第四章積分及其應用 4 1不定積分概念與性質(zhì) 學習本節(jié)要達到的目標 1 理解不定積分和原函數(shù)的概念2 理解不定積分與微分的關(guān)系2 掌握不定積分的性質(zhì) 本章主要內(nèi)容 一元函數(shù)的不定積分和定積分的概念與性質(zhì) 積分法 無窮區(qū)間的廣義積分和定積分的應用 1 要解決這些實際問題 自然會想到微分運算的逆運算 這就是產(chǎn)生積分運算的原因 提出這樣的逆問題 是因為它存在于許多實際的問題中 例如 已知速度求路程 已知加速度求速度 已知曲線上每一點處的切線斜率 或斜率所滿足的某一規(guī)律 求曲線方程等等 回顧 微分學的基本問題是 已知一個函數(shù) 如何求它的導數(shù) 那么 如果已知一個函數(shù)的導數(shù) 要求原來的函數(shù) 這類問題 是微分法的逆問題 這就產(chǎn)生了積分學 2 為了更好地理解積分運算是導數(shù) 微分 運算的逆運算 我們在介紹積分運算時 把乘方運算 開方 和它作比較 我們熟悉乘方運算 也熟悉導數(shù)運算 于是提出新問題 同樣提出問題 這不是乘方運算 而是它的逆運算 開方運算 這不是求導運算 而是它的逆運算 積分運算 一般來說 在下式里 同樣 在下式里 3 通過上面的比較 對積分運算與原函數(shù)有了初步認識 以下先給出原函數(shù)與不定積分的有關(guān)的定義 一 原函數(shù)與不定積分 4 這樣就給我們提出了問題 原函數(shù)存在的條件 原函數(shù)有多少個 這些原函數(shù)之間有何關(guān)系 如何求出這些原函數(shù) 例如而 在上是的原函數(shù) 也是它的原函數(shù) 即加任意常數(shù)都是的原函數(shù) 5 1 如果f x 在某區(qū)間上存在原函數(shù) 那么原函數(shù)不是唯一的 且有無窮多個 若函數(shù) x 在區(qū)間I上連續(xù) 則 x 在區(qū)間I上的原函數(shù)一定存在 6 2 若函數(shù)f x 在區(qū)間I上存在原函數(shù) 則其任意兩個原函數(shù)只差一個常數(shù)項 7 8 9 解 10 微分運算與積分運算互為逆運算 不定積分與微分的關(guān)系 先積后微形式不變 先微后積差一常數(shù) 11 解 12 解 13 函數(shù)f x 的原函數(shù)圖形稱為f x 的積分曲線 不定積分表示的不是一個原函數(shù) 而是無窮多個 全部 原函數(shù) 通常說成一族函數(shù) 反映在幾何上則是一族曲線 這族曲線稱為f x 的積分曲線族 在相同的橫坐標處 所有積分曲線的斜率均為k 因此 在每一條積分曲線上 以x為橫坐標的點處的切線彼此平行 如圖 f x 為積分曲線在 x f x 處的切線斜率 不定積分的幾何意義 14 解設(shè)所求的曲線方程為 依題意可知 因此所求曲線的方程為 15 二 基本積分公式 16 17 18 解 練習 19 三 不定積分的運算性質(zhì) 性質(zhì)2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號的前面 性質(zhì)1可以推廣到有限多個函數(shù)的情形 即 性質(zhì)1函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和 即 注意 不定積分沒有積和商的運算法則 20 證只要證明上式右端的導數(shù)等于左端的被積函數(shù)即可 由導數(shù)運算法則以及不定積分與微分的關(guān)系 有 這說明是函數(shù)的不定積分 所以欲證的等式成立 性質(zhì)1函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和 即 21 例11求 解 注逐項積分后 每個積分結(jié)果中均含有一個任意常數(shù) 由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù) 因此只要寫出一個任意常數(shù)即可 22 23 解 例13求 24 25 26 練習 練習 27 小結(jié) 原函數(shù)與不定積分的概念 基本積分公式 用直接積分法求不定積分要注意對被積函數(shù)變形 直接積分法 用基本積分公式及積分性質(zhì)求積分的方法 直接積分法 28 作業(yè) P92 A組2 1 3 1 3 5 7 9 B組1 29