2019 專題1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 01 目錄 微專題01函數(shù)的基本性質(zhì)與基本初等函數(shù) 微專題02函數(shù)的圖象與函數(shù)的應(yīng)用 微專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 微專題04函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 點(diǎn)擊 出答案 1 函數(shù)的三要素是什么 定義域 值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的三要素 是一個(gè)整體 研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)必須 定義域優(yōu)先 2 求函數(shù)的定義域應(yīng)注意什么 求函數(shù)的定義域時(shí) 若已知函數(shù)的解析式 則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍 只需構(gòu)建并解不等式 組 在實(shí)際問(wèn)題中 除要考慮解析式有意義外 還要使實(shí)際問(wèn)題有意義 已知f x 的定義域是 a b 求f g x 的定義域 是指滿足a g x b的x的取值范圍 而已知f g x 的定義域是 a b 指的是x a b 3 判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法 單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì) 常見(jiàn)判定方法 定義法 取值 作差 變形 定號(hào) 其中變形是關(guān)鍵 常用的方法有通分 配方 因式分解 圖象法 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循 同增異減 的原則 導(dǎo)數(shù)法 4 函數(shù)的奇偶性有什么特征 奇偶性的特征及常用結(jié)論 若f x 是奇函數(shù) 0在其定義域內(nèi) 則f 0 0 f x 是偶函數(shù) f x 的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 f x 是奇函數(shù) f x 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 奇函數(shù)在對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性 偶函數(shù)在對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性 若f x a 為奇函數(shù) 則f x 的圖象關(guān)于點(diǎn) a 0 對(duì)稱 若f x a 為偶函數(shù) 則f x 的圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱 5 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)有哪些 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 6 函數(shù)圖象的推導(dǎo)應(yīng)注意哪些 探尋函數(shù)圖象與解析式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法 1 知圖選式 從圖象的左右 上下分布 觀察函數(shù)的定義域 值域 從圖象的變化趨勢(shì) 觀察函數(shù)的單調(diào)性 從圖象的對(duì)稱性方面 觀察函數(shù)的奇偶性 從圖象的循環(huán)往復(fù) 觀察函數(shù)的周期性 2 知式選圖 從函數(shù)的定義域 判斷圖象左右的位置 從函數(shù)的值域 判斷圖象的上下位置 從函數(shù)的單調(diào)性 判斷圖象的變化趨勢(shì) 從函數(shù)的奇偶性 判斷圖象的對(duì)稱性 從函數(shù)的周期性 判斷圖象的循環(huán)往復(fù) 7 確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法有哪些 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法 1 直接法 令f x 0 則方程解的個(gè)數(shù)為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 2 零點(diǎn)存在性定理 利用該定理不僅要求曲線f x 在 a b 上是連續(xù)的 且f a f b 0 還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì) 如單調(diào)性 才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn) 3 數(shù)形結(jié)合 對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫(huà)出圖象 常會(huì)通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象 然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合 看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè) 其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值 就有幾個(gè)不同的零點(diǎn) 1 如何利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性有什么應(yīng)用 在某個(gè)區(qū)間 a b 內(nèi) 如果f x 0 f x 0 那么函數(shù)y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的圖象 2 利用導(dǎo)數(shù)解不等式 3 求參數(shù)的取值范圍 y f x 在 a b 上單調(diào) 則 a b 是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集 若函數(shù)單調(diào)遞增 則f x 0 若函數(shù)單調(diào)遞減 則f x 0 2 如何判斷函數(shù)的極值 如何確定函數(shù)的最值 當(dāng)f x0 0時(shí) 若在x0附近左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 則f x0 為函數(shù)f x 的極小值 將函數(shù)y f x 在 a b 上的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f a f b 比較 其中最大的一個(gè)是最大值 最小的一個(gè)是最小值 3 利用導(dǎo)數(shù)可以解決哪些不等式問(wèn)題 1 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 證明f x g x 對(duì)一切x I恒成立 I是f x g x 的解集的子集 f x g x min 0 x I x I 使f x g x 成立 I與f x g x 的解集的交集不是空集 f x g x max 0 x I 對(duì) x1 x2 I f x1 g x2 f x max g x min 對(duì) x1 I x2 I f x1 g x2 f x min g x min 函數(shù)是一條主線 貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)是重要的解題工具 是解決函數(shù)問(wèn)題的利器 因此 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的地位不言而喻 本專題內(nèi)容也是高考中重要的考點(diǎn)之一 從近年高考的命題情況來(lái)看 本專題在高考分值中占20 左右 試題的易 中 難比例相當(dāng) 選擇題 填空題和解答題均有考查 一 選擇題和填空題的命題特點(diǎn) 一 考查函數(shù)圖象的判斷及簡(jiǎn)單應(yīng)用 試題難度中檔 綜合考查函數(shù)的解析式 定義域 值域及單調(diào)性 奇偶性等性質(zhì)的綜合 命題特點(diǎn) B 答案 解析 A 答案 解析 解析 因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù) 所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 所以選項(xiàng)C D錯(cuò)誤 又當(dāng)x 0時(shí) y 0 所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤 故選A 二 考查函數(shù)的基本性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用 試題難度中檔 綜合考查函數(shù)的奇偶性 單調(diào)性 周期性及圖象的推理能力等 3 2018年 全國(guó) 卷 理T11改編 已知f x 是定義域?yàn)镽的奇函數(shù) 滿足f 1 x f 1 x 若f 1 2 則f 1 f 2 f 3 f 2018 A 2018B 0C 2D 50 C 答案 解析 解析 f x 是奇函數(shù) 且f 1 x f 1 x f 1 x f 1 x f x 1 f 0 0 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x 即函數(shù)f x 是周期為4的周期函數(shù) f 1 2 f 2 f 0 0 f 3 f 1 2 f 4 f 0 0 f 1 f 2 f 3 f 4 2 0 2 0 0 f 1 f 2 f 3 f 2018 504 f 1 f 2 f 3 f 4 f 2017 f 2018 f 1 f 2 2 0 2 故選C 1 答案 解析 5 2018 全國(guó) 卷 文T13改編 已知函數(shù)f x log3 x2 a 若f 2 1 則a 1 答案 解析 解析 f 2 1 log3 4 a 1 4 a 3 a 1 6 2017 全國(guó) 卷 文T8改編 函數(shù)y ln x2 2x 3 的單調(diào)遞減區(qū)間是 A 1 1 B 1 3 C 1 D 1 B 答案 解析 解析 令t x2 2x 3 由t 0 求得 1 x 3 故函數(shù)的定義域?yàn)?1 3 且y lnt 故本題為求函數(shù)t x2 2x 3在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t x 1 2 4在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為 1 3 故選B 四 考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷及應(yīng)用 同時(shí)考查函數(shù)與方程的思想 轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想 試題難度較大 7 2017 全國(guó) 卷 理T11改編 已知函數(shù)f x x2 4x a 10 x 2 10 x 2 有唯一零點(diǎn) 則a A 4B 3C 2D 2 C 答案 解析 解析 函數(shù)f x 有唯一零點(diǎn)等價(jià)于方程4x x2 a 10 x 2 10 x 2 有唯一解 等價(jià)于函數(shù)y 4x x2的圖象與y a 10 x 2 10 x 2 的圖象只有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)a 0時(shí) f x x2 4x 此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) 矛盾 當(dāng)a0時(shí) 由于y 4x x2在 2 上單調(diào)遞增 在 2 上單調(diào)遞減 且y a 10 x 2 10 x 2 在 2 上單調(diào)遞減 在 2 上單調(diào)遞增 所以函數(shù)y 4x x2的圖象的最高點(diǎn)為A 2 4 y a 10 x 2 10 x 2 的圖象的最低點(diǎn)為B 2 2a 由題意可知點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件 即2a 4 解得a 2 符合條件 故選C 五 考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)計(jì)算 導(dǎo)數(shù)的幾何意義一直是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn) 試題綜合考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及直線方程的知識(shí) 難度較小 8 2018 全國(guó) 卷 理T5改編 設(shè)函數(shù)f x x3 a 1 x2 ax 若f x 為奇函數(shù) 則曲線y f x 在點(diǎn) 0 0 處的切線方程為 y x 答案 解析 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f x 是奇函數(shù) 所以a 1 0 解得a 1 所以f x x3 x f x 3x2 1 所以f 0 1 所以曲線y f x 在點(diǎn) 0 0 處的切線方程為y x 1 在 0 2 上單調(diào)遞增 在 2 上單調(diào)遞減 答案 解析 2 2017 全國(guó) 卷 文T21改編 已知函數(shù)f x ex ex a a2x 其中參數(shù)a 0 1 討論f x 的單調(diào)性 2 若f x 0 求a的取值范圍 答案 解析 1 識(shí)別函數(shù)圖象的常用方法 1 直接法 直接求出函數(shù)的解析式并畫(huà)出其圖象 2 特例排除法 例如 根據(jù)已知函數(shù)的圖象或已知函數(shù)的解析式 取特殊點(diǎn) 判斷各選項(xiàng)的圖象是否經(jīng)過(guò)該特殊點(diǎn) 3 性質(zhì) 單調(diào)性 奇偶性 過(guò)定點(diǎn)等 驗(yàn)證法 4 較復(fù)雜函數(shù)的圖象 常借助導(dǎo)數(shù)這一工具 先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo) 再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 極值或最值 從而對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行篩選 2 函數(shù)性質(zhì)綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 1 單調(diào)性與奇偶性結(jié)合 解決此類問(wèn)題要注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義 以及奇 偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性 2 周期性與奇偶性結(jié)合 此類問(wèn)題多考查求值 常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換 將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解 3 周期性 奇偶性與單調(diào)性結(jié)合 解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間 然后利用奇偶性和單調(diào)性求解 規(guī)律方法 3 對(duì)于函數(shù)零點(diǎn) 方程的根 的確定問(wèn)題 高考常從以下幾個(gè)方面進(jìn)行考查 1 函數(shù)零點(diǎn)值大致所在區(qū)間的確定 2 零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定 3 兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定 解決此類問(wèn)題的常用方法有解方程法 利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法 尤其是方程兩邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解 4 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題主要是利用導(dǎo)數(shù) 切點(diǎn)坐標(biāo) 切線斜率之間的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化 關(guān)鍵是求出切點(diǎn)的坐標(biāo) 5 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 1 已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間 實(shí)質(zhì)上是求f x 0 f x 0的解集 求單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循定義域優(yōu)先的原則 2 含參函數(shù)的單調(diào)性要分類討論 通過(guò)確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性 3 注意兩種表述 函數(shù)f x 在 a b 上為減函數(shù) 與 函數(shù)f x 的減區(qū)間為 a b 的區(qū)別 6 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值 最值的方法 1 若求極值 則先求方程f x 0的根 再檢查f x 在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào) 2 若已知極值大小或存在情況 則轉(zhuǎn)化為已知方程f x 0根的大小或存在情況來(lái)求解 3 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值時(shí) 在得到極值的基礎(chǔ)上 結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f a f b 與f x 的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值 A 答案 解析 微專題01函數(shù)的基本性質(zhì)與基本初等函數(shù)數(shù) 返 A 答案 解析 解析 由題意知 f 2 5 4 1 f 1 e0 1 所以f f 2 1 故選A 3 已知定義在R上的函數(shù)f x 2 x 記a f log0 53 b f log25 c f 0 則a b c的大小關(guān)系是 A a b cB c b aC a c bD b a c D 答案 解析 解析 易知f x 2 x 是偶函數(shù) 且在 0 上單調(diào)遞減 又f log0 53 f log23 f log23 而log25 log23 0 f log25 f log23 f 0 即b a c 故選D 8 答案 解析 解析 由條件可得f x 6 f x 所以函數(shù)f x 的周期為6 所以f 2018 f 6 336 2 f 2 f 2 8 答案 解析 典型例題 1 函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的集合 求函數(shù)定義域只需構(gòu)建不等式 組 求解即可 2 求分段函數(shù)的函數(shù)值 要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間 然后代入該段的解析式求值 當(dāng)出現(xiàn)f f a 的形式時(shí) 應(yīng)從內(nèi)到外依次求值 3 當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí) 先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上 然后求出相應(yīng)自變量的值 切記要代入檢驗(yàn) 看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍 方法歸納 3 4 答案 解析 變式訓(xùn)練 2 答案 解析 解析 f 2 log 2 2 1 0 f f 2 f 0 20 1 2 1 答案 解析 解析 f 0 30 1 2 f 2 4a 2 由4a 2 2得a 1 答案 解析 典型例題 1 對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性 應(yīng)考慮各段的單調(diào)性 且要注意分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小 2 對(duì)于抽象函數(shù)不等式 應(yīng)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉 f 轉(zhuǎn)化成解不等式 要注意函數(shù)定義域的運(yùn)用 方法歸納 2 答案 解析 變式訓(xùn)練 2 已知奇函數(shù)f x 為R上的減函數(shù) 若f 3a2 f 2a 1 0 則a的取值范圍是 答案 解析 答案 解析 典型例題 函數(shù)的奇偶性 周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì) 在高考中常常將它們綜合在一起命題 其中奇偶性多與單調(diào)性結(jié)合 而周期性多與抽象函數(shù)結(jié)合 并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值 函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系 而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律 因此 在解題時(shí) 往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來(lái)確定另一區(qū)間上的單調(diào)性 即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換 再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題 方法歸納 1 已知偶函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 若f 2 2 則滿足f x 1 2的x的取值范圍是 A 1 3 B 1 3 C 1 3 D 2 2 B 答案 解析 變式訓(xùn)練 解析 由題意知偶函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 若f 2 2 則f x 1 2 f x 1 f 2 f x 1 f 2 即 x 1 2 解得x 1或x 3 故選B 2 設(shè)函數(shù)f x 是以2為周期的奇函數(shù) 已知當(dāng)x 0 1 時(shí) f x 2x 則f x 在 2017 2018 上是 A 增函數(shù) 且f x 0B 減函數(shù) 且f x 0 C 答案 解析 解析 函數(shù)f x 的周期是2 函數(shù)f x 在 2017 2018 上的單調(diào)性和 1 0 上的單調(diào)性相同 當(dāng)x 0 1 時(shí) f x 2x為增函數(shù) 函數(shù)f x 為奇函數(shù) 當(dāng)x 1 0 時(shí) f x 為增函數(shù) 當(dāng)x 0 1 時(shí) f x 2x 0 當(dāng)x 1 0 時(shí) f x 0 當(dāng)x 2017 2018 時(shí) f x 0 即f x 在 2017 2018 上是增函數(shù) 且f x 0 故選C 例4 1 若a b c滿足2a 3 b log25 3c 2 則 A c a bB b c aC a b cD c b a 2 已知f x x3 3x a 20 3 b 0 32 c log20 3 則 A f a f b f c B f b f c f a C f c f b f a D f b f a f c 答案 解析 典型例題 解析 1 因?yàn)?a 3 3c 2 所以a log23 c log32 因?yàn)閥 log2x y log3x是增函數(shù) 所以log25 log23 log22 log33 log32 因此b a c 故選A 2 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得 1b c 又 f x x3 3x在R上單調(diào)遞增 f c f b f a 故選C 利用指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小時(shí) 一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或式子形式的異同 另一方面要注意特殊值的應(yīng)用 有時(shí)候可以借助其 橋梁 作用 來(lái)比較大小 方法歸納 A 答案 解析 變式訓(xùn)練 C 答案 解析 解析 f 2 x f x 函數(shù)f x 圖象的對(duì)稱軸為直線x 1 當(dāng)x 1時(shí) f x lnx f x 在 1 上單調(diào)遞減 在 1 上單調(diào)遞增 故當(dāng)x 1時(shí) 函數(shù)f x 有最小值 離x 1越遠(yuǎn) 函數(shù)值越大 故選C 1 函數(shù)y 13 log3x 的圖象是 A 答案 解析 微專題02函數(shù)的圖象與函數(shù)的應(yīng)用 返 解析 當(dāng)x 1時(shí) y 13 log3x 13log3x 1x 當(dāng)0 x 1時(shí) y 13 log3x 3log3x x y 13 log3x 1x x 1 x 0 x 1 其圖象為選項(xiàng)A中的圖象 故選A C 答案 解析 C 答案 解析 解析 當(dāng)x 2時(shí) 由 x2 4x 0 得x 0 當(dāng)x 2時(shí) 令f x log2x a 0 得x 2a 又函數(shù)f x 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 2a 2 解得a 1 故選C 4 某企業(yè)為節(jié)能減排 用9萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn) 第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用2萬(wàn)元 從第二年起 每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加3萬(wàn)元 該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為21萬(wàn)元 設(shè)該設(shè)備使用了n n N 年后 盈利總額達(dá)到最大值 盈利額等于收入減去成本 則n等于 A 6B 7C 8D 7或8 B 答案 解析 A 答案 解析 典型例題 例1 函數(shù)y sinx ln x 在區(qū)間 3 3 上的圖象大致為 解析 設(shè)f x sinx ln x 當(dāng)x 0時(shí) f x sinx lnx 則f x cosx 1x 當(dāng)x 0 1 時(shí) f x 0 即函數(shù)f x 在 0 1 上為單調(diào)遞增函數(shù) 排除B 當(dāng)x 1時(shí) f 1 sin1 0 排除D 因?yàn)閒 x sin x ln x sinx ln x 所以f x f x 所以函數(shù)f x 為非奇非偶函數(shù) 排除C 故選A B 答案 解析 例2 函數(shù)y sinx 1 cos2x 在區(qū)間 2 2 上的圖象大致為 解析 函數(shù)y sinx 1 cos2x 的定義域?yàn)?2 2 其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 且f x sin x 1 cos2x sinx 1 cos2x f x 則f x 為奇函數(shù) 其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 排除D 當(dāng)00 排除C 又2sinxcos2x 0 可得x 2或x 2或x 0 排除A 故選B 函數(shù)圖象的辨識(shí)主要從以下幾個(gè)方面入手 1 函數(shù)圖象的對(duì)稱性 2 函數(shù)圖象的單調(diào)性 3 特殊點(diǎn) 方法歸納 D 答案 解析 變式訓(xùn)練 解析 當(dāng)x 0時(shí) f x 2x 1 根據(jù)指數(shù)函數(shù)g x 2x的圖象向下平移一個(gè)單位 即可得到函數(shù)f x 的圖象 當(dāng)x 0時(shí) f x x2 2x 根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 可得到相應(yīng)的圖象 綜上 函數(shù)f x 的圖象為選項(xiàng)D中的圖象 D 答案 解析 D 答案 解析 典型例題 例3 已知函數(shù)f x 滿足f x 1 f x 1 且f x 是偶函數(shù) 當(dāng)x 1 0 時(shí) f x x2 若在區(qū)間 1 3 內(nèi) 函數(shù)g x f x loga x 2 有4個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 1 5 B 1 5 C 5 D 5 解析 由題意可知函數(shù)f x 是周期為2的偶函數(shù) 結(jié)合當(dāng)x 1 0 時(shí) f x x2 繪制函數(shù)圖象如圖所示 函數(shù)g x 有4個(gè)零點(diǎn) 則函數(shù)f x 與函數(shù)y loga x 2 的圖象在區(qū)間 1 3 內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn) 結(jié)合函數(shù)圖象可得 loga 3 2 1 解得a 5 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 5 C 答案 解析 函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法 1 直接求零點(diǎn) 令f x 0 如果能求出解 那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn) 2 零點(diǎn)存在性定理 利用定理不僅要函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 且f a f b 0 還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì) 如單調(diào)性 奇偶性 才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn) 3 利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差 畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象 看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值 就有幾個(gè)不同的零點(diǎn) 方法歸納 B 答案 解析 變式訓(xùn)練 D 答案 解析 解析 設(shè)t f x 則a f t 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作y a與y f t 的圖象 如圖 當(dāng)a 1時(shí) 兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn) 設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1 t2 且t1 1 t2 1 當(dāng)t1 1時(shí) t1 f x 有一個(gè)解 當(dāng)t2 1時(shí) t2 f x 有兩個(gè)解 綜上可知 當(dāng)a 1時(shí) g x f f x a有三個(gè)不同的零點(diǎn) 故選D B 答案 解析 典型例題 例5 某高校為提升科研能力 計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入 若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬(wàn)元 在此基礎(chǔ)上 每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長(zhǎng)12 則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開(kāi)始超過(guò)2000萬(wàn)元的年份是 參考數(shù)據(jù) lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 A 2020年B 2021年C 2022年D 2023年 解析 若2018年是第1年 則第n年科研經(jīng)費(fèi)為1300 1 12n 由1300 1 12n 2000 可得lg1 3 nlg1 12 lg2 得n 0 05 0 19 n 3 8 n 4 即4年后 到2021年科研經(jīng)費(fèi)超過(guò)2000萬(wàn)元 故選B 方法歸納 C 答案 解析 變式訓(xùn)練 D 答案 解析 微專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 返 1 如圖 函數(shù)y f x 的圖象在點(diǎn)P處的切線方程為x y 2 0 則f 1 f 1 A 1B 2C 3D 4 解析 由條件知 1 f 1 在直線x y 2 0上 且f 1 1 f 1 f 1 3 1 4 故選D A 答案 解析 A 答案 解析 解析 當(dāng)x1時(shí) f x 0 此時(shí)函數(shù)f x 單調(diào)遞增 即當(dāng)x 1時(shí) 函數(shù)f x 取得極小值同時(shí)也取得最小值f 1 所以f 0 f 1 f 2 f 1 則f 0 f 2 2f 1 故選A 0 答案 解析 答案 解析 典型例題 1 求曲線y f x 的切線方程的三種類型及方法 1 已知切點(diǎn)P x0 y0 求y f x 過(guò)點(diǎn)P的切線方程 先求出切線的斜率f x0 由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程 2 已知切線的斜率k 求y f x 的切線方程 設(shè)切點(diǎn)P x0 y0 通過(guò)方程k f x0 解得x0 再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程 3 已知切線上一點(diǎn) 非切點(diǎn) 求y f x 的切線方程 設(shè)切點(diǎn)P x0 y0 利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f x0 然后由斜率公式求得切線斜率 列方程 組 解得x0 再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫(xiě)出方程 2 利用切線 或方程 與其他曲線的關(guān)系求參數(shù) 已知過(guò)某點(diǎn)的切線方程 斜率 或其與某直線平行 垂直 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 切點(diǎn)坐標(biāo) 切線斜率之間的關(guān)系構(gòu)建方程 組 或函數(shù)求解 方法歸納 1 1 答案 解析 變式訓(xùn)練 2 已知曲線y x lnx在點(diǎn) 1 1 處的切線與曲線y ax2 a 2 x 1相切 則a 8 答案 解析 答案 解析 典型例題 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 1 已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間 實(shí)質(zhì)上是求f x 0 f x 0的解集 求單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循定義域優(yōu)先的原則 2 含參函數(shù)的單調(diào)性要分類討論 通過(guò)確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性 3 注意兩種表述 函數(shù)f x 在 a b 上為減函數(shù) 與 函數(shù)f x 的減區(qū)間為 a b 的區(qū)別 方法歸納 1 答案 解析 變式訓(xùn)練 答案 解析 例3 若x 3是函數(shù)f x x2 ax 1 ex的極值點(diǎn) 則f x 的極大值等于 A 1B 3C 2e3D 6e 1 D 答案 解析 典型例題 解析 函數(shù)f x x2 ax 1e x f x x2 2 a x a 1 ex x 3是函數(shù)f x x2 ax 1 ex的極值點(diǎn) f 3 0 解得a 4 故f x x2 2x 3 ex 當(dāng)x 1時(shí) f x 取得極大值 極大值為f 1 6e 1 故選D 答案 解析 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值 最值的方法 1 若求極值 則先求方程f x 0的根 再檢查f x 在方程根的左右兩邊函數(shù)值的符號(hào) 2 若已知極值大小或存在情況 則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知方程f x 0根的大小或存在情況來(lái)求解 3 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值時(shí) 在得到極值的基礎(chǔ)上 結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f a f b 與f x 的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值 4 研究函數(shù)的極值或最值時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值時(shí) 應(yīng)先考慮函數(shù)的定義域 導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn) 它是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的必要不充分條件 方法歸納 答案 解析 變式訓(xùn)練 1 若關(guān)于x的不等式x3 3x2 9x 2 m對(duì)任意x 2 2 恒成立 則m的取值范圍是 A 7 B 20 C 0 D 12 7 B 答案 解析 微專題04函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 返 解析 令f x x3 3x2 9x 2 則f x 3x2 6x 9 令f x 0得x 1或x 3 舍去 f 1 7 f 2 0 f 2 20 f x 的最小值為f 2 20 故m 20 2 已知函數(shù)f x x3 3x 1 若對(duì)于區(qū)間 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 則實(shí)數(shù)t的最小值是 A 20B 18C 3D 0 A 答案 解析 解析 對(duì)于區(qū)間 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 等價(jià)于在區(qū)間 3 2 上 f x max f x min t f x x3 3x 1 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 x 3 2 函數(shù)f x 在 3 1 1 2 上單調(diào)遞增 在 1 1 上單調(diào)遞減 又 f 3 19 f 1 3 f 1 1 f 2 1 f x max f 2 f 1 1 f x min f 3 19 f x max f x min 20 t 20 即實(shí)數(shù)t的最小值是20 3 已知y f x 為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) 且xf x f x 0 則函數(shù)g x xf x 1 x 0 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A 0B 1C 0或1D 無(wú)數(shù)個(gè) A 答案 解析 解析 因?yàn)間 x f x xf x 0 所以函數(shù)g x 在 0 上為增函數(shù) 因?yàn)間 0 0 所以g x 0 故函數(shù)g x xf x 1 x 0 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0 4 做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶 若要使其體積是27 dm3 且用料最省 則圓柱的底面半徑為dm 3 答案 解析 答案 解析 典型例題 已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)的常用方法和思路 1 直接法 直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式 再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍 2 分離參數(shù)法 將參數(shù)分離 轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問(wèn)題解決 3 數(shù)形結(jié)合法 先對(duì)解析式變形 在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中 畫(huà)出函數(shù)的圖象 然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解 方法歸納 1 如果函數(shù)f x ax2 bx clnx a b c為常數(shù) a 0 在區(qū)間 0 1 和 2 上均單調(diào)遞增 在 1 2 上單調(diào)遞減 則函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A 0B 1C 2D 3 B 答案 解析 變式訓(xùn)練 1 答案 解析 解析 當(dāng)x 0時(shí) G x 0 G x 在 0 上單調(diào)遞增 又G 0 10 G x 存在唯一零點(diǎn)c 0 1 且當(dāng)x 0 c 時(shí) G x 0 當(dāng)x 0 c 時(shí) g x 0 g x 在 0 c 上單調(diào)遞減 在 c 上單調(diào)遞增 g x g c G c cec 1 0 00 g x g c 0 函數(shù)g x 無(wú)零點(diǎn) 例2 2018年天津市南開(kāi)中學(xué)高三模擬考試 已知f x ex alnx a 其中常數(shù)a 0 1 當(dāng)a e時(shí) 求函數(shù)f x 的極值 2 當(dāng)0 a e時(shí) 求證 f x 0 3 求證 e2x 2 ex 1lnx x 0 答案 解析 典型例題 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f x g x 在區(qū)間D上恒成立的基本方法是先構(gòu)造函數(shù)h x f x g x 然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h x 0 其中找到函數(shù)h x f x g x 的零點(diǎn)是解題的突破口 方法歸納 1 答案 解析 變式訓(xùn)練 答案 解析 典型例題 解析 答案 解析 1 對(duì)于恒成立和存在性的問(wèn)題 常用的解法是分離參數(shù) 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題處理 解題時(shí)常用的結(jié)論 若a f x 有解 則a f x min 若a f x 有解 則a f x max 2 對(duì)于含參數(shù)的不等式 如果易分離參數(shù) 那么可先分離參數(shù) 構(gòu)造函數(shù) 將問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值 否則應(yīng)進(jìn)行分類討論 在解題過(guò)程中 必要時(shí) 可畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖 借助幾何圖形直觀分析 方法歸納 答案 解析 1 已知函數(shù)f x axex x R g x lnx kx 1 k R 1 若k 1 求函數(shù)g x 的單調(diào)區(qū)間 2 當(dāng)k 1時(shí) f x g x 恒成立 求a的取值范圍 變式訓(xùn)練 2 廣西2018屆高三下學(xué)期第二次模擬 已知函數(shù)f x ln 1 x ln 1 x k x3 3x k R 1 當(dāng)k 3時(shí) 求曲線y f x 在原點(diǎn)O處的切線方程 2 若f x 0對(duì)x 0 1 恒成立 求k的取值范圍 答案 解析 答案 解析 典型例題 由上表可得 當(dāng)x 4時(shí) 函數(shù)f x 取得極大值 也是最大值 所以 當(dāng)x 4時(shí) 函數(shù)f x 取得最大值 且最大值等于42 故當(dāng)銷售價(jià)格為4元 千克時(shí) 商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟 1 建模 分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系 列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) f x 2 求導(dǎo) 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f x 解方程f x 0 3 求最值 比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f x 0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小 最大 小 者為最大 小 值 4 結(jié)論 回歸實(shí)際問(wèn)題作答 方法歸納 答案 解析 變式訓(xùn)練 謝 謝 觀 賞