第5講 割補法巧算面積 第5講 割補法巧算面積 四年級寒假 知識點 一、 割補法巧算面積（四下） 備注 課堂例題 一、 常規(guī)割補法 1、圖中的數(shù)字分別表示對應線段的長度，試求這個多邊形的面積是__________．（單位：厘米） 1 2 2 3 4 5 【答案】 32平方厘米 【解析】 如下圖，如果沿著豎線分割，延長BC、ED分別交HG于K、L．由厘米，厘米，可得長方形ABKH的面積是平方厘米；由厘米，厘米，可得長方形CDLK的面積是平方厘米；由厘米，厘米，可得長方形EFGL的面積是平方厘米．所以所求圖形的面積是平方厘米． 1 2 2 3 4 5 A B C D E F G L H K 2、如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)部有一個長方形EFGH．已知正方形ABCD的邊長是6厘米，圖中線段AE、AH都等于2厘米，求長方形EFGH的面積=__________． A B C D E H F G 【答案】 16平方厘米 【解析】 由AE、AH都等于2厘米，可得等腰Rt△AEH的面積是平方厘米． 由△AEH是等腰三角形，推出∠AEH是45．又因為∠FEH是90，所以．因為△BEF是直角三角形，所以，因此△BEF是等腰三角形．如下圖所示： A B C D E H F G 45° 45° 45° 45° 由厘米，可得等腰Rt△BEF的面積是平方厘米．同理，得等腰Rt△CFG和等腰Rt△DGH的面積分別是2平方厘米和8平方厘米．長方形EFGH的面積等于大正方形ABCD的面積減去角上四個等腰直角三角形的面積，為平方厘米． 3、（2011年金帆五升六）右圖中，， ， ， ，則四邊形的面積是_____平方厘米． 【答案】 46 【解析】 連結(jié)．，， ． 4、如圖，直角三角形ABC的三邊長分別為分米，分米，分米，ED垂直于AC，且厘米．問正方形BFEG的邊長是多少厘米？ A B C D F E G 圖14-30 【答案】 35厘米 【解析】 把AE、BE、CE連接起來，把直角△ABC分成了三部分：△ACE、△ABE和△CBE．直角△ABC的面積就是平方分米． 而△ACE的底邊分米，高分米（95厘米），它的面積是平方分米，那么△ABE和△CBE之和就是平方分米． 在△ABE和△CBE中，底邊分別是AB和BC，高都是正方形的邊長．利用乘法分配律，它們的面積之和為．于是它們的高為分米． 因此正方形邊長為3.5分米，即35厘米． A B C D F E G 二、 分割為若干塊全等圖形 5、如圖所示，大正方形的邊長為10厘米，連接大正方形的各邊中點得到一個小正方形，將小正方形每邊三等分，再將三等分點與大正方形的中心和一個頂點相連．請問：圖中陰影部分的面積總和等于____________平方厘米？ 【答案】 50平方厘米 【解析】 如圖1，發(fā)現(xiàn)空白三角形①與陰影三角形⑤是大小、形狀都相同的兩個三角形，所以面積也相等．這樣的三角形還有3對：②和⑥，③和⑦，④和⑧．這四個陰影三角形面積和與四個空白三角形的面積和相等．將陰影三角形⑤補到空白三角形①的位置，其余3對也類似操作．這樣陰影圖形變成如下圖2形式，可以看出，陰影部分的面積總和與空白部分的面積總和相等，從下圖3中可以很明確看出這一點；因此陰影部分的面積總和就等于大正方形面積的一半，為平方厘米． ① ⑤ ⑥ ② ③ ④ ⑦ ⑧ 圖1 圖2 圖3 6、如圖，把兩個相同的正三角形的各邊分別取三等分點和四等分點，并連接這些等分點．已知圖1中陰影部分的面積是16平方厘米．請問：圖2中陰影部分的面積是____________平方厘米． 圖1 圖2 【答案】 12 【解析】 大三角形的面積是不變的，所以圖2中陰影三角形的面積和是平方厘米． 7、如下圖，在兩個相同的等腰直角三角形中各作一個正方形，如果正方形A的面積是36平方厘米，那么正方形B的面積是多少平方厘米？ A B 【答案】 32平方厘米 【解析】 將第一個等腰直角三角形劃分如下左圖，從圖中可看出：第一個等腰直角三角形被分成4等份，正方形A占其中2份．所以大等腰直角三角形的面積是平方厘米．將第二個等腰直角三角形劃分如下右圖，從圖中可以看出：第二個等腰直角三角形被分成9等份，正方形B占其中4份．所以正方形B的面積是平方厘米． 8、已知大的正六邊形面積是72平方厘米，按圖中方式切割（切割點均為等分點），形成的陰影部分面積是多少平方厘米？ 【答案】 24平方厘米 【解析】 如圖添加輔助線，將正六邊形分割成36個面積相等的三角形，所以每一個三角形的面積是2，陰影部分面積占了12個，所以陰影部分的面積是24. ． 三、 補為特殊圖形 9、如圖所示，已知一個四邊形的兩條邊的長度和三個角的度數(shù)，這個四邊形的面積是多少平方厘米？（單位：厘米） 45º 3 7 【答案】 20平方厘米 【解析】 如圖，延長四邊形的兩邊，把它補成一個大三角形．從已知條件可以知道，這是一個直角邊長為7的等腰直角三角形，而陰影部分是一個直角邊長為3的等腰直角三角形．原來四邊形面積就等于這兩個三角形面積之差．所以四邊形面積為平方厘米． 7 3 45º 10、如圖，一個六邊形的內(nèi)角都是120°，其邊長如圖所示，那么這個六邊形的面積是邊長為1的正三角形面積的多少倍？ 【答案】 67 【解析】 將上圖補全如下圖，是一個邊長為9的正三角形，最上方是一個變成為1的正三角形，左下方為邊長為3的小正三角形，右下角是一個邊長為2的小正三角形，將邊長為9的正方形分割可以得到81個邊長為1的正三角形，邊長為3的正三角形分割可以得到9個邊長為1的正三角形，邊長為2的正三角形可以分割出4個邊長為1的正三角形，所以原六變形的面積相當于個邊長為1的正三角形 ． 四、 復雜問題 11、下圖是一個正方格，每個最小正方格的面積都是1，請在圖中以給出點為頂點畫一個面積為13的正方形． 【答案】 答案如下圖 【解析】 大正方形的面積是25，角上的四個三角形的面積相等，所以小正方新的面積可以用大正方形的面積減去四個小三角形的面積等于滿足 ． 12、正12邊形的邊長為1厘米，陰影部分都是正三角形（邊長也為1厘米），如圖所示．那么空白部分面積等于多少平方厘米？ 【答案】 6平方厘米 【解析】 由于正十二邊形的內(nèi)角為，又，因此每個內(nèi)角的大小等于一個直角加上一個正三角形的內(nèi)角．正十二邊形和正三角形的各邊長度都相等，將正三角形內(nèi)部的頂點間隔著連起來，可以得到一個邊長是1厘米的正六邊形．一方面，正十二邊形整體的面積等于，另一方面，正十二邊形的面積可以看做是．很顯然陰影部分面積相當于12個小正三角形，而正六邊形面積相當于6個小正三角形，兩者一比較，很容易發(fā)現(xiàn)空白部分面積等于6個小正方形的面積，即6平方厘米． 13、下圖為一個邊長為2厘米的正方形，分別連接頂點與對應邊中點．圍成的陰影部分的面積為多少平方厘米？ 1 1 1 1 1 1 1 1 【答案】 0.8平方厘米 【解析】 方法一：以中間的陰影正方形為標準，可以把圖形補成如圖1形式．如果中間的陰影正方形面積是1份，那么原來的大正方形面積是5份．而原來正方形的邊長是2厘米．所以陰影部分的面積是平方厘米． 方法二：參照中間陰影正方形的方向，同樣也可以把大正方形作一個剪拼，如圖2．可看出整個大正方形正好使陰影部分的5倍．所以陰影面積為平方厘米． 方法三：如圖3，將大正方形分割成20個三角形，可以看出陰影部分正好是其中4塊． 圖1 圖2 圖3  隨堂練習 1、圖中的數(shù)字分別表示對應線段的長度，試求下面多邊形的面積（單位：厘米） 【答案】 78平方厘米 【解析】 如圖將圖形分割成三個長方形，所以多邊形的面積是平方厘米 ． 2、如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)部有三角形CEF已知正方形ABCD的邊長是6厘米，圖中線段AE、AF都等于2厘米．求三角形CEF的面積． 【答案】 12平方厘米 【解析】 正方形的面積是36平方厘米，三角形AEF的面積是2平方厘米，三角形BEC和DFC的面積是12平方厘米所以三角形EFC的面積是平方厘米． 3、如圖所示，大三角形的面積為20平方厘米，連接大正三角形的各邊中點得小正三角形，將小正三角形如圖三等分．那么圖中陰影部分的面積總和等于__________平方厘米？ 【答案】 10平方厘米 【解析】 根據(jù)題意，得大三角形被分割成形狀、大小一樣的12個小三角形，而陰影部分占了其中的6個，所以其面積為平方厘米． 4、如圖，把兩個同樣大小的正方形分別分成和的方表格圖1陰影部分的面積是162，請問圖2中陰影部分的面積是多少？ 【答案】 150 【解析】 圖1這種大正方形被分成25塊，陰影部分面積占18塊面積是162，那么每一個小正方形的面積是，大正方形的面積是，圖2中大正方形被分成了9塊，那么每個小正方形的面積是，陰影部分的面積是． 5、如圖，長方形的面積是60平方厘米，其內(nèi)3條長度相等且兩兩夾角為120°的線段將長方形分成了兩個梯形和一個三角形．請問：一個梯形的面積是多少平方厘米？ 【答案】 25平方厘米 【解析】 從下圖中容易看出，△AOB、△BOE和△AOE都是頂角為的等腰三角形，它們的底角都是，因此△ABE的三個角都是，是一個正三角形． 這樣一來，△AOB、△BOE和△AOE的面積都相等，它們的面積之和是△ABE的面積，即長方形面積的一半平方厘米，因此這3個三角形的面積都是平方厘米． 大長方形由2個梯形以及△AOB組成，那么1個梯形的面積就是平方厘米． A B C D E O 6、已知大的正六邊形面積是72平方厘米，按圖中不同方式切割（切割點均為等分點），形成的陰影部分面積各是多少平方厘米？ 【答案】 18平方厘米；54平方厘米；24平方厘米 【解析】 （1）將正六邊形分割如下圖1，整個六邊形被分成了24塊，陰影部分占4塊．所以陰影面積為平方厘米． （2）可以把正六邊形按下圖2方式分割，整個六邊形同樣被分成了24塊，且每個角上的空白三角形面積都等于1塊．則陰影部分占18塊．所以陰影面積為平方厘米． （3）觀察空白三角形：可以發(fā)現(xiàn)兩種不同形狀的三角形等底同高，面積是相等的．所以分割時只用考慮其中一種形狀就可以了．把正六邊形作如下圖4分割，整個六邊形同樣被分成了18塊，陰影部分占6塊．所以陰影面積為平方厘米． 圖1 圖2 圖3 圖4 課后作業(yè) 1、下圖的每個角都是直角，數(shù)字分別表示對應線段的長度，圖中多邊形的面積是________． 【答案】 138 【解析】 把這個十字形橫著切兩刀，變成三個長方形，其面積是． 2、下圖的每個角都是直角，數(shù)字分別表示對應線段的長度，圖中多邊形的面積是________． 【答案】 84 【解析】 通過把這個土字形進行分割，可以得到其面積是． 3、如圖所示，平行四邊形的面積是12，把一條對角線四等分，將四等分點與平行四邊形另外兩個頂點相連．圖中陰影部分的面積總和是________． 【答案】 6 【解析】 將右上兩個陰影三角形切下來添到左側(cè)空白處，使其拼成一個大的三角形．陰影面積是平行四邊形面積的一半．所以陰影部分的面積是6． 4、如圖，在兩個相同的等腰直角三角形中各作一個正方形，如果三角形A的面積是16平方厘米，那么三角形B的面積是________平方厘米． 【答案】 18 【解析】 題中左側(cè)的等腰直角三角形能夠被分成9塊面積相等的等腰直角三角形．三角形A的面積是16平方厘米，可以分成2塊面積相等的等腰三角形，所以一個最小等腰三角形的面積是8平方厘米，大等腰直角三角形的面積就是平方厘米．在右側(cè)這個大等腰直角三角形可以分成4塊等大的等腰直角三角形，一塊的面積是平方厘米．所以B的面積是18平方厘米． 5、如圖所示，正六邊形ABCDEF的面積是36．陰影正六邊形的面積是________． 【答案】 9 【解析】 把大六邊形劃分為24個小正三角形，其中陰影部分可以分成6個小正三角形，所以大六邊形是陰影部分面積的4倍，正六邊形面積是36，陰影部分的面積是． 6、（龍校四年級春季）如圖，在四邊形ABCD中，，，，．求該四邊形的面積． 【答案】 16 【解析】 延長BA、CD交于E點，則△EAD與△BEC均為等腰直角三角形，面積分別為與，故． 小學數(shù)學專屬講義.教師版 第43頁，共43頁