平面向量 第四章 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例 1 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 2 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 3 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算 4 能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角 會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系 5 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題 6 會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題 欄 目 導(dǎo) 航 AOB 0 2 平面向量的數(shù)量積 4 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a x1 y1 b x2 y2 a b x1x2 y1y2 0 1 兩個向量a b的夾角為銳角 a b 0且a b不共線 兩個向量a b的夾角為鈍角 a b 0且a b不共線 2 平面向量數(shù)量積運算的常用公式 1 a b a b a2 b2 2 a b 2 a2 2a b b2 3 a b 2 a2 2a b b2 解析a 2a b 2a2 a b 2 a 2 a b a 1 a b 1 原式 2 12 1 3 B 解析由數(shù)量積的定義知 b在a方向上的投影為 b cos 4 cos120 2 2 4 P105例4改編 已知向量a 2 1 b 1 k a 2a b 0 則k 解析 2a b 4 2 1 k 5 2 k 由a 2a b 0 得 2 1 5 2 k 0 10 2 k 0 解得k 12 12 A 自主完成 A D C A 計算有關(guān)平面幾何中數(shù)量積的方法 1 根據(jù)圖形之間的關(guān)系 用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量a b 然后再根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進(jìn)行計算求解 2 若圖形適合建立平面直角坐標(biāo)系 可建立坐標(biāo)系 求出a b的坐標(biāo) 通過坐標(biāo)運算法則求得 平面向量的夾角和模的計算問題是高考的熱點內(nèi)容 主要從以下幾個角度考查 一是求兩向量的夾角 二是求某一個向量的模 三是由向量垂直求參數(shù)的值等 高考對該類問題的考查往往會將知識進(jìn)行融合 多為中低檔題目 常以客觀題形式出現(xiàn) 分值5分 多維探究 B A B 解析a 1 0 b 1 m 則ma b m 1 m 由a ma b 得a ma b 0 即m 1 0 得m 1 1 1 利用坐標(biāo)運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直 先根據(jù)共線 夾角等條件計算出這兩個向量的坐標(biāo) 然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式 計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可 2 已知兩個向量的垂直關(guān)系 求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件 列出相應(yīng)的關(guān)系式 進(jìn)而求解參數(shù) C B 利用平面向量的數(shù)量積求?；蚋鶕?jù)模求函數(shù)的值是向量數(shù)量積的重要作用 高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn) 但有時也與三角函數(shù)或解析幾何的知識綜合考查 難度中等 多維探究 A 用向量解決平面幾何問題的方法 1 建立平面幾何與向量的聯(lián)系 用向量表示問題中涉及的幾何元素 將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 2 通過向量運算 研究幾何元素之間的關(guān)系 如平行 垂直和距離 夾角問題 3 把運算結(jié)果 翻譯 成幾何關(guān)系 平面向量與三角函數(shù)綜合問題的解題思路 1 題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式 運用向量共線或垂直或等式成立的方法等 得到三角函數(shù)的關(guān)系式 然后求解 2 給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo) 要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式 解題思路是經(jīng)過向量的運算 利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性 求得值域等 C