 1 若求極值 則先求方程f x 0的全部實根 再檢驗f x 在方程根的左右兩側(cè)值的符號 2 若已知極值的存在情況 則轉(zhuǎn)化為已知方程f x 0的根的存在情況 從而求解 3 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值時 在得到極值的基礎(chǔ)上 比較區(qū)間端點的函數(shù)值f a f b 與f x 的各極值 從而得到函數(shù)的最值 1 函數(shù)y 在 0 2 上的最大值是 A B C 0D 答案A易知y x 0 2 令y 0 得0 x 1 令y 0 得1 x 2 所以函數(shù)y 在 0 1 上單調(diào)遞增 在 1 2 上單調(diào)遞減 所以y 在 0 2 上的最大值是y x 1 故選A 2 2017課標(biāo)全國 11 5分 若x 2是函數(shù)f x x2 ax 1 ex 1的極值點 則f x 的極小值為 A 1B 2e 3C 5e 3D 1 答案A由題意 得f x x2 a 2 x a 1 ex 1 x 2是函數(shù)f x x2 ax 1 ex 1的極值點 f 2 0 a 1 f x x2 x 1 ex 1 f x x2 x 2 ex 1 x 1 x 2 ex 1 x 2 1 時 f x 0 f x 單調(diào)遞增 x 2 1 時 f x 0 f x 單調(diào)遞減 f x 極小值 f 1 1 故選A 3 已知函數(shù)f x ex ax b x2 4x 曲線y f x 在點 0 f 0 處的切線方程為y 4x 4 1 求a b的值 2 討論f x 的單調(diào)性 并求f x 的極大值 解析 1 f x ex ax a b 2x 4 由已知 得f 0 4 f 0 4 故b 4 a b 8 從而a 4 b 4 2 由 1 知f x 4ex x 1 x2 4x f x 4ex x 2 2x 4 4 x 2 令f x 0 得x ln2或x 2 從而當(dāng)x 2 ln2 時 f x 0 當(dāng)x 2 ln2 時 f x 0 故f x 在 2 ln2 上單調(diào)遞增 在 2 ln2 上單調(diào)遞減 當(dāng)x 2時 函數(shù)f x 取得極大值 為f 2 4 1 e 2