專題二 三角變換與平面向量、復(fù)數(shù)()sin()1yAwx三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型高考中，單擺、彈簧振子、圓上一點(diǎn)的運(yùn)動、以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等周期性現(xiàn)象是新的命題背景新教材中增設(shè)了三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，且在課程標(biāo)準(zhǔn)中把“潮汐與港口水深”這一三角問題專門作為參考案例 在原來的教材中只有閱讀材料 ，教材中有幾處涉及三角函數(shù)在物理學(xué)科中的應(yīng)用，如用函數(shù)的物理意義刻畫簡諧振動、交流電等，說明三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型顯示重視三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的意圖()2融入三角形之中的實(shí)際問題也常出現(xiàn)這種題型既能考查解三角形的知識與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，故近年來備受命題者的青睞，主要解法是充分利用三角形的內(nèi)角和定理、正 余弦定理、面積公式等，并結(jié)合三角公式進(jìn)行三角變換，從而獲解一、三角函數(shù)圖象的應(yīng)用例1已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0t24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作y=f(t)下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：經(jīng)過長期觀測，y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acost+b的圖象 t(時(shí))03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acost+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對沖浪愛好者開放請根據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪愛好者進(jìn)行運(yùn)動？ 【分析】讀取與分析表中的數(shù)據(jù)，求得模型后，把第(2)問的情景轉(zhuǎn)化為一個簡單的三角函數(shù)不等式，再運(yùn)用整體思想，借助函數(shù)的圖象或者單位圓可以求解 01.51.5311cos1.261222.126.01.1,201.0.51tyAbtybTbTAyt則由，得，由，得所以，所以振幅為所以由表中數(shù)據(jù)知解，周期，析： 1cos11cos0.22()123123()0240,1,203915212269 0015 004.8126620020 0062ZZyttkkkktkktktttt由題知，當(dāng) 時(shí)才可對沖浪愛好者開放所以 ，所以所以，即 因?yàn)?，故可令?個小時(shí)時(shí)間可供沖浪中 分別為，得 或 或故在規(guī)定時(shí)間上午 ： 至者運(yùn)動，即上午： 至晚上： 之間：，下午讀取與分析表中的數(shù)據(jù)，是求解此題的關(guān)鍵，也是一種數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練，【點(diǎn)評】要加強(qiáng)二、解三角形的應(yīng)用二、解三角形的應(yīng)用點(diǎn)評點(diǎn)評 本題是解斜三角形的應(yīng)用題，考查了余弦定理以，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力 41262RABCDABADBCCDABCDRADDCABBCP長沙市某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是 的圓面該圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶建筑用地，測量可知邊界萬米，萬米，萬米請計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地的面積及圓面的半徑 的值；因地理?xiàng)l件的限制，邊界、不能變更，而邊界、可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請?jiān)诨∩显O(shè)計(jì)一3點(diǎn)例；使APCD得棚戶區(qū)改造的新建筑用地的面積最大，并求最大值 222222180 .462 4 6 cos422 2 4cos.1coscoscos.2(0 180 )60 .114 6 sin602 4 sin12022 1 ABCDABCDABCADCACACABCACADCABCADCABCABCABCS 四邊形因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)接于圓，所以連接，由余弦定理，又，所以解因?yàn)?，故析?8 3()萬平方米 2222cos116362 4 6282 7.222 74 2123322 21()3ABCACABBCAB BCABCACabRsinAsinBACRsinABCR 在中，由余弦定理，所以由正弦定理，所以，以萬米所 22222221sin1202 3.213sin60.242cos60 282228APCDADCAPCADCAPCSSSSAD CDAPxCPySxyxyACxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyS 四邊形四邊形因?yàn)?，又設(shè)，則又由余弦定理，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號所以332 32 3289449 3APCDxy ，所以最大面積為萬平方米本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識，以及學(xué)生的識圖能力和綜合運(yùn)用三角知識解決實(shí)際問題【點(diǎn)評】的能力 1.11303011106060(12)APBCDA在海島 上有一座海拔 千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站 上午時(shí)，測得一輪船在島北偏東，俯角為的 處，到時(shí) 分又測得該船在島北偏西、俯角為的 處該船沿直線航行求船的航行速度；又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的 處，問此時(shí)船距備選例題島：有多遠(yuǎn)？ 2222Rt6013.3Rt30.3306090330333301362 30(/) 1 PABAPBPAABPACAPCACACBCABBCACAB如圖所示，在中，則在中，則在中，則，故船的航行速度解析：米為千小時(shí) 2906030sinsin(180)sin3 33101030sinsin(30 )sincos30cossin3033133 311010110.102210202 DACABDCAACBACBBCCDAACBACBACB，33 10993133310133 311020A ADACACDsin DCAsin CDAAC sin DCAADsin CDA在中，據(jù)正弦定理得，所以，即此時(shí)船距離島千米 本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識，以及學(xué)生的識圖能力和綜合運(yùn)用三角知識解決實(shí)際問題的【評】能力點(diǎn)1三角函數(shù)模型的常見應(yīng)用三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實(shí)際問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么它就可以借助三角函數(shù)來描述三角函數(shù)模型的常見類型有：(1)航海類問題：涉及方位角概念方位角指的是從指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角(2)涉及正、余弦定理與三角函數(shù)圖象有關(guān)的應(yīng)用題.2010年全國高考有一解答題正是此類應(yīng)用題(3)引進(jìn)角為參數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理，解決最優(yōu)化問題，即求最值(4)三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用2解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)讀懂題意，理解問題的實(shí)際背景，明確已知與所求，理清量與量之間的關(guān)系(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型(3)正確選擇正、余弦定理求解(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題的解，注意實(shí)際問題中的單位、近似計(jì)算的要求