專題四數(shù)列 4 1等差數(shù)列與等比數(shù)列 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量的求解 思考 如何求解等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量 例1記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 若a4 a5 24 S6 48 則 an 的公差為 A 1B 2C 4D 8 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思等差數(shù)列 等比數(shù)列的通項公式 求和公式中一共包含a1 n d q an與Sn這五個量 如果已知其中的三個 就可以求其余的兩個 因為a1 d q 是兩個基本量 所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算問題一般先設(shè)出這兩個基本量 然后根據(jù)通項公式 求和公式構(gòu)建這兩者的方程 組 通過解方程 組 求其值 這也是方程思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn) 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓(xùn)練1 1 我國古代數(shù)學(xué)名著 算法統(tǒng)宗 中有如下問題 遠望巍巍塔七層 紅光點點倍加增 共燈三百八十一 請問尖頭幾盞燈 意思是 一座7層塔共掛了381盞燈 且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍 則塔的頂層共有燈 A 1盞B 3盞C 5盞D 9盞 2 設(shè)等比數(shù)列 an 滿足a1 a2 1 a1 a3 3 則a4 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定與證明 思考 證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本方法有哪些 例2已知 an 是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列 公差為d 對任意的n N bn是an和an 1的等比中項 答案 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思1 證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列的兩種基本方法 1 利用定義 證明an 1 an n N 為常數(shù) 2 利用等差中項 證明2an an 1 an 1 n 2 2 證明數(shù)列 an 是等比數(shù)列的兩種基本方法 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓(xùn)練2設(shè) an 和 bn 是兩個等差數(shù)列 記cn max b1 a1n b2 a2n bn ann n 1 2 3 其中max x1 x2 xs 表示x1 x2 xs這s個數(shù)中最大的數(shù) 1 若an n bn 2n 1 求c1 c2 c3的值 并證明 cn 是等差數(shù)列 2 證明 或者對任意正數(shù)M 存在正整數(shù)m 當(dāng)n m時 M 或者存在正整數(shù)m 使得cm cm 1 cm 2 是等差數(shù)列 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 1 解 c1 b1 a1 1 1 0 c2 max b1 2a1 b2 2a2 max 1 2 1 3 2 2 1 c3 max b1 3a1 b2 3a2 b3 3a3 max 1 3 1 3 3 2 5 3 3 2 當(dāng)n 3時 bk 1 nak 1 bk nak bk 1 bk n ak 1 ak 2 n 0 所以bk nak關(guān)于k N 單調(diào)遞減 所以cn max b1 a1n b2 a2n bn ann b1 a1n 1 n 所以對任意n 1 cn 1 n 于是cn 1 cn 1 所以 cn 是等差數(shù)列 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 答案 解析 等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 思考 常用的等差 等比數(shù)列的性質(zhì)有哪些 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān) 解題需多注意觀察 發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系 加以應(yīng)用 1 等差數(shù)列的性質(zhì) an am n m d n m N 若m n p q 則am an ap aq m n p q N 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 則Sm S2m Sm S3m S2m 也成等差數(shù)列 2 等比數(shù)列的性質(zhì) an amqn m m n N 若m n p q 則am an ap aq m n p q N 若等比數(shù)列 an 的公比不為 1 前n項和為Sn 則Sm S2m Sm S3m S2m 也成等比數(shù)列 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問題 思考 解決等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問題的基本思路是怎樣的 例4 2018天津 理18 設(shè) an 是等比數(shù)列 公比大于0 其前n項和為Sn n N bn 是等差數(shù)列 已知a1 1 a3 a2 2 a4 b3 b5 a5 b4 2b6 1 求 an 和 bn 的通項公式 2 設(shè)數(shù)列 Sn 的前n項和為Tn n N 求Tn 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 1 解設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 由a1 1 a3 a2 2 可得q2 q 2 0 因為q 0 可得q 2 故an 2n 1 設(shè)等差數(shù)列 bn 的公差為d 由a4 b3 b5 可得b1 3d 4 由a5 b4 2b6 可得3b1 13d 16 從而b1 1 d 1 故bn n 所以 數(shù)列 an 的通項公式為an 2n 1 數(shù)列 bn 的通項公式為bn n 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題 涉及的知識面很寬 題目的變化也很多 但是只要抓住基本量a1 d q 充分運用方程 函數(shù) 轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法 合理運用相關(guān)知識 就能解決這類問題 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓(xùn)練4等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知S10 0 S15 25 則nSn的最小值為 答案 解析 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 等差數(shù)列 等比數(shù)列的基本運算 一般通過其通項公式與前n項和公式構(gòu)造關(guān)于a1與d a1與q的方程 組 解決 在求解過程中靈活運用等差數(shù)列 等比數(shù)列的性質(zhì) 不僅可以快速獲解 而且有助于加深對等差數(shù)列 等比數(shù)列問題的認(rèn)識 2 解決等差數(shù)列 an 前n項和問題常用的三個公式是 Sn An2 Bn A B為常數(shù) 靈活地選用公式 解決問題更便捷 3 等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項 前n項和都有一些類似的性質(zhì) 充分利用性質(zhì)可簡化解題過程 4 證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本方法是定義法和中項法 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 5 等差數(shù)列 等比數(shù)列的通項公式 求和公式有多種形式的變形 在求解相關(guān)問題時 要根據(jù)條件靈活選擇相關(guān)公式 同時兩種數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化 如等差數(shù)列取指數(shù)函數(shù)之后即為等比數(shù)列 正項等比數(shù)列取對數(shù)函數(shù)之后即為等差數(shù)列 1 已知等差數(shù)列 an 前9項的和為27 a10 8 則a100 A 100B 99C 98D 97 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 C 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 2 已知等比數(shù)列 an 滿足a1 3 a1 a3 a5 21 則a3 a5 a7 A 21B 42C 63D 84 B 3 2018全國 理4 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 若3S3 S2 S4 a1 2 則a5 A 12B 10C 10D 12 B 解析因為3S3 S2 S4 所以3S3 S3 a3 S3 a4 即S3 a4 a3 設(shè)公差為d 則3a1 3d d 又由a1 2 得d 3 所以a5 a1 4d 10 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 4 若等差數(shù)列 an 和等比數(shù)列 bn 滿足a1 b1 1 a4 b4 8 則 1 解析設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 等比數(shù)列 bn 的公比為q 由題意知 1 3d q3 8 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 5 2018全國 理17 在等比數(shù)列 an 中 a1 1 a5 4a3 1 求 an 的通項公式 2 記Sn為 an 的前n項和 若Sm 63 求m