不等式推理與證明 第六章 第六講直接證明與間接證明 知識(shí)梳理雙基自測(cè) 1 直接證明 推理論證 成立的方法 證明的結(jié)論 充分條件 2 間接證明 1 反證法的定義假設(shè)原命題不成立 經(jīng)過(guò)正確的推理 最后得出矛盾 因此說(shuō)明 從而證明 的證明方法 2 利用反證法證題的步驟 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 即假設(shè)結(jié)論的反面成立 由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理 直到推出矛盾為止 由矛盾斷言假設(shè)不成立 從而肯定原命題的結(jié)論成立 簡(jiǎn)言之 否定 歸謬 斷言 假設(shè)錯(cuò)誤 原命題成立 1 分析法與綜合法相輔相成 對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題 常常先從結(jié)論進(jìn)行分析 尋求結(jié)論與條件 基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系 找到解決問(wèn)題的思路 再運(yùn)用綜合法證明 或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用 2 利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤 并用假設(shè)命題進(jìn)行推理 沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果 其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的 3 當(dāng)我們解答問(wèn)題較難直接解答時(shí) 可考慮從反面突破 即 正難則反 往往能夠 化難為易 B A 3 若a b c是不全相等的實(shí)數(shù) 求證 a2 b2 c2 ab bc ca 證明過(guò)程如下 因?yàn)閍 b c R 所以a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 又因?yàn)閍 b c不全相等 所以以上三式至少有一個(gè)等號(hào)不成立 所以將以上三式相加得2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 所以a2 b2 c2 ab bc ca 此證法是 A 分析法B 綜合法C 分析法與綜合法并用D 反證法 B C 5 用反證法證明命題 三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60 時(shí) 應(yīng)假設(shè) A 三個(gè)內(nèi)角都不大于60 B 三個(gè)內(nèi)角都大于60 C 三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60 D 三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60 解析 三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60 的對(duì)立面為三個(gè)內(nèi)角都大于60 B 考點(diǎn)突破互動(dòng)探究 考點(diǎn)1綜合法的應(yīng)用 自主練透 例1 B a b 綜合法是由因?qū)Ч淖C明方法 它是一種從已知到未知的邏輯推理方法 在用綜合法證題時(shí) 首先要根據(jù)已知條件與結(jié)論之間的關(guān)系 選擇合適的定理 公理 公式等 從而確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法 已知a b R a b e 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 用分析法求證 ba ab 考點(diǎn)2分析法的應(yīng)用 師生共研 例2 分析法的證明思路 先從結(jié)論入手 由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件 而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題 定義 公理 定理 法則 公式等 或要證命題的已知條件時(shí)命題得證 變式訓(xùn)練1 考點(diǎn)3反證法的應(yīng)用 師生共研 例3 對(duì)于直接從正面入手很難找到突破口 或結(jié)論中含 至多 至少 都是 都不是 唯一 等形式的命題時(shí) 常考慮用反證法證明 用反證法證明時(shí) 一般分為三個(gè)步驟 1 反設(shè) 假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立 即結(jié)論的反面成立 2 歸謬 由反設(shè)出發(fā) 結(jié)合已知條件 通過(guò)正確的邏輯推理 推得矛盾 3 斷言 由所得的矛盾斷言反設(shè)不成立 即原命題成立 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 矛盾可以是 與已知條件矛盾 與假設(shè)矛盾 與定義 公理 定理矛盾 與事實(shí)矛盾等方面 常見的結(jié)論和反設(shè)詞 D 名師講壇素養(yǎng)提升 一 換元法證不等式已知a b R a2 b2 4 求證 3a2 8ab 3b2 20 方法思想 用換元法與放縮法證明不等式 例4 變式訓(xùn)練3 B 例5 變式訓(xùn)練4 B