901.302ABCCAACABC中，求的外接圓的半徑VVRt2 3cos304.30322.ABCABACACABABcosABC的斜邊就是其外接圓的直徑由，得所以的外接圓的半徑解析：等于VV2.如圖，設(shè)ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點E，BAC的平分線與BC交于點D.已知BC=5，EC=4，求ED的長解析：由切割線定理得AE2= ECEB=4(4+5)=36，所以AE=6.因為AE為切線，所以EAC=B.又EAD=EAC+CAD，EDA=B+BAD.且CAD=BAD，所以EAD=EDA，所以DE=AE=6.3.(2011江蘇省揚州中學(xué)模擬)如圖，設(shè)AB為 O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是 O與l的公共點，ACl，BDl，垂足分別為C，D，且PC=PD.求證：(1)l是 O的切線；(2)PB平分ABD.解析：(1)連接OP，因為ACl，BDl，所以ACBD.又OA=OB，PC=PD，所以O(shè)PBD，從而OPl.因為P在 O上，所以l是 O的切線(2)連接AP，因為l是 O的切線，所以BPD=BAP.又BPD+PBD=90，BAP+PBA=90，所以PBA=PBD，即PB平分ABD.4.已知圓O的直徑AB=13，C為圓上一點，過C作CDAB于D(ADBD)若CD=6，求AD的長22212.90 .6131336049.9.ACCBABOACBADxCDABCDAD DBxxxxxxADBDADe如圖，連接，因為是的直徑，所以設(shè)因為，所以由直角三角形射影定理得，即，所以，解得，因為，所以解析：5.如圖，PA切 O于點A，D為PA的中點，過點D引 O的割線交 O于B、C兩點求證：DPB=DCP.22.PAADADB DCDPADPDAPDDBDPDB DCDCPDBDPPDCBDPPDCDPBDCP VV因為與圓相切于 ，所以，因為 為中點，所以，所以，即因為，所以，所以解析：圓的切線的判定圓的切線的判定 .1ABOBPO BOAC OPPCOPCBADPBACDAODPOP12如圖，是的直徑，切于 ， 的弦求證：是的切線；若切線和的延長線交于點 ，且等于的半徑，則【例】【解析】(1)連結(jié)OC.因為ACOP，所以ACO=COP，CAO=POB.由OA=OC，得OAC=OCA，所以COP=POB.在COP和BOP中，,POPOCOPBOPCOBO 所以COP BOP,所以PBO=PCO=90，所以PC是 的切線.(2)由COP BOP，得DPO=OPB，所以.因為DA=OA=OB，所以又因為AD等于 O的半徑，ACOP，所以,所以.PBBOPDOD 12PBPD 12ACDAOPDO PBACDPOP 本題主要考查圓的切線的判定及比例線段的證明，考查平面幾何的推理論證能力.要證直線PC是 O的切線，只要證OCPC即可；要求比例線段，可通過中間比來過渡，結(jié)合圖形，利用條件即可獲證.【變式練習(xí)1】如圖，AB是 O的直徑，C，F(xiàn)為 O上的點，CA是 B A F 的 角 平 分 線 ， 過 點 C 作CDAF交AF的延長線于D點，作CMAB，垂足為點M.求證：(1)DC是 O的切線;(2)AM MB=DF DA.【解析】連結(jié)OC，則OAC=OCA.又因為CA是BAF的角平分線，所以O(shè)AC=FAC，所以FAC=OCA，所以O(shè)CAD.因為CDAD，所以CDOC，即CD是 O的切線.(2)連結(jié)BC.在RtACB中，CM2=AM MB.因為CD是 O的切線，所以CD2=DF DA.又RtAMC RtADC，所以CM=CD，所以AM MB=DF DA.切割線定理及其應(yīng)用切割線定理及其應(yīng)用2222.ABDABCDABCDECTTCBFBECTBC如圖，已知是半圓的直徑，是上的一點，交半圓于點 ，是半圓的切線， 是切點，交半圓于 ，求證：【例 】【解析】連結(jié)AE，AF.因為AB是圓O的直徑，所以AEB=AFB=90.又CDB=90，ABC=DBF，所以DBCFBA,所以，即ABBD=BC BF.ABBFCBBD 因為AEB=90，CDAB，所以BE2=BD AB(直角三角形射影定理).因為CT是切線，CB是割線，所以CT2=CF CB.所以BC2-CT2=BC2CF CB =BC (BC -CF)=BC BF,所以BE2=BC2-CT2，即BE2+CT2=BC2.有切線有割線，考慮利用切割線定理；有直徑，莫忘直角；有平方形式，考慮直角三角形射影定理.【變式練習(xí)2】如圖，AB是 O的直徑，C，F(xiàn)是 O上的兩點，OCAB，過點F作 O的切線FD交AB的延長線于點D.連結(jié)CF交AB于點E.求證：DE2DBDA.【解析】連結(jié)OF.因為DF切 O于F，所以O(shè)FD90.所以O(shè)FCCFD90.因為OCOF，所以O(shè)CFOFC.【解析】因為COAB于O，所以O(shè)CFCEO90.所以CFDCEODEF，所以DFDE.因為DF是 O的切線，所以DF2DBDA.所以DE2DBDA.四點共圓及其應(yīng)用四點共圓及其應(yīng)用 【例3】如圖，已知ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，B=60，F(xiàn)在AC上，且AE=AF.證明：(1)B，D，H，E四點共圓；(2)CE平分DEF.【解析】(1)在ABC中，因為B=60，所以BAC+BCA=120.因為AD、CE是角平分線，所以HAC+HCA=60，所以AHC=120，所以EHD=AHC=120.因為EBD+EHD=180,所以B，D，H，E四點共圓.(2)連結(jié)BH，則BH為ABC的平分線.由(1)知，B，D，H，E四點共圓,CED=HBD=30.又EBD=AHE=60,由已知可得EFAD,CEF=30，所以CE平分DEF.本題是對考生幾何推理論證能力的綜合考查，所用到的知識較多，證明的關(guān)鍵是根據(jù)四點共圓的條件進(jìn)行證明.在解題時要根據(jù)已知條件，通過等量代換將角集中到一個四邊形中，達(dá)到使用條件的目的.12.3OOMNAEMNABCDEAB CDBC DE如圖，與交于、兩點，直線與這兩個圓及依次交于、 、 、 、【變式練習(xí) 】求證：.()().AMDNAC CDMC CNBC CEMC CNAC CDBC CEABBC CDBC CDDEAB CDBC DE因為 ， ， 四點共圓，所以同理，有所以，即，所以【證明】601.40(201.1)ABCOABCBACOEABEECOECe銳角三角形內(nèi)接于，作交劣弧于點 ，連接，求南通期末卷.604080 .80 .8080160.10 .OCABCBACACBOEABEABBEBCEOCOEC 連接因為，所以因為，所以 為的中點，所以和的度數(shù)均為所以所以【解析】2.(2011南通三模卷)如圖， O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為O 上 一 點 ， A E = A C ， 求 證 ：PDE=POC.解析:因為AE=AC，AB為直徑，故OAC=OAE.所以POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC.又EAC=PDE，所以PDE=POC.4cm3cm6cm.2 53c.mOABCDPPAPBPCEAOAAECDEAEPE如圖所示，的弦、相交于點 ，切于點 ，與的延長線交于點若，求的長ee264 32 cm2082 cm4 cmPD PCPA PBPDPDEAOEAED ECEDEDEDPEe根據(jù)相交弦定理，得，所以， 所以 因為是的切線，所以， 所以，所以， 則解析：【解析】根據(jù)相交弦定理，得PD PC=PA PB，所以PD 6=43,所以PD=2(cm).因為EA是 O的切線，所以EA2=ED EC，所以20=ED (ED+8)，所以ED=2(cm),則PE=4(cm).4.已知 O1和 O2都經(jīng)過A、B兩點，經(jīng)過點A的直線CD與 O1交于點C，與 O2交于點D.經(jīng)過點B的直線EF與 O1交于點E，與 O2交于點F.求證：CEDF.【解析】如圖，連結(jié)AB.因為四邊形ABEC是 O1的內(nèi)接四邊形，所以BAD=E.因為四邊形ADFB是 O2的內(nèi)接四邊形，所以BAD+F=180.所以E+F=180,所以CEDF.ABCCMACBAMCBCNACABBNAM1225在中，已知是的平分線，的外接圓交于點若，求證： .ABCCMACBACAMBCBMABAMACABBCBMBMABNCOBBABNBMBABNBCBCBMAMBNBNAMBMBM12222在中，因為是的平分線，所以又已知，所以又因為與是圓 過同一點 的割線，所以，即由【、可知所證明，】以 1.2.圓周角定理及其推論主要應(yīng)用于證明弦相等、弧相等、角相等和線垂直等圓周角定理、弦切角定理、相交弦定理、割線定理、切割線定理在證明、計算和作圖中有著廣泛的應(yīng)用，是高考的必考內(nèi)容，這幾個定理既有聯(lián)系又有區(qū)別，在復(fù)習(xí)時，應(yīng)放在一起研究3.與圓有關(guān)的比例線段問題的一般思考方法：(1)直接應(yīng)用相交弦定理、切割線定理及其推論；(2)找相似三角形，當(dāng)證明有關(guān)線段的比例式或等積式不能直接運用基本定理推導(dǎo)時，通常是由“三點定形法”證三角形相似，其一般思路為等積式比例式中間比相似三角形.4.與圓有關(guān)的常用輔助線(1)有弦，可作弦心距；(2)有直徑，可作直徑所對的圓周角；(3)有切點，可作過切點的半徑；(4)兩圓相交，可作公共弦；(5)兩圓相切，可作公切線；(6)兩半圓，可作整圓.