第 3 講 拋物線考綱要求考情風(fēng)向標(biāo)1.了解拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)2理解數(shù)形結(jié)合的思想.通過分析近幾年的高考試題可以看出，對拋物線的考查，選擇題、填空題、解答題均可能出現(xiàn)，與拋物線有關(guān)的解答題通常也是數(shù)學(xué)高考的壓軸題，整個命題過程主要側(cè)重以下幾點：(1)能利用定義法或待定系數(shù)法求拋物線的方程(2)利用拋物線的定義將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離和到焦點的距離進行轉(zhuǎn)化(3)綜合應(yīng)用拋物線和直線的有關(guān)知識，通過直線與拋物線的位置關(guān)系解答相應(yīng)問題.1拋物線的定義平面上到定點的距離與到定直線 l(定點不在直線 l 上)的距離_的點的軌跡叫做拋物線，定點為拋物線的_，定直線為拋物線的_相等焦點準(zhǔn)線標(biāo)準(zhǔn)方程y22pxy22pxx22pyx22py圖形焦點準(zhǔn)線范圍x0，yRx0，yRxR，y0 xR，y0對稱軸x 軸x 軸y 軸y 軸頂點(0,0)離心率e12拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)(p0)1拋物線 y4x2 的準(zhǔn)線方程是()DAx1By1Cx116Dy1162(教材改編題)已知拋物線的焦點坐標(biāo)是(0，3)，則拋)A物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(Ax212yCy212xBx212yDy212x3(2011 年陜西)設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方程 x2，)則拋物線的方程是(Ay28xCy28xBy24xDy24x4在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若拋物線 y24x 上的點 P到該拋物線的焦點的距離為 6，則點 P 的橫坐標(biāo)為_.55拋物線 y28x 的焦點坐標(biāo)是_(2,0)C考點 1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例 1：(1)已知拋物線的焦點在 x 軸上，其上一點 P(3，m)到焦點距離為 5，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay28xCy24xBy28xDy24x解析：已知拋物線焦點在x 軸上，其上有一點為P(3，m)，顯然開口向左，設(shè) y22px，由點 P(3，m)到焦點距離為5，準(zhǔn)方程為 y28x.答案：B(2) 焦 點 在 直 線 x 2y 4 0 上 的 拋 物 線 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 為_，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為_答案：y216x(或 x28y) x4(或 y2)【方法與技巧】第(1)題利用拋物線的定義直接得出 p 的值可以減少運算；第(2)題易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解【互動探究】1(2012 年四川)已知拋物線關(guān)于 x 軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點 O，并且經(jīng)過點 M(2，y0)若點 M 到該拋物線焦點的距離為 3，則|OM|()B考點 2 拋物線的幾何性質(zhì)例 2：已知點 P 是拋物線 y22x 上的一個動點，則點 P 到點(0,2)的距離與點 P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()解析：由拋物線的定義知，點 P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離等于點 P 到其焦點的距離，因此點 P 到點(0,2)的距離與點 P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和即為點 P 到點(0,2)的距離與點 P 到焦點的距離之和顯然，當(dāng) P，F(xiàn)，(0,2)三點共線時，距離之和取得答案：A【方法與技巧】求兩個距離和的最小值，當(dāng)兩條直線拉直(三點共線)時，其和最小.當(dāng)直接求解，怎么做都不可能三點共線時，聯(lián)想到拋物線的定義，即點 P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離等于點 P 到其焦點的距離，進行轉(zhuǎn)換再求解.【互動探究】2已知直線 l1：4x3y60 和直線 l2：x1，拋物線y24x 上一動點 P 到直線 l1 和直線 l2 的距離之和的最小值是( )A2B3C.115D.3716解析：直線 l2：x1 為拋物線 y24x 的準(zhǔn)線由拋物線的定義知，點 P 到 l2 的距離等于點 P 到拋物線的焦點 F(1,0)的距離，故本題化為在拋物線 y24x 上找一個點 P，使得點 P 到點 F(1,0)和直線 l1 的距離之和最小，最小值為 F(1,0)到直線 l1：A考點 3直線與拋物線的位置關(guān)系點上(1)求拋物線 C2 的方程；(2)過點 M(1,0)的直線 l 與拋物線 C2 交于 E，F(xiàn) 兩點，又過 E，F(xiàn) 作拋物線 C2 的切線 l1，l2，當(dāng) l1l2 時，求直線 l 的方程【互動探究】3(2012 年北京)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l 過拋物線 y24x 的焦點 F.且與該拋物線相交于 A，B 兩點其中點 A 在 x軸上方若直線 l 的傾斜角為 60，則OAF 的面積為_.思想與方法利用運動變化的思想探求拋物線中的不變問題例題：AB 為過拋物線焦點的動弦，P 為 AB 的中點，A，B，P 在準(zhǔn)線l的射影分別是A1，B1，P1.在以下結(jié)論中：FA1FB1；AP1BP1 ；BP1 FB1；AP1 FA1.其中，正確的個數(shù)為()A1 個B2 個C3 個D4 個解析：如圖 12-3-1(1)，AA1AF，AA1FAFA1，又AA1F1F，AA1FA1FF1，則AFA1A1FF1.同理BFB1B1FF1，則A1F B190，故 FA1FB1.為直角三角形，故 AP1BP1.如圖 12-3-1(3)，BB1BF，即BB1F 為等腰三角形，PP1PB，PP1BPBP1.又 BB1P1P，PP1BB1BP1，則PBP1B1BP1，即 BP1 為角平分線，故 BP1FB1.如圖 12-3-1(2)，PP1AA1BB12AFBF2AB2，即AP1B如圖 12-3-1(4)，同有 AP1FA 1.綜上所述，都正確故選 D.(1)(2)(3)(4)圖 12-3-1答案：D【審題關(guān)鍵點】要充分利用拋物線的定義，即點 P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離等于點 P 到其焦點的距離，能得到多個等腰三角形.利用平行線的性質(zhì)，得到多對相等的角，要充分利用平面幾何的性質(zhì)解題.