解析幾何 第八章 第三講圓的方程 知識梳理雙基自測 1 圓的定義及方程 定點 定長 a b r 2 點與圓的位置關系圓的標準方程 x a 2 y b 2 r2 點M x0 y0 1 x0 a 2 y0 b 2 r2 點在圓上 2 x0 a 2 y0 b 2 r2 點在圓外 3 x0 a 2 y0 b 2 r2 點在圓內(nèi) 1 圓心在過切點且垂直于切線的直線上 2 圓心在任一弦的垂直平分線上 3 兩圓相切時 切點與兩圓心三點共線 4 以A x1 y1 B x2 y2 為直徑的兩端點的圓的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 公式推導 設圓上任一點P x y 則有kPA kPB 1 由斜率公式代入整理即可 A 2 2019 貴州貴陽 圓心在y軸上且通過點 3 1 的圓與x軸相切 則該圓的方程是 A x2 y2 10y 0B x2 y2 10y 0C x2 y2 10 x 0D x2 y2 10 x 0 解析 設圓心為 0 b 半徑為r 由圓與x軸相切 得r b 故圓的方程為x2 y b 2 b2 點 3 1 在圓上 9 1 b 2 b2 解得b 5 圓的方程為x2 y2 10y 0 B 3 2019 廣州模擬 已知圓C x2 y2 kx 2y k2 當圓C的面積取最大值時 圓心C的坐標為 A 0 1 B 0 1 C 1 0 D 1 0 B C D 6 2019 浙江鎮(zhèn)海模擬 若無論實數(shù)a取何值時 直線ax y a 1 0與圓x2 y2 2x 2y b 0都相交 則實數(shù)b的取值范圍為 A 2 B 2 C 6 D 6 解析 x2 y2 2x 2y b 0表示圓 8 4b 0 即b 2 直線ax y a 1 0過定點 1 1 點 1 1 在圓x2 y2 2x 2y b 0的內(nèi)部 6 b 0 解得b 6 b的取值范圍是 6 故選C C 考點突破互動探究 1 已知圓C與直線x y 0及x y 4 0都相切 圓心在直線x y 0上 則圓C的方程為 A x 1 2 y 1 2 2B x 1 2 y 1 2 2C x 1 2 y 1 2 2D x 1 2 y 1 2 2 2 2019 浙江模擬 以點 2 1 為圓心且與直線3x 4y 5 0相切的圓的方程為 A x 2 2 y 1 2 3B x 2 2 y 1 2 3C x 2 2 y 1 2 9D x 2 2 y 1 2 9 考點1確定圓的方程 自主練透 例1 B C 3 2018 天津高考 在平面直角坐標系中 經(jīng)過三點 0 0 1 1 2 0 的圓的方程為 x2 y2 2x 0 x 2 2 y2 9 求圓的方程時 應根據(jù)條件選用合適的圓的方程 一般來說 求圓的方程有兩種方法 1 幾何法 通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量 確定圓的方程時 常用到的圓的三個性質(zhì) 圓心在過切點且垂直切線的直線上 圓心在任一弦的垂直平分線上 兩圓內(nèi)切或外切時 切點與兩圓圓心共線 2 代數(shù)法 即設出圓的方程 用待定系數(shù)法求解 考點2與圓有關的最值問題 多維探究 例2 例3 B 例4 A 變式訓練1 已知圓x2 y2 4上一定點A 2 0 B 1 1 為圓內(nèi)一點 P Q為圓上的動點 1 求線段AP中點的軌跡方程 2 若 PBQ 90 求線段PQ中點的軌跡方程 考點3與圓有關的軌跡問題 師生共研 例5 解析 1 設AP的中點為M x y 由中點坐標公式可知 P點坐標為 2x 2 2y 因為P點在圓x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故線段AP中點的軌跡方程為 x 1 2 y2 1 2 設PQ的中點為N x y 在Rt PBQ中 PN BN 設O為坐標原點 連接ON 則ON PQ 所以 OP 2 ON 2 PN 2 ON 2 BN 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故線段PQ中點的軌跡方程為x2 y2 x y 1 0 求與圓有關的軌跡方程的方法 2019 河北衡水中學調(diào)研 已知Rt ABC的斜邊為AB 且A 1 0 B 3 0 求 1 直角頂點C的軌跡方程 2 直角邊BC的中點M的軌跡方程 變式訓練2 名師講壇素養(yǎng)提升 分析 入射點關于y軸的對稱點在反射光線所在直線上 用點斜式表示出反射光線所在直線的方程 根據(jù)圓心的反射光線的距離得到直線的斜率k 對稱思想在圓中的應用 例6 D 光線的反射問題具有入射角等于反射角的特點 這樣就有兩種對稱關系 一是入射光線與反射光線關于過反射點且與反射軸垂直的直線 法線 對稱 二是入射光線與反射光線所在直線關于反射軸對稱 若自點P 3 3 發(fā)出的光線l經(jīng)x軸反射 其反射光線所在的直線與圓C x2 y2 4x 4y 7 0相切 求直線l的方程 變式訓練3 解法二 如圖所示 設圓C關于x軸對稱的圓為圓C 則圓C 的圓心坐標為 2 2 半徑為1 設入射光線所在直線的方程為y 3 k x 3 則該直線與圓C 相切 類似解法一可得直線l的方程為3x 4y 3 0或4x 3y 3 0