教學(xué)目標(biāo)： 1.知識與技能： 2.過程與方法： 3.情感態(tài)度與價(jià)值觀： 掌握空間向量數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能判斷向掌握空間向量數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能判斷向 量的共線與垂直。量的共線與垂直。 體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想；培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力以及體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想；培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力以及 推理論證能力。推理論證能力。 培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的求知精神，養(yǎng)成勤思善問的學(xué)培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的求知精神，養(yǎng)成勤思善問的學(xué)習(xí)習(xí)慣，構(gòu)建民主和諧的課堂氛圍。習(xí)習(xí)慣，構(gòu)建民主和諧的課堂氛圍。 一、知識構(gòu)建一、知識構(gòu)建1. 空間向量的夾角：空間向量的夾角：已知兩已知兩非零向量非零向量 ，在空間任取一點(diǎn)，在空間任取一點(diǎn)O，作作 ,則則 叫做向量叫做向量 與與 的夾角，的夾角，記作記作 ；規(guī)定：；規(guī)定： 2.面積公式：面積公式： , a b,OAa OBb AOB, a bab0, a bO OA AB Baabb(1)oAB(4)oAB(3)oAB(2)oABAOB 判斷:下列各圖中 的大小是否為給出向量的夾角的 大小?注意：在兩向量的夾角的定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)。2.空間向量垂直：空間向量垂直：,2a babab 如果則稱 與 互相垂直，記作：0aba b ,cos,cos,a ba ba ba ba ba ba ba b 已知空間兩個(gè)非零向量，則叫做向量的數(shù)量積，記作：即 兩非零向量兩非零向量 , a b 3.空間向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積 ：注意：注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量；兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量；零向量與任意向量的數(shù)量積等于零；零向量與任意向量的數(shù)量積等于零； 符號中的符號中的“.”在向量運(yùn)算中不是乘號，在向量運(yùn)算中不是乘號， 既不能省略，也不能用既不能省略，也不能用“”代替。代替。aOAbBCcos.a baabab 數(shù)量積等于 的長度與在 的方向上的投影的乘積a b 類比平面向量，你能說出的幾何意義嗎？思考思考OC= b cos4.空間向量的模長公式空間向量的模長公式 ： 分配律）交換律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa5.空間向量的夾角公式：空間向量的夾角公式：6.空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：律：思考：思考：(1)a ba cbc 由由，能能得得到到嗎？嗎？(2)對于向量對于向量 ， 成立嗎？成立嗎？)()（a b ca b c , ,a b c 2aa a 2aa ，cos,a ba ba b 數(shù)量積不滿足消去律、結(jié)合律數(shù)量積不滿足消去律、結(jié)合律7.空間向量解題的三部曲空間向量解題的三部曲 ：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間 向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把 立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間 的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何意成相應(yīng)的幾何意義。義。簡記：轉(zhuǎn)化、運(yùn)算、還原簡記：轉(zhuǎn)化、運(yùn)算、還原基礎(chǔ)練習(xí)基礎(chǔ)練習(xí):22222222|()|22212303623|23ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AAAC 5.已知在平行六面體已知在平行六面體 中，中，AB=1,AD=2,=3 , 則對角線的長為則對角線的長為_DCBDABCADCBAABCDAA ,60,9000ADAABABADCA ACABADAA 補(bǔ)償練習(xí)：已知在ABC中，BC=，CA=，C= ，則 =_CABCC=向量BC與CA所成的角為BC . CA= BC CA COS=58 x ( )= - 20060-2021 A CB二、展示交流二、展示交流討論要求：討論要求：1.小組長注意控制討論節(jié)奏，及時(shí)安排展示人；小組長注意控制討論節(jié)奏，及時(shí)安排展示人；2.討論從三個(gè)方面入手：討論從三個(gè)方面入手： 解題過程與方法解題過程與方法規(guī)律探究規(guī)律探究變形拓展。變形拓展。展示要求：展示要求：1.展示人及時(shí)到位，規(guī)范快速；展示人及時(shí)到位，規(guī)范快速；2.展示期間下面同學(xué)討論完畢后思考展示人的展示期間下面同學(xué)討論完畢后思考展示人的解題過程做好點(diǎn)評準(zhǔn)備，進(jìn)一步完善學(xué)案。解題過程做好點(diǎn)評準(zhǔn)備，進(jìn)一步完善學(xué)案。 展示分工：展示分工： 10 3 組組 11 4 組組 例例3 1 組組 9 2 組組 點(diǎn)評要求：點(diǎn)評要求：1.對錯(cuò)、規(guī)范（步驟、書寫）、思路分析、規(guī)對錯(cuò)、規(guī)范（步驟、書寫）、思路分析、規(guī)律方法總結(jié)；律方法總結(jié)；2.注意傾聽、積極思考、重點(diǎn)內(nèi)容記好筆記。注意傾聽、積極思考、重點(diǎn)內(nèi)容記好筆記。例（例（10）正四面體）正四面體OABC中，中，E、F分別是分別是AB、OC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，用向量法解決下列問題：用向量法解決下列問題：求求OE與與BF所成角的余弦值。所成角的余弦值。OABCEF典例分析典例分析:20OA,OB,OC| | | 1,1,60 ,211OE(),2211OE() ()221 11()2 2212解：設(shè),且則abcabca bb cc aa bb cc aabBFcbBFabcba cb ca bb 111(1)44212 33|OE|=,|BF |=,221OE22cos OE,=3|OE|BF |33222OE.3又與所成角的余弦值是BFBFBF 注意：結(jié)果的符號。注意：結(jié)果的符號。例例2（11）如圖，在四面體）如圖，在四面體ABCD中，已知中，已知ABCD，ACBD，求證：，求證：ADBC.B BC CD DA AABCDACBD 證明：由已知，0 ,0AB CDAC BD ,()00,AB ADAC AD ADABACAD CBADCBADBC ()0,()00,0AB AD ACAC AD ABAB AD AB ACAC AD AC AB 例例3 把長、寬分別為把長、寬分別為 和和2的長方形的長方形 ABCD沿對角線沿對角線AC折成折成 的二面角。的二面角。（1）求頂點(diǎn)）求頂點(diǎn)B和和D的距離；的距離；（2）求）求AC與與BD所成的角的余弦值。所成的角的余弦值。32060DCBAFEEF解：（解：（1）分別過）分別過B、D作作AC的垂線，垂足是的垂線，垂足是E、F，由已知得由已知得AC4，DEBF= ，AE=CF1， EF=2. 3222222220|()|B|222( 3)2( 3)0233120034337|7,BD7.即頂點(diǎn) 和 的距離是DBDEEFFBDBDEEFFBDEEFFDE EFDE FBEF FBCOSDB 0,120 ,DE FB 22(2) ACBDEFBD,()=EF020=4|7,|EF| 2,42 7cosB,EF=7|EF|72ACBD與所成的角就是與所成的角即與所DB EFDEEFFBEFDE EFEF FBDBDB EFDDB 2 7.7成的角的余弦值是拓展提高：2MCEDMCE.MPMPCEMPDMMCEAMDCECDEAMDCDE.DCDE（ ）證明：且為的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又，平面，而平面，平面平面22225.aAE AF=( )113A. B. C. D.244ABCDEFBCADaaaa 已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于 ，點(diǎn) 、分別是、的中點(diǎn),則02222AB,AC,AD| | | a,60 ,1211AE(),2211AE()2211 111()()44 224解析：設(shè),則則abcabca bb cc aa bb cc aaabAFcAFabca cb caaa 三、鞏固提高三、鞏固提高222a, ,a0a),a,a1abcb cbcbcb 9.設(shè)向量滿足，(若，則的值是_222222222a0aa),a)a)aa0ab ,a1b1a,a bcaa2a bb1 0 12abcbccbbcbcbbbbb 解析：由得，又(得(（），又，又=0，=1+1+2=4注：消元法注：消元法 Ec2.已知已知a,b是異面直線，是異面直線，A,B a,C,D b, 且且AB=2,CD=1,則則a與與b所成的角等于（所成的角等于（ ） ,bBDbACBAbDCa000090.60.45.30.DCBA0CAB,BBE AC,BEE,DE,ACb,b,BDb,BEBD=B,bBDE,CDBDE,CDDECDECEAB2,CD1,1EDCD,cos,602ccDCEBECDDCEDCECE 解析：過點(diǎn) 作直線過點(diǎn) 作直線直線與直線 交于點(diǎn)連接則就是異面直線a與b所成的角。又面即面在直角中，精彩一練精彩一練: 222221.10,0,0( )2)()()( )3)()( )4)( )a baba bcab cpqp qpqpqpq 判斷真假：） 若則1111112,( )60( )90( )105()75ABCABCABBBABC BABCD2.如圖，在正三棱柱中，若則與所成角的大小為( ) 111111111111,() ()ABABBB C BC CCBAB C BABBBC CCBAB C CAB CBBB C CBB CB 解析：A1C1B1ACBB111112211111,60 ,180|2 |10|002ABC C BBCBAB CBBB C CABBBAB C BABBBABC B 易知1.空間向量數(shù)量積可以解決的立體幾何問題：空間向量數(shù)量積可以解決的立體幾何問題：0;aba b 1）線段的長（兩點(diǎn)間的距離）；）線段的長（兩點(diǎn)間的距離）；2aa a 2aa ，也就是說，也就是說2）證明垂直問題；）證明垂直問題；( ,)a b 是是非非零零向向量量3）向量的夾角（兩異面直線所成的角）；）向量的夾角（兩異面直線所成的角）；cos,a ba ba b 四、反思?xì)w納四、反思?xì)w納2.數(shù)學(xué)思想、方法：數(shù)學(xué)思想、方法：數(shù)形結(jié)合、化歸數(shù)形結(jié)合、化歸（立體幾何問題（立體幾何問題 代數(shù)化的基本代數(shù)化的基本 思考方法）思考方法） 作業(yè)設(shè)計(jì)：1.必做題：必做題：用空間向量坐標(biāo)法解決學(xué)案第用空間向量坐標(biāo)法解決學(xué)案第189頁例頁例2.2.選做題：選做題：用空間向量基向量法解決學(xué)案第用空間向量基向量法解決學(xué)案第190頁例頁例4. 3.探究題探究題:1()3AGABACAD 如圖設(shè)如圖設(shè)A A是是BCDBCD所在平面外的一點(diǎn)，所在平面外的一點(diǎn)，G G是是BCDBCD的重心的重心, ,求證求證: :BACDG五、激勵(lì)評價(jià)心靈寄語：心靈寄語： 讓優(yōu)秀成為一種習(xí)慣，讓團(tuán)結(jié)成為一種習(xí)慣，讓讓優(yōu)秀成為一種習(xí)慣，讓團(tuán)結(jié)成為一種習(xí)慣，讓競爭成為一種習(xí)慣，再大的困難也會(huì)克服，我們競爭成為一種習(xí)慣，再大的困難也會(huì)克服，我們期待著輝煌業(yè)績。期待著輝煌業(yè)績。馬克鋒馬克鋒