四 轉(zhuǎn)化與化歸思想 高考命題聚焦 思想方法詮釋 轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決總離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸 如未知向已知的轉(zhuǎn)化 新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化 復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化 不同數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的互相轉(zhuǎn)化 實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等 轉(zhuǎn)化的具體解題方法都是化歸的手段 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)解題過(guò)程中 高考命題聚焦 思想方法詮釋 1 轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化 進(jìn)而得到解決的一種方法 一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題 將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題 將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題 2 轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用 1 在三角函數(shù)和解三角形中 主要的轉(zhuǎn)化方法有公式的 三用 順用 逆用 變形用 角度的轉(zhuǎn)化 函數(shù)的轉(zhuǎn)化 通過(guò)正弦定理 余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化等 2 換元法是將一個(gè)復(fù)雜的或陌生的函數(shù) 方程 不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的或熟悉的函數(shù) 方程 不等式的一種重要的方法 高考命題聚焦 思想方法詮釋 3 在解決平面向量與三角函數(shù) 平面幾何 解析幾何等知識(shí)的交匯題目時(shí) 常將平面向量語(yǔ)言與三角函數(shù) 平面幾何 解析幾何語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化 4 在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí) 常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解 5 在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí) 常將函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值 切線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f x 構(gòu)成的方程 不等式問(wèn)題求解 6 在解決解析幾何 立體幾何問(wèn)題時(shí) 常常在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 特殊與一般的轉(zhuǎn)化 思考 如何實(shí)現(xiàn)由特殊到一般的轉(zhuǎn)化 例1 其中e為自然常數(shù) 的大小關(guān)系是 答案 解析 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 題后反思1 當(dāng)問(wèn)題難以入手時(shí) 應(yīng)先對(duì)特殊情況或簡(jiǎn)單情形進(jìn)行觀察 分析 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素 然后推廣到一般情形 以完成從特殊情形的研究到一般問(wèn)題的解答的過(guò)渡 這就是特殊化的化歸策略 2 數(shù)學(xué)題目有的具有一般性 有的具有特殊性 解題時(shí) 有時(shí)需要把一般問(wèn)題化歸為特殊問(wèn)題 有時(shí)需要把特殊問(wèn)題化歸為一般問(wèn)題 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在定圓C x2 y2 4內(nèi)過(guò)點(diǎn)P 1 1 作兩條互相垂直的直線與C分別交于A B和M N 則的取值范圍是 答案 解析 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化 思考 在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想去解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)遵循怎樣的原則 例2在 ABC中 角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 向量q 2a 1 p 2b c cosC 且q p 1 求sinA的值 2 求三角函數(shù)式的取值范圍 解 1 p q 2acosC 2b c 根據(jù)正弦定理 得2sinAcosC 2sinB sinC 又sinB sin A C sinAcosC cosAsinC 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 題后反思在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式 它可以在數(shù)與數(shù) 形與形 數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換 在解題過(guò)程中進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化時(shí) 要遵循以下五項(xiàng)基本原則 1 化繁為簡(jiǎn)的原則 2 化生為熟的原則 3 等價(jià)性原則 4 正難則反的原則 5 形象具體化原則 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)a b 0 a b 5 則的最大值為 答案 解析 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 常量與變量的轉(zhuǎn)化 思考 在怎樣的情況下常常進(jìn)行常量與變量之間的轉(zhuǎn)化 例3設(shè)f x 是定義在R上的增函數(shù) 若f 1 ax x2 f 2 a 對(duì)任意a 1 1 恒成立 則x的取值范圍為 答案 解析 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 題后反思在處理多變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 當(dāng)常量 或參數(shù) 在某一范圍內(nèi)取值 求變量x的范圍時(shí) 經(jīng)常進(jìn)行常量與變量之間角色的轉(zhuǎn)化 即可以選取其中的常數(shù) 或參數(shù) 將其看作變量 而把變量看作常量 從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3對(duì)于滿足0 p 4的所有實(shí)數(shù)p 使不等式x2 px 4x p 3成立的x的取值范圍是 答案 解析 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 函數(shù) 方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化 思考 在怎樣的情況下常常要進(jìn)行函數(shù) 方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化 例4已知函數(shù)f x x2 bsinx 2 b R F x f x 2 且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x 恒有F x 5 F 5 x 1 求函數(shù)f x 的解析式 2 已知函數(shù)g x f x 2 x 1 alnx在區(qū)間 0 1 內(nèi)單調(diào) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 3 函數(shù)h x ln 1 x2 f x k有幾個(gè)零點(diǎn) 解 1 由題設(shè) 得F x x2 bsinx F x 5 F 5 x F x F x x2 bsinx x2 bsinx bsinx 0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立 b 0 故f x x2 2 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 2 由 1 得g x f x 2 x 1 alnx x2 2x alnx g x 在 0 1 內(nèi)單調(diào) 只需g x 0或g x 0在 0 1 內(nèi)恒成立 即2x2 2x a 0或2x2 2x a 0在 0 1 內(nèi)恒成立 需a 2x2 2x 或a 2x2 2x 在 0 1 內(nèi)恒成立 記u x 2x2 2x 0 x 1 可知 4 u x 0 a 0或a 4 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 題后反思函數(shù) 方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯(lián)系 解決方程 不等式的問(wèn)題常需要函數(shù)幫助 解決函數(shù)的問(wèn)題常需要方程 不等式的幫助 因此借助于函數(shù) 方程 不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn) 常常將不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題 將證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題 將方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題等 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知函數(shù)f x x2 alnx 1 函數(shù)F x a 1 1 如果f x 在 3 5 上是單調(diào)遞增的 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 2 當(dāng)a 2 x 0 且x 1時(shí) 比較與F x 的大小 解 1 f x x2 alnx 1在 3 5 上是單調(diào)遞增函數(shù) f x 2x 0在 3 5 上恒成立 a 2x2在 3 5 上恒成立 y 2x2在 3 5 上的最小值為18 a 18 故所求a的取值范圍為 18 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 命題熱點(diǎn)一 命題熱點(diǎn)二 命題熱點(diǎn)三 命題熱點(diǎn)四 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 在將問(wèn)題進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化時(shí) 一般應(yīng)遵循以下幾種原則 1 熟悉化原則 將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題 2 簡(jiǎn)單化原則 將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題 3 直觀化原則 將較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題 如數(shù)形結(jié)合思想 立體幾何問(wèn)題向平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化 4 正難則反原則 若問(wèn)題直接求解困難時(shí) 可考慮運(yùn)用反證法或補(bǔ)集法或用逆否命題間接地解決問(wèn)題 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 2 轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型 1 正與反 一般與特殊的轉(zhuǎn)化 即正難則反 特殊化原則 2 常量與變量的轉(zhuǎn)化 即在處理多元問(wèn)題時(shí) 選取其中的常量 或參數(shù) 當(dāng) 主元 其他的變量看作常量 3 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 即利用對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論來(lái)研究圖形性質(zhì) 也可利用圖形直觀提供思路 直接地反映函數(shù)或方程中變量之間的關(guān)系 4 數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化 如利用向量方法解幾何問(wèn)題 用解析幾何方法處理平面幾何 代數(shù) 三角問(wèn)題等 5 相等與不等之間的轉(zhuǎn)化 6 實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 已知函數(shù)f x x a ex在區(qū)間 2 3 內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 3 4 B 3 4 C 3 D 4 答案 解析 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 答案 A 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 3 若關(guān)于x的不等式m x 1 x2 x的解集為 x 1 x 2 則實(shí)數(shù)m的值為 答案 解析