2.2.2等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前N項(xiàng)和項(xiàng)和中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué) 如圖堆放一堆鋼管，最上一層放了如圖堆放一堆鋼管，最上一層放了4根，根，下面每一層比上一層多放一根，共下面每一層比上一層多放一根，共8層，這層，這堆鋼管共有多少根？堆鋼管共有多少根？ 這堆鋼管從上到下的數(shù)這堆鋼管從上到下的數(shù)量組成一個(gè)等差數(shù)列。量組成一個(gè)等差數(shù)列。 其中其中a1=4，公差，公差d=1. 最下一層中最下一層中a8=11。即求即求4+5+6+11=? 我們?cè)O(shè)想，在這堆鋼管旁，如圖所示堆放同我們?cè)O(shè)想，在這堆鋼管旁，如圖所示堆放同樣數(shù)量的鋼管，這時(shí)每層都有鋼管樣數(shù)量的鋼管，這時(shí)每層都有鋼管(4+11)根根.因此鋼管的總數(shù)是因此鋼管的總數(shù)是(4+11) 824 1182=60(根根) 這種算法對(duì)于等差數(shù)列這種算法對(duì)于等差數(shù)列前前n項(xiàng)和的計(jì)算具有一般性項(xiàng)和的計(jì)算具有一般性。等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前N項(xiàng)和公式推導(dǎo)項(xiàng)和公式推導(dǎo)等差數(shù)列等差數(shù)列an中，中，a1， a2 ， a3 ，an ，的公差為的公差為d. a1a2 a3 an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n1)d anan1 an2 a1=an+(and)+(an2d)+an(n1)d)(21nnaanS2)(1nnaanSdnaan) 1(1dnnnaSn2) 1(1兩式相加得兩式相加得即即 這就是說(shuō)，等差數(shù)列的前這就是說(shuō)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于項(xiàng)和等于首首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半。公式中代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式公式中代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到得到例例1等差數(shù)列等差數(shù)列an的公差為的公差為2，第，第20項(xiàng)項(xiàng)a20=29，求前求前20項(xiàng)的和項(xiàng)的和S20.解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?9=a1+192，解得，解得a1=9， 所以所以 2020( 929)2002S 例例2已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和公式為項(xiàng)和公式為Sn=2n230n （1）這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它的通項(xiàng)）這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它的通項(xiàng)公式；公式； （2）求使得）求使得Sn最小的序號(hào)最小的序號(hào)n的值。的值。解：（解：（1）將）將n1代入到數(shù)列的前代入到數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，項(xiàng)和公式， 得得Sn1=2(n1)230(n1)，因此因此an=SnSn1=4n32，(n2)，當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，a1=S1=230=28，也適合上式，也適合上式， 所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=4n32。（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?22152252302()22nSnnn又因?yàn)橛忠驗(yàn)閚是正整數(shù)，是正整數(shù)，所以當(dāng)所以當(dāng)n=7或或=8時(shí)，時(shí)，Sn最小，最小，最小值是最小值是112.對(duì)對(duì)SN的深入認(rèn)識(shí)的深入認(rèn)識(shí)nanOan = 4n14已知一個(gè)等差數(shù)列已知一個(gè)等差數(shù)列an = 4n14 它是一個(gè)關(guān)于它是一個(gè)關(guān)于n的一次的一次函數(shù)，它的圖象是在一條函數(shù)，它的圖象是在一條直線上的若干點(diǎn)。直線上的若干點(diǎn)。nSnO6Sn = 2n212n它的前它的前n項(xiàng)和是項(xiàng)和是 Sn = 2n212n 這是一個(gè)關(guān)于這是一個(gè)關(guān)于n的二次函數(shù)，的二次函數(shù)，且二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為且二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為0. 反之若一個(gè)數(shù)列反之若一個(gè)數(shù)列an，它的前，它的前n項(xiàng)和的表達(dá)式是關(guān)于項(xiàng)和的表達(dá)式是關(guān)于n的二次的二次函數(shù)，且二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為函數(shù)，且二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為0，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列它的圖象是拋物線上的若干點(diǎn)。它的圖象是拋物線上的若干點(diǎn)。例例3李先生為今年上高中的兒子辦理了李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育教育儲(chǔ)蓄儲(chǔ)蓄”，從，從8月月1日開(kāi)始，每個(gè)月的日開(kāi)始，每個(gè)月的1號(hào)都存入號(hào)都存入100元，存期三年：元，存期三年： （1）已知當(dāng)年）已知當(dāng)年“教育儲(chǔ)蓄教育儲(chǔ)蓄”存款的月利率為存款的月利率為2.7，問(wèn)到期時(shí)，李先生一次可支取本息共多，問(wèn)到期時(shí)，李先生一次可支取本息共多少元？少元？（2）已知當(dāng)年同檔期的）已知當(dāng)年同檔期的“零存整取零存整取”儲(chǔ)蓄的月儲(chǔ)蓄的月利率是利率是1.725，問(wèn)李先生辦理，問(wèn)李先生辦理“教育儲(chǔ)蓄教育儲(chǔ)蓄”比比“零存整取零存整取”多收益多少元？多收益多少元？解：（解：（1）100元元“教育儲(chǔ)蓄教育儲(chǔ)蓄”存款的月利息是存款的月利息是1002.7=0.27（元），（元），第第1個(gè)個(gè)100元存元存36個(gè)月，得利息個(gè)月，得利息0.2736（元）（元）;第第2個(gè)個(gè)100元存元存35個(gè)月，得利息個(gè)月，得利息0.2735（元）（元）;第第36個(gè)個(gè)100元存元存1個(gè)月，得利息個(gè)月，得利息0.271（元），（元）， 此時(shí)李先生獲得利息此時(shí)李先生獲得利息 0.27(1+2+3+36)=179.82(元元)，本息和為本息和為3600+179.82=3779.82元；元；（2）100元元“零存整取零存整取”的月利息為的月利息為 1001.725=0.1725（元），（元）， 存存3年的利息是年的利息是 0.1725(1+2+3+36)=114.885(元元)， 因此李先生多收益因此李先生多收益 179.82114.885(120%)=87.912元元.答：李先生辦理答：李先生辦理“教育儲(chǔ)蓄教育儲(chǔ)蓄”比比“零存整零存整取取”多收益多收益87.912元元1. 若數(shù)列的前若數(shù)列的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 252 ,nSnn則數(shù)列（則數(shù)列（ ）(1)是公差為是公差為2的等差數(shù)列的等差數(shù)列(2)是公差為是公差為5的等差數(shù)列的等差數(shù)列(3)是公差為是公差為10的等差數(shù)列的等差數(shù)列(4)是公差為是公差為10的等差數(shù)列的等差數(shù)列C練習(xí)：練習(xí)：2.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a2+a4=p，a3+a5=q則其前則其前6項(xiàng)的和項(xiàng)的和S6為為( ) (A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)B3. 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，若若a4=18 a5，則，則S8等于（等于（ ） A.18 B.36 C.54 D.72 D30113030 29602Sad10.55:0.1ad解得309003030(30)60SABAB10010103024002030ABABAB解得解法三：解法三：設(shè)設(shè)a1+a2+a10=A， a11+a12+a20=B，a21+a22+a30=C，則則A，B，C成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，且且A=10，A+B=30,解得解得B=20，所以所以C=30，S30=A+B+C=60.