2019屆高三模擬考試試卷數(shù) 學(滿分 160 分，考試時間 120 分鐘)20195一、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分1. 已知集合 Ax|x|1，xZ，Bx|0x2，則AB_2. 已知復數(shù) z(12i)(ai)，其中 i 是虛數(shù)單位若 z 的實部與虛部相等，則實數(shù) a 的值為_3. 某班有學生 52 人，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為 4 的樣本已知 5 號、31 號、44 號學生在樣本中，則樣本中還有一個學生的編號是_4. 3 張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎甲、乙兩人同時各抽取 1 張獎券，兩人都未抽得特等獎的概率是_ 5. 函數(shù) f(x) xlog2(1x)的定義域為_6. 如圖是一個算法流程圖，則輸出 k 的值為_(第 6 題)(第 7 題)7. 若正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱長均為 2，點 P 為側(cè)棱 AA1上任意一點，則四棱錐 PBCC1B1 的體積為_8. 在平面直角坐標系 xOy 中，點 P 在曲線 C：yx310x 3 上，且在第四象限內(nèi)已知曲線 C 在點 P 處的切線方程為 y2xb ，則實數(shù) b 的值為_9. 已知函數(shù) f(x)3sin(2x)cos(2x )(00 ，b0)有相同的焦點，其左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2.若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為 P，且 F1PF1F2，則雙曲線的離心率為_12. 在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 的坐標為(0，5) ，點 B 是直線l：y12x 上位于第一象限內(nèi)的一點已知以 AB 為直徑的圓被直線l 所截得的弦長為 25，則點 B 的坐標為_13. 已知數(shù)列an的前 n 項和為Sn，a1 1 ，a22， an2an 2，n 2k1 ，kN*，2an ，n2k，kN*，則滿足 2 019Sm3 000 的正整數(shù) m 的所有取值為_14. 已知等邊三角形 ABC 的邊長為 2，AM2MB，點 N，T分別為線段 BC，CA 上的動點，則AB?NTBC?TMCA?MN 取值的集合為_二、 解答題：本大題共 6 小題，共 90 分. 解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分 14 分)如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，以 x 軸正半軸為始邊的銳角 的終邊與單位圓 O 交于點 A，且點 A 的縱坐標是 1010.(1) 求 cos(34) 的值；(2) 若以 x 軸正半軸為始邊的鈍角 的終邊與單位圓 O 交于點 B，且點 B 的橫坐標為55，求 的值16. (本小題滿分 14 分)如圖，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB2，AF1，M 是線段 EF 的中點求證：(1) AM平面 BDE；(2) AM平面 BDF.17. (本小題滿分 14 分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示，該封閉區(qū)域由以 O 為圓心的半圓及直徑 AB 圍成在此區(qū)域內(nèi)原有一個以 OA 為直徑、C 為圓心的半圓形展示區(qū)，該廣告商欲在此基礎(chǔ)上，將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū) COPQ，其中 P，Q 分別在半圓 O 與半圓 C 的圓弧上，且 PQ 與半圓 C 相切于點 Q.已知 AB長為 40 米，設BOP 為 2.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1) 記四邊形 COPQ 的周長為 f()，求 f()的表達式；(2) 要使改建成的展示區(qū) COPQ 的面積最大，求 sin 的值18. (本小題滿分 16 分)在平面直角坐標系 xOy 中，已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2 ，且點 F1，F(xiàn)2 與橢圓 C 的上頂點構(gòu)成邊長為 2 的等邊三角形(1) 求橢圓 C 的方程；(2) 已知直線 l 與橢圓 C 相切于點 P，且分別與直線 x4 和直線x1 相交于點 M，N.試判斷 NF1MF1 是否為定值，并說明理由19. (本小題滿分 16 分)已知數(shù)列an滿足 a1?a2?an2n（n 1）2(nN*) ，數(shù)列bn的前 n 項和 Snn（b1bn ）2(nN*)，且 b11，b22.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 求數(shù)列bn 的通項公式；(3) 設 cn1an1bn?bn1，記 Tn 是數(shù)列cn的前 n 項和，求正整數(shù) m，使得對于任意的 nN*均有 TmTn.20. (本小題滿分 16 分)設 a 為實數(shù)，已知函數(shù) f(x)axex，g(x)x ln x.(1) 當 a0恒成立，求 b 的取值范圍；(3) 若函數(shù) h(x)f(x)g(x)(x0 ，xR) 有兩個相異的零點，求 a的取值范圍?2019 屆高三模擬考試試卷數(shù)學附加題(滿分 40 分，考試時間 30 分鐘)21. 【選做題】 在 A，B，C 三小題中只能選做兩題，每小題 10 分，共 20 分若多做，則按作答的前兩題計分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟A. (選修 42：矩陣與變換)已知矩陣 A1 101，二階矩陣 B 滿足 AB1001.(1) 求矩陣 B；(2) 求矩陣 B 的特征值B. (選修 44：坐標系與參數(shù)方程)設 a 為實數(shù)，在極坐標系中，已知圓 2asin (a0)與直線cos(4)1 相切，求 a 的值C. (選修 45：不等式選講)求函數(shù) y1x3x2 的最大值【必做題 】 第 22， 23 題，每小題 10 分，共 20 分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟22. 如圖，在四棱錐 PABCD 中，PA平面ABCD，ABCBAD90° ，ADAP4，ABBC2，點 M為 PC 的中點(1) 求異面直線 AP 與 BM 所成角的余弦值；(2) 點 N 在線段 AD 上，且 AN，若直線 MN 與平面 PBC 所成角的正弦值為 45，求 的值23. 在平面直角坐標系 xOy 中，有一個微型智能機器人( 大小不計)只能沿著坐標軸的正方向或負方向行進，且每一步只能行進 1 個單位長度，例如：該機器人在點(1，0)處時，下一步可行進到(2，0) 、(0，0)、(1，1)、(1 ，1)這四個點中的任一位置記該機器人從坐標原點 O 出發(fā)、行進 n 步后落在 y 軸上的不同走法的種數(shù)為 L(n)(1) 求 L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求 L(n)的表達式?2019 屆高三模擬考試試卷 (南師附中)數(shù)學參考答案及評分標準1. 0，1 2. 3 3. 18 4. 13 5. 0，1) 6. 3 7. 433 8. 13 9. 2 10. 18 11. 222 12. (6，3) 13. 20，21 14. 615. 解：因為銳角 的終邊與單位圓 O 交于點 A，且點 A 的縱坐標是 1010，所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知 sin 1010.從而 cos 1sin2 31010.(3 分)(1) cos(34)cos cos 34sin sin 3431010×( 22)1010×22 55.(6 分)(2) 因為鈍角 的終邊與單位圓 O 交于點 B，且點 B 的橫坐標是55，所以 cos 55，從而 sin 1 cos2255.(8 分)于是 sin() sin cos cos sin 1010×( 55)31010×255 22.(10 分)因為 為銳角， 為鈍角，所以 (2，32) ，(12 分)從而 34.(14 分)16. 證明：(1) 設 ACBDO，連結(jié) OE，四邊形 ACEF 是矩形， EFAC，EFAC. O 是正方形 ABCD 對角線的交點， O 是 AC 的中點又點 M 是 EF 的中點， EMAO，EM AO.四邊形 AOEM 是平行四邊形， AMOE.(4分) OE 平面 BDE，AM 平面 BDE， AM平面 BDE.(7 分)(2) 正方形 ABCD， BDAC.平面 ABCD平面 ACEFAC ，平面 ABCD 平面 ACEF，BD 平面 ABCD， BD平面 ACEF.(9 分) AM 平面 ACEF， BDAM.(10 分)正方形 ABCD，AD2 ， OA1.由 (1)可知點 M，O 分別是 EF，AC 的中點，且四邊形 ACEF 是矩形 AF1 ，四邊形 AOMF 是正方形，(11 分) AMOF.(12 分)又 AMBD，且 OFBDO ，OF 平面 BDF，BD 平面 BDF， AM平面 BDF.(14 分)17. 解：(1) 連結(jié) PC.由條件得 (0，2)在POC 中，OC 10，OP 20 ，POC 2，由余弦定理，得PC2OC2OP2 2OC?OPcos(2) 100(5 4cos 2)(2分)因為 PQ 與半圓 C 相切于點 Q，所以 CQPQ，所以 PQ2PC2CQ2400(1 cos 2)，所以 PQ202cos .(4分)所以四邊形 COPQ 的周長為 f()CO OPPQ QC40202cos ，即 f()40202cos ，(0，2)(7 分)(沒寫定義域，扣 2 分)(2) 設四邊形 COPQ 的面積為 S()，則S()SOCPSQCP100(2cos 2sin cos )，(0，2)(10 分)所以 S()100(2sin 2cos22sin2)100(4sin22sin 2)，(0 ，2)(12 分)令 S(t)0，得 sin 34 28.列表：sin (0，3428)3428(3428，1)S() 0 S() 增 最大值 減答：要使改建成的展示區(qū) COPQ 的面積最大，sin 的值為3428.(14 分)18. 解：(1) 依題意， 2ca2 ，所以 c1，b3，所以橢圓 C 的標準方程為 x24y231.(4 分)(2) 因為直線 l 分別與直線 x4 和直線 x1 相交，所以直線 l 一定存在斜率(6 分)設直線 l：ykxm ，由 ykx m，3x2 4y212 ，得(4k2 3)x2 8kmx 4(m23)0.由 (8km)24×(4k23)×4(m23)0 ，得 4k23m20 .(8 分)把 x4 代入 ykxm，得 M(4，4km)，把 x 1 代入 ykxm，得 N(1，km) ，(10 分)所以 NF1| km|，MF1（41）2（4km）29（4km）2 ，(12 分)由式，得 3m2 4k2 ，把式代入式，得 MF14（km）22|km|，NF1MF1|km|2|km| 12，即 NF1MF1 為定值 12.(16 分)19. 解：(1) a121×222；(2 分)當 n2時，an a1a2?an1ana1a2?an 12n（n 1 ）22 （n1）n22n.所以數(shù)列an的通項公式為 an2n(nN*)(4 分)(2) 由 Snn（ b1bn ）2，得 2Snn(b1bn) ，所以 2Sn1(n1)(b1bn1)(n2) .由，得 2bnb1nbn (n 1)bn1，n2，即 b1(n2)bn (n1)bn1 0(n2) ，所以 b1(n3)bn (n2)bn10(n3) .由，得(n 2)bn2(n2)bn1(n2)bn20 ，n3 ，(6 分)因為 n3，所以 n20，上式同除以 (n2) ，得bn 2bn1 bn 2 0，n3，即 bn1bnbnbn 1 b2b11 ，所以數(shù)列 bn是首項為 1，公差為 1 的等差數(shù)列，故 bnn，nN*.(8 分)(3) 因為 cn1an 1bn?bn112n1n（n1）1n（n 1 ）n（n1）2n1，(10 分)所以 c10，c20 ，c30，c40，c5T5T6所以對任意的 nN* ，T4Tn.綜上，m 4.(16 分 )(注：其他解法酌情給分)20. 解：(1) 當 a0；當 x1 時，f(x)0，所以 aex2x b 對任意的 a1及任意的 x0 恒成立由于 ex0，所以 aexex，所以 ex2xb 對任意的 x0 恒成立(4 分)設 (x)ex2x，x0，則 (x)ex2，所以函數(shù) (x)在(0 ，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，所以 (x)min(ln 2)22ln 2，所以 b22ln 2.(6 分)(3) 由 h(x)axexxln x，得 h(x)a(x 1)ex11x（x 1 ）（axex1）x，其中 x0.若 a0時，則 h(x)0，所以函數(shù) h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù) h(x)至多有一個零零點，不合題意； (8 分)若 a0.由第(2)小題知，當 x0 時，(x)ex2x2 2ln 20，所以ex2x，所以 xex2x2，所以當 x0 時，函數(shù) xex 的值域為(0，)所以存在 x00，使得 ax0ex010 ，即 ax0ex01 ，且當 x0，所以函數(shù) h(x)在(0，x0) 上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減因為函數(shù)有兩個零點 x1，x2，所以 h(x)maxh(x0)ax0ex0x0ln x01x0ln x00 .設 (x)1xln x，x0，則 (x)11x0 ，所以函數(shù) (x)在(0，)上單調(diào)遞增由于 (1)0 ，所以當 x1 時，(x)0，所以式中的 x01.又由式，得 x0ex01a.由第 (1)小題可知，當 ae ，即 a(1e，0)(11 分)當 a(1e，0)時，(i) 由于 h(1e)ae1ee(1e 1)e ，設 F(t)ettln t，te，由于 te 時，ln t2t，所以設 F(t)1 時， 1ax0ex0x0，且 h(1a)?h(x0)0，同理可得函數(shù) h(x)在(x0 ，) 上也恰有一個零點綜上，a(1e，0)(16 分)?2019 屆高三模擬考試試卷 (南師附中)數(shù)學附加題參考答案及評分標準21. A. 解：(1) 由題意，由矩陣的逆矩陣公式得 BA 1 1 101.(5 分)(2) 矩陣 B 的特征多項式 f()(1)(1) ，(7 分)令 f()0 ，解得 1 或1，(9 分)所以矩陣 B 的特征值為 1 或1.(10 分)B. 解：將圓 2asin 化成普通方程為 x2y22ay，整理得x2(ya)2 a2.(3 分)將直線 cos( 4)1 化成普通方程為 xy20.(6 分)因為相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即|a2|2a，(9 分)解得 a2 2.(10 分)C. 解：因為(1x3x2)2(3 3x?133x2?1)2(33x3x2)(131) 203，(3 分)所以 y1x3x22153.(5 分)當且僅當 33x133x21，即 x71223，1時等號成立(8 分)所以 y 的最大值為 2153.(10 分)22. 解：(1) 因為 PA 平面 ABCD，且 AB，AD? 平面 ABCD，所以 PAAB，PAAD.因為BAD 90°，所以 PA，AB ，AD 兩兩互相垂直分別以 AB，AD，AP 所在直線為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系，則由 AD2AB2BC4，PA4 ，可得 A(0，0 ，0)，B(2，0，0) ，C(2，2 ，0)，D(0 ，4，0)，P(0，0，4) 因為點 M 為 PC 的中點，所以 M(1，1，2) 所以 BM(1，1 ，2)，AP (0，0，4) ，(2 分)所以 cosAP，BMAP?BM|AP|BM| 0×（1）0×14×24×663，(4 分)所以異面直線 AP，BM 所成角的余弦值為 63.(5 分)(2) 因為 AN ，所以 N(0， ，0)(04)，則MN(1，1 ，2)，BC(0，2 ，0)，PB(2，0，4) 設平面 PBC 的法向量為 m(x，y，z)，則m?BC 0，m?PD0 ，即 2y0，2x4z0.令 x2，解得 y0， z1 ，所以 m(2 ，0，1)是平面 PBC 的一個法向量(7 分)因為直線 MN 與平面 PBC 所成角的正弦值為 45，所以|cosMN ，m|MN?m|MN|m|22|5（1）2?545，解得10 ，4，所以 的值為 1.(10 分)23. 解：(1) L(1)2 ，(1 分)L(2)6，(2 分)L(3)20.(3 分)(2) 設 m 為沿 x 軸正方向走的步數(shù)(每一步長度為 1)，則反方向也需要走 m 步才能回到 y 軸上，所以 m0，1，2 ， ，n2(其中n2為不超過 n2 的最大整數(shù))，總共走 n 步，首先任選 m 步沿 x 軸正方向走，再在剩下的 nm 步中選 m 步沿 x 軸負方向走，最后剩下的每一步都有兩種選擇(向上或向下)，即 Cmn?Cmnm?2n2m，