選考系列 第十一章 第一節(jié)坐標系 1 理解坐標系的作用 了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況 2 了解極坐標的基本概念 會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置 能進行極坐標和直角坐標的互化 3 能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程 欄 目 導 航 2 極坐標系的概念 1 極坐標系如圖所示 在平面內取一個 O 叫做極點 自極點O引一條 Ox 叫做極軸 再選定一個 一個 通常取弧度 及其正方向 通常取逆時針方向 這樣就建立了一個極坐標系 定點 射線 長度單位 角度單位 2 極坐標 極徑 設M是平面內一點 極點O與點M的距離 OM 叫做點M的極徑 記為 極角 以極軸Ox為始邊 射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角 記為 極坐標 有序數對 叫做點M的極坐標 記為M 一般不作特殊說明時 我們認為 0 可取任意實數 sin x2 y2 研究極坐標問題注意以下兩點 1 極坐標方程與直角坐標方程的互化易錯用互化公式 在解決此類問題時考生要注意兩個方面 一是準確應用公式 二是注意方程中的限制條件 2 在極坐標系下 點的極坐標不唯一性易忽視 注意極坐標 2k k Z 2k k Z 表示同一點的坐標 1 判斷下列結論的正誤 正確的打 錯誤的打 1 在伸縮變換下 直線仍然變成直線 圓仍然變成圓 2 在伸縮變換下 橢圓可變?yōu)閳A 圓可變?yōu)闄E圓 3 過極點 傾斜角為 的直線的極坐標方程可表示為 或 4 圓心在極軸上的點 a 0 處 且過極點O的圓的極坐標方程為 2asin A B A 5 2019 天津月考 在極坐標系中 曲線C1和C2的方程分別為 sin2 cos 和 sin 1 以極點為平面直角坐標系的原點 極軸為x軸的正半軸 建立平面直角坐標系 則曲線C1和C2的交點的直角坐標為 1 1 1 曲線C的直角坐標方程為x2 y2 2x 0 以原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 求曲線C的極坐標方程 自主完成 解將x2 y2 2 x cos 代入x2 y2 2x 0 得 2 2 cos 0 整理得 2cos 2 在極坐標系中 求圓 2cos 垂直于極軸的兩條切線方程 1 極坐標與直角坐標互化的前提條件 極點與原點重合 極軸與x軸的正半軸重合 取相同的單位長度 2 直角坐標方程化為極坐標方程比較容易 只要運用公式x cos 及y sin 直接代入并化簡即可 而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些 解此類問題常通過變形 構造形如 cos sin 2的形式 進行整體代換 師生共研 求曲線的極坐標方程的步驟 1 建立適當的極坐標系 設P 是曲線上任意一點 2 由曲線上的點所適合的條件 列出曲線上任意一點的極徑 和極角 之間的關系式 3 將列出的關系式進行整理 化簡 得出曲線的極坐標方程 師生共研 求解與極坐標有關的問題的主要方法 1 直接利用極坐標系求解 可與數形結合思想配合使用 2 轉化為直角坐標系 用直角坐標求解 使用后一種方法時 應注意若結果要求的是極坐標 還應將直角坐標化為極坐標