第六章不等式第1講不等式的概念與性質(zhì)考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系.2.了解不等式(組)的實(shí)際背景2011年大綱第5題考查不等式的基本性質(zhì)；2016年北京第5題考查不等關(guān)系不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用，要弄清條件和結(jié)論，近幾年高考中多以小題出現(xiàn)，題目難度不大，復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)抓好基本概念，少做偏難題1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性abbb，bc_可加性abacbc可乘性注意 c 的符號(hào)2.不等式的基本性質(zhì)acacbc性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒同向可加性同向同正可乘性可乘方性ab0anbn(nN，n2)a，b 同為正數(shù)可開方性(續(xù)表)D1.若 abcd0，且 a0，bc，d0，則(A.b0，c0B.b0，c0C.b0，c0D.0cb 或 cb0解析：由 a0，d0，且 abcd0，知 bc0.又bc，0cb 或 cb0.)2.設(shè) 0ab1，則下列不等式成立的是( D3.如果 a，b，c 滿足 cba，且 acacC.cb20D.ac(ac)0解析：由題意知，c0，則 A 一定正確；B 一定正確；D 一定正確；當(dāng) b0 時(shí)，C 不正確.考點(diǎn) 1 不等式的基本性質(zhì)例 1：(1)(2016 年福建泉州月考)若 xy，ab，則在下列五個(gè)式子中：恒成立的不等式的序號(hào)是_.解析：令 x2，y3，a3，b2，符合題意 xy，ab.因?yàn)?ax3(2)5，by2(3)5，所以 axby.故不成立；因?yàn)?ax6，by6，所以 axby.故也不成立；所以恒成立的有.答案：)(2)設(shè) 0ab0，cda，cd0，ad0，bc0.adbc.錯(cuò)誤.a0ba，ab0.cd0，c0.正確.cd，cd.ab，a(c)b(d)，即 acbd.正確.ab，dc0，a(dc)b(dc).正確.故選 C.答案：C考點(diǎn) 2 利用作差比較大小又a1a3a1q2，q1.例2：在等比數(shù)列an和等差數(shù)列bn中，a1b10，a3b30，且a1a3，試比較下列各組數(shù)的大小.(1)a2與b2；(2)a5與b5.解：設(shè)an的公比為q，bn的公差為d，a3a1q2，b3b12da12d.a20，a5b5.【規(guī)律方法】作差比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷差的符號(hào).作差是依據(jù)，變形是手段，判斷差的符號(hào)才是目的.常用的變形方法有：配方法、通分法、因式分解法等.有時(shí)把差變形為常數(shù)，有時(shí)變形為常數(shù)與幾個(gè)數(shù)平方和的形式，有時(shí)變形為幾個(gè)因式積的形式等.總之，變形到能判斷出差的符號(hào)為止.【互動(dòng)探究】2.(2015 年浙江)有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為 x，y，z，且 xyz，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為 a，b，c，且 abc.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是()A.axbyczC.aybzcxB.azbycxD.aybxcz解析：由 xyz，ab0，故 axbyczazbycx；同理，aybzcx(aybxcz)b(zx)c(xz)(xz)(cb)0，故 aybzcxaybxcz.因?yàn)?azbycx(aybzcx)a(zy)b(yz)(ab)(zy)0，故 azbycxf(n)，即 f(n)單調(diào)遞增.【規(guī)律方法】第(2)小題要分 k 為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來討論；第(3)小題利用作商法判斷數(shù)列的單調(diào)性.所謂作商法：若B判斷商值與 1 的大小關(guān)系.指數(shù)不等式常用作商法證明.有時(shí)要用到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).如若 a1，且 x0，則ax 1 等.【互動(dòng)探究】4.比較1816與1618的大小.易錯(cuò)、易混、易漏忽略考慮等號(hào)能否同時(shí)成立例題：設(shè)f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范圍.正解：方法一，設(shè) f(2)mf(1)nf(1)(m，n 為待定系數(shù))，則 4a2bm(ab)n(ab)，即 4a2b(mn)a(nm)b，f(2)3f(1)f(1).1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.5f(2)10.f(2)4a2b3f(1)f(1).1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.5f(2)10.確定的平面區(qū)域如圖 6-1-1.圖 6-1-1當(dāng) f(2)4a2b 過點(diǎn) B(3,1)時(shí)，取得最大值 432110.故5f(2)10.【失誤與防范】本題主要考查多個(gè)不等式等號(hào)能否成立的問題，可以考慮待定系數(shù)法、換元法和線性規(guī)劃法，要特別注意1ab2,2ab4 中的a，b 不是獨(dú)立的，而是相互制約的，因此無論用哪種方法都必須將ab，ab 當(dāng)作一個(gè)整體來看待.