平面向量 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第四章 第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 知識(shí)梳理雙基自測(cè) 1 平面向量的基本定理如果e1 e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 向量 那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1 2使a 2 平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi) 分別取與 的兩個(gè)單位向量i j作為基底 對(duì)任一向量a 有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x y 使得 a xi yj 叫做向量a的直角坐標(biāo) 記作a x y 顯然i j 0 1 0 不共線 1e1 2e2 x軸 y軸正方向相同 x y 1 0 0 0 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 x1 y2 y1 x1y2 x2y1 0 兩個(gè)向量作為基底的條件 作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的 平面向量的基底可以有無(wú)窮多組 1 2018 北京十五中模擬 如果向量a 1 2 b 4 3 那么a 2b A 9 8 B 7 4 C 7 4 D 9 8 解析 a 2b 1 2 8 6 7 4 故選B B B 解析 A選項(xiàng)中 零向量與任意向量都共線 故其不可以作為基底 B選項(xiàng)中 不存在實(shí)數(shù) 使得e1 e2 故兩向量不共線 故其可以作為基底 C選項(xiàng)中 e2 2e1 兩向量共線 故其不可以作為基底 D選項(xiàng)中 e1 4e2 兩向量共線 故其不可以作為基底 故選B C A 6 C 考點(diǎn)突破互動(dòng)探究 1 2014 福建 在下列向量組中 可以把向量a 3 2 表示出來(lái)的是 A e1 0 0 e2 1 2 B e1 1 2 e2 5 2 C e1 3 5 e2 6 10 D e1 2 3 e2 2 3 考點(diǎn)1平面向量基本定理的應(yīng)用 師生共研 例1 B 6 應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵 1 基底必須是兩個(gè)不共線的向量 2 選定基底后 通過(guò)構(gòu)造平行四邊形 或三角形 利用向量的加 減 數(shù)乘以及向量平行的充要條件 把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(lái) 3 注意幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用 用基底表示未知向量 常借助圖形的幾何性質(zhì) 如平行 相似等 易錯(cuò)提醒 在基底未給出的情況下 合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便 1 如果e1 e2是平面內(nèi)一組不共線的向量 那么下列四組向量中 不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是 A e1與e1 e2B e1 2e2與e1 2e2C e1 e2與e1 e2D e1 2e2與 e1 2e2 變式訓(xùn)練1 D B 考點(diǎn)2平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算 自主練透 例2 4 2 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 1 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加 減 數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的 若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo) 則應(yīng)先求向量的坐標(biāo) 2 解題過(guò)程中 常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則 通過(guò)列方程 組 來(lái)進(jìn)行求解 并注意方程思想的應(yīng)用 角度1利用向量共線求參數(shù)的值 考點(diǎn)3向量共線的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用 多維探究 例3 角度2利用向量共線求解綜合問(wèn)題 例4 利用兩向量共線解題的技巧 1 一般地 在求一個(gè)與已知向量a共線的向量時(shí) 可設(shè)所求向量為 a R 然后結(jié)合其它條件列出關(guān)于 的方程 求出 的值后代入 a即可得到所求的向量 2 如果已知兩個(gè)向量共線 求某些參數(shù)的值 那么利用 若a x1 y1 b x2 y2 則a b的充要條件是 x1y2 x2y1 0 比較簡(jiǎn)捷 變式訓(xùn)練2 A D 名師講壇素養(yǎng)提升 三點(diǎn)共線的充要條件 例5 D D 分析 理 注意到E G C三點(diǎn)共線 B G F三點(diǎn)共線 利用三點(diǎn)共線的充要條件求解 例6 A 類(lèi)題演練3 B C