2019 專題3 數(shù)列 03 目錄 微專題07等差數(shù)列與等比數(shù)列 點(diǎn)擊 出答案 一 等差數(shù)列1 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么 如何表示等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)的關(guān)系 an a1 n 1 d an am n m d 2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么 它具有什么特點(diǎn) 請(qǐng)列舉等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的一些重要性質(zhì) 二 等比數(shù)列1 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么 如何表示等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的關(guān)系 an a1qn 1 an amqn m 2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么 具有什么特點(diǎn) 易忽略點(diǎn)是什么 請(qǐng)列舉等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的一些重要性質(zhì) 1 等差數(shù)列的單調(diào)性與什么有關(guān) 等比數(shù)列呢 等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù) 而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q的取值 又要考慮首項(xiàng)a1的正負(fù) 2 等差中項(xiàng) 等比中項(xiàng)的概念是什么 由此可以得到哪些重要的性質(zhì) 三 數(shù)列求和列舉數(shù)列求和的方法 各自的注意點(diǎn)是什么 1 公式法求和 要熟練掌握一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 2 分組求和法 分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cn an bn形式的數(shù)列求和問題的方法 其中 an 與 bn 是等差 比 數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列 3 裂項(xiàng)相消法 4 錯(cuò)位相減法 形如 an bn 其中 an 為等差數(shù)列 bn 為等比數(shù)列 的數(shù)列求和 一般分三步 巧拆分 構(gòu)差式 求和 用錯(cuò)位相減法求和時(shí)易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng) 5 倒序求和法 距首尾兩端等距離的兩項(xiàng)和相等 可以用此法 一般步驟 求通項(xiàng)公式 定和值 倒序相加 求和 回顧反思 從近三年的高考全國(guó)卷試題來看 數(shù)列一直是高考的熱點(diǎn) 數(shù)列部分的題型 難度和分值都保持穩(wěn)定 考查的重點(diǎn)主要是等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 數(shù)列的通項(xiàng) 數(shù)列的前n項(xiàng)和等知識(shí) 考查內(nèi)容比較全面 解題時(shí)要注意基本運(yùn)算 基本能力的運(yùn)用 同時(shí)注意函數(shù)與方程 轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用 一 選擇題和填空題的命題特點(diǎn)等差 比 數(shù)列的基本運(yùn)算 a1 an Sn n d q 這五個(gè)量中已知其中的三個(gè)量 求另外兩個(gè)量 已知數(shù)列的遞推關(guān)系式以及某些項(xiàng) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和等 命題特點(diǎn) A 答案 解析 1 2018 全國(guó) 卷 理T4改編 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若3S3 S2 S4 a1 2 則S5 A 20B 10C 10D 20 32 答案 解析 2 2018 全國(guó) 卷 理T14改編 記Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若Sn 2an 1 則a6 解析 當(dāng)n 2時(shí) Sn 1 2an 1 1 所以Sn Sn 1 2 an an 1 即an 2an 1 又a1 S1 2a1 1 所以a1 1 0 所以數(shù)列 an 是以 1為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 所以an 2n 1 a6 26 1 32 二 解答題的命題特點(diǎn)等差 比 數(shù)列的基本運(yùn)算 a1 an Sn n d q 這五個(gè)量中已知其中的三個(gè)量 求另外兩個(gè)量 已知數(shù)列的遞推關(guān)系式以及某些項(xiàng) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 已知等差 比 數(shù)列的某些項(xiàng)或前幾項(xiàng)的和 求其通項(xiàng)公式 等差 比 數(shù)列的判斷與證明以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題等 解析 解析 2 2018 全國(guó) 卷 理 文T17改編 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 已知a1 7 a1 a2 a3 15 1 求an Sn 2 求數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Tn 解析 規(guī)律方法 1 等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷方法 判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列 可以先計(jì)算特殊的幾項(xiàng) 觀察其特征 然后歸納出等差數(shù)列或者等比數(shù)列的結(jié)論 證明等差數(shù)列和等比數(shù)列 應(yīng)該首先考慮其通項(xiàng)公式 利用定義或者等差中項(xiàng) 等比中項(xiàng)來證明 利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式只是作為判斷方法 而不是證明方法 把對(duì)數(shù)列特征的判定滲透在解題過程中 可以幫助學(xué)生拓展思維和理清思路 2 數(shù)列通項(xiàng)的求法 1 公式法 等差數(shù)列通項(xiàng)公式 等比數(shù)列通項(xiàng)公式 規(guī)律方法 規(guī)律方法 微專題07等差數(shù)列與等比數(shù)列 返 B 答案 解析 答案 解析 2n 答案 解析 3 如圖所示的是 楊輝三角 數(shù)圖 計(jì)算第1行的2個(gè)數(shù)的和 第2行的3個(gè)數(shù)的和 第3行的4個(gè)數(shù)的和 則第n行的n 1個(gè)數(shù)的和為 11第1行121第2行1331第3行14641第4行 解析 1 1 2 1 2 1 4 1 3 3 1 8 1 4 6 4 1 16 則第n行的n 1個(gè)數(shù)的和為2n 解析 能力1 等差 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 3n 1 典型例題 答案 解析 例1 設(shè)Sn為等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若a1 1 且3S1 2S2 S3成等差數(shù)列 則an 解析 法一 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q q 0 則2S2 2 a1 a2 2 a1 a1q S3 a1 a2 a3 a1 a1q a1q2 因?yàn)?S1 2S2 S3成等差數(shù)列 所以3a1 a1 a1q a1q2 4 a1 a1q 解得q 3 故an 3n 1 方法歸納 在等差 比 數(shù)列問題中 最基本的量是首項(xiàng)a1和公差d 公比q 在解題時(shí)往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個(gè)量的方程組 從而求出這兩個(gè)量 那么其他問題也就會(huì)迎刃而解 這就是解決等差 比 數(shù)列問題的基本量的方法 其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用 在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí) 務(wù)必注意公比q的取值范圍 B 變式訓(xùn)練 答案 解析 1 已知等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn a1 a3 30 S4 120 設(shè)bn 1 log3an 則數(shù)列 bn 的前15項(xiàng)和為 A 152B 135C 80D 16 D 答案 解析 能力2 等差 等比數(shù)列的基本性質(zhì) C 典型例題 答案 解析 10 2 因?yàn)?an 是等比數(shù)列 所以a8a13 a9a12 e 所以lna1 lna2 lna20 ln a1a2 a20 ln a1a20 10 10ln a8a13 10lne 10 等差 等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn) 是解決等差 等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具 應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用 但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件 有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形 在解決等差 等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí) 經(jīng)常采用 巧用性質(zhì) 整體考慮 減少運(yùn)算量 的思想 方法歸納 n 2n 1 變式訓(xùn)練 答案 解析 1 已知等比數(shù)列 an 滿足an 0 且a3a2n 3 22n n 2 則當(dāng)n 1時(shí) log2a1 log2a2 log2a3 log2a2n 1 答案 解析 能力3 等差 等比數(shù)列的判斷與證明 典型例題 解析 方法歸納 變式訓(xùn)練 解析 記Sn為等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 已知a3 8 S3 6 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 求Sn 并證明對(duì)任意的n N Sn 2 Sn Sn 1成等差數(shù)列 能力4 典型例題 解析 解這種題目的一般方法是用 退位相減法 消去Sn 或者an 得到數(shù)列 an 的遞推公式 或者是數(shù)列 Sn 的遞推公式 進(jìn)而求出an 或者Sn 與n的關(guān)系式 方法歸納 變式訓(xùn)練 答案 解析 設(shè)Sn是數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 且a1 1 an 1 Sn Sn 1 則Sn 微專題08數(shù)列求和的方法 返 C 答案 解析 1 已知數(shù)列5 6 1 5 該數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和 則這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16等于 A 5B 6C 7D 16 解析 根據(jù)題意得這個(gè)數(shù)列的前8項(xiàng)分別為5 6 1 5 6 1 5 6 發(fā)現(xiàn)從第7項(xiàng)起 數(shù)字重復(fù)出現(xiàn) 所以此數(shù)列為周期數(shù)列 且周期為6 前6項(xiàng)和為5 6 1 5 6 1 0 又因?yàn)?6 2 6 4 所以這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16 2 0 7 7 故選C D 答案 解析 2 已知在等差數(shù)列 an 中 a3 a9 公差dS6B S5 S6C S6 0D S5 S6 解析 d0 a90 a7 0 S5 S6 故選D 99 答案 解析 解析 能力1 會(huì)用分組求和法求和 典型例題 解析 方法歸納 變式訓(xùn)練 解析 能力2 會(huì)用錯(cuò)位相減法求和 典型例題 解析 例2 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知2Sn 3n 3 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 若數(shù)列 bn 滿足anbn log3an 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn 方法歸納 1 一般地 若數(shù)列 an 是等差數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 求數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和 則可以采用錯(cuò)位相減法求和 一般是先將和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫出 Sn 與 qSn 的表達(dá)式時(shí) 應(yīng)特別注意將兩式 錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊 以便下一步準(zhǔn)確寫出 Sn qSn 的表達(dá)式 3 在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí) 若等比數(shù)列的公比為參數(shù) 應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解 變式訓(xùn)練 解析 解析 1 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 則d 0 S3 9 a1 a2 a3 3a2 9 即a2 3 又2a1 a3 1 a4 1成等比數(shù)列 2 d 2 2 3 d 4 2d 解得d 2 a1 1 an 1 n 1 2 2n 1 能力3 會(huì)用裂項(xiàng)相消法求和 典型例題 解析 方法歸納 1 利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí) 應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng) 也有可能前面剩兩項(xiàng) 后面也剩兩項(xiàng) 2 將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后 有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù) 使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等 變式訓(xùn)練 解析 能力4 會(huì)求等差 等比數(shù)列中關(guān)于絕對(duì)值的求和問題 典型例題 解析 例4 在公差為d的等差數(shù)列 an 中 已知a1 10 且a1 2a2 2 5a3成等比數(shù)列 1 求d an 2 若d 0 求 a1 a2 a3 an 解析 1 由題意得a1 5a3 2a2 2 2 又由a1 10 an 是公差為d的等差數(shù)列 得d2 3d 4 0 解得d 1或d 4 所以an n 11 n N 或an 4n 6 n N 方法歸納 根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及d 0 確定an的符號(hào) 從而去掉絕對(duì)值符號(hào) 這需要對(duì)n的取值范圍進(jìn)行分類討論 變式訓(xùn)練 解析 已知數(shù)列 an 滿足a1 2 an 1 2an 4 1 證明 數(shù)列 an 4 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 謝 謝 觀 賞