6.3與圓有關(guān)的計(jì)算過關(guān)演練(30分鐘75分)1.(xx湖北天門)一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍,則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是(B)A.120B.180C.240D.300【解析】設(shè)母線長為R,底面半徑為r,底面周長=2r,底面積=r2,側(cè)面積=rR,側(cè)面積是底面積的2倍,2r2=rR,R=2r,設(shè)圓心角為n,則nR180=2r=R,解得n=180.2.如圖,PA,PB是O的切線,切點(diǎn)分別為A,B.若OA=2,P=60,則劣弧AB的長為(C)A.23B.C.43D.53【解析】PA,PB是O的切線,OAAP,OBBP,AOB=360-OAP-OBP-P=360-90-90-60=120,劣弧AB的長為1202180=43.3.在矩形ABCD中,AB=16,如圖所示裁出一扇形ABE,將扇形圍成一個圓錐(AB和AE重合),則此圓錐的底面圓半徑為(A)A.4B.16C.42D.8【解析】由題意知BE的長為9016180=8,即圍成的圓錐的底面圓的周長為8,則底面圓的半徑為82=4.4.(xx四川資陽)如圖,ABCDEF為O的內(nèi)接正六邊形,AB=a,則圖中陰影部分的面積是(B)A.6a2B.6-34a2C.34a2D.3-34a2【解析】正六邊形的邊長為a,O的半徑為a,O的面積為a2=a2,空白正六邊形為六個邊長為a的正三角形,每個三角形面積為12aasin 60=34a2,正六邊形面積為332a2,陰影面積為a2-332a216=6-34a2.5.如圖,在RtABC中,A=90,BC=22,以BC的中點(diǎn)O為圓心分別與AB,AC相切于D,E兩點(diǎn),則DE的長為(B)A.4B.2C.D.2【解析】連接OD,OE,設(shè)半徑為r.O分別與AB,AC相切于D,E兩點(diǎn),OEAC,ODAB,DOE=90,ODAC,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),OD是ABC的中位線,OD=12AC,AC=2r,同理可得AB=2r,AB=AC,B=45,BC=22,由勾股定理可得AB=2,r=1,DE的長為901180=2.6.下列圓的內(nèi)接正多邊形中,一條邊所對的圓心角最大的圖形是(A)A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形【解析】正三角形的中心角的度數(shù)為3603=120,正方形的中心角的度數(shù)為3604=90,正五邊形的中心角的度數(shù)為3605=72,正六邊形的中心角的度數(shù)為3606=60.7.如圖,在RtAOB中,AOB=90,OA=3,OB=2,將RtAOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得RtFOE,將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得線段ED,分別以O(shè),E為圓心,OA,ED長為半徑畫弧AF和弧DF,連接AD,則圖中陰影部分面積是(A)A.8-B.54C.3+D.【解析】作DHAE于點(diǎn)H,AOB=90,OA=3,OB=2,AB=OA2+OB2=13,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OE=OB=2,DE=EF=AB=13,OFE+FEO=OED+FEO=90,OFE=OED,DHEEOF,DH=OE=2,陰影部分面積=ADE的面積+EOF的面積+扇形AOF的面積-扇形DEF的面積=1252+1223+9032360-90(13)2360=8-.8.(xx合肥模擬)如圖,在圓心角為45的扇形內(nèi)有一正方形CDEF,其中點(diǎn)C,D在半徑OA上,點(diǎn)F在半徑OB上,點(diǎn)E在AB上,則扇形與正方形的面積比是(B)A.38B.58C.34D.54【解析】連接OE,設(shè)正方形CDEF的邊長為x,OD=2x,OE=5x,S正方形=x2,S扇=45(5x)2360=58x2,S扇S正方形=58.9.如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓,則B,E兩點(diǎn)間的距離為8.【解析】連接BE,AE,六邊形ABCDEF是正六邊形,BAF=AFE=120,FA=FE,FAE=FEA=30,BAE=90,BE是正六邊形ABCDEF的外接圓的直徑,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓,BE=8,即B,E兩點(diǎn)間的距離為8.10.如圖,在ABC中,ACB=90,A=60,AB=23,將ABC沿直線CB向右作無滑動滾動一次,則點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長是52.【解析】ACB=90,A=60,AB=23,ABC=30,BC=3,由旋轉(zhuǎn)得ABCABC,CBA=30,CBC=150,點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長為1503180=52.11.如圖,點(diǎn)B,C把AD分成三等分,ED是O的切線,過點(diǎn)B,C分別作半徑的垂線段,已知E=45,半徑OD=1,則圖中陰影部分的面積是8.【解析】ED是O的切線,EDO=90,E=45,EOD=45,又點(diǎn)B,C把AD分成三等分,AOB=BOC=COD=45,S陰影=14OD2-2122222+1211-45OD2360=4-12+12-8=8.12.如圖,以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB是小圓的切線,點(diǎn)P為切點(diǎn),AB=123,OP=6,則劣弧AB的長為8.(結(jié)果保留)【解析】連接OA,OB.大圓的弦AB是小圓的切線,OPAB,根據(jù)垂徑定理,得BP=12AB=63.在RtOBP中,OB=OP2+BP2=62+(63)2=12,tan POB=PBOP=636=3,POB=60.OA=OB,OPAB,AOB=2POB=120,劣弧AB的長為12012180=8.13.(xx四川宜賓)劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一,他在九章算術(shù)中提出了“割圓術(shù)”,即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓的面積,設(shè)圓O的半徑為1,若用圓O的外切正六邊形的面積來近似估計(jì)圓O的面積,則S=23.(結(jié)果保留根號)【解析】依照題意畫出圖象,如圖所示.六邊形ABCDEF為正六邊形,ABO為等邊三角形,O的半徑為1,OM=1,BM=AM=33,AB=233,S=6SABO=6122331=23.14.(8分)(xx浙江湖州)如圖,已知AB是O的直徑,C,D是O上的點(diǎn),OCBD,交AD于點(diǎn)E,連接BC.(1)求證:AE=ED;(2)若AB=10,CBD=36,求AC的長.解:(1)AB是O的直徑,ADB=90,OCBD,AEO=ADB=90,即OCAD,AE=ED.(2)OCAD,AC=CD,ABC=CBD=36,AOC=2ABC=236=72,AC=725180=2.15.(10分)(xx江西)圖1是一種折疊門,由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成,整個活頁門的右軸固定在門框上,通過推動左側(cè)活頁門開關(guān).圖2是其俯視簡化示意圖,已知軌道AB=120 cm,兩扇活頁門的寬OC=OB=60 cm,點(diǎn)B固定,當(dāng)點(diǎn)C在AB上左右運(yùn)動時(shí),OC與OB的長度不變.(1)若OBC=50,求AC的長;(2)當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動60 cm時(shí),求點(diǎn)O在此過程中運(yùn)動的路徑長.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位,參考數(shù)據(jù):sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19,取3.14)解:(1)作OHBC于點(diǎn)H,OB=OC,BH=CH,在RtOBH中,cos OBH=BHOB,BH=60cos 50=600.64=38.4,BC=2BH=238.4=76.8,AC=AB-BC=120-76.8=43.2(cm).(2)OB=OC=60,BC=60,OBC為等邊三角形,OBC=60,當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動60 cm時(shí),點(diǎn)O在此過程中運(yùn)動路徑是以B點(diǎn)為圓心,BO為半徑,圓心角為60的弧,點(diǎn)O在此過程中運(yùn)動的路徑長為6060180=2062.8(cm).名師預(yù)測1.如圖,用個半徑為5 cm的定滑輪帶動重物上升,滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108,假設(shè)繩索(粗細(xì)不計(jì))與滑輪之間沒有滑動,則重物上升了(C)A. cmB.2 cmC.3 cmD.5 cm【解析】當(dāng)滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108時(shí),重物上升的距離就是點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的弧長,即為1085180=3(cm).2.如圖,正方形ABCD內(nèi)接于O,O的半徑為2,以點(diǎn)A為圓心,以AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點(diǎn)E,交AD的延長線于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的面積為(A)A.4-4B.4-8C.8-4D.8-8【解析】利用對稱性可知:陰影部分的面積=扇形AEF的面積-ABD的面積=9042360-1242=4-4.3.已知圓的半徑是23,則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是(C)A.33B.93C.183D.363【解析】如圖,圓O的內(nèi)接正六邊形為ABCDEF,圓O的半徑為23.連接OA,OB,過點(diǎn)O作OGAB,垂足為G.OA=OB=23,AOB=3606=60,AOB是等邊三角形,AB=23.OGAB,AG=12AB=3.在RtAOG中,根據(jù)勾股定理,得OG=AO2-AG2=(23)2-(3)2=9=3,SAOB=12ABOG=12233=33.S六邊形ABCDEF=6SAOB=633=183.4.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB<AD,D=30,CD=4,以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)E,則陰影部分的面積為43-3.【解析】連接OE,AE,AB是O的直徑,AEB=90,四邊形ABCD是平行四邊形,AB=CD=4,B=D=30,AE=12AB=2,BE=42-22=23,OA=OB=OE,B=OEB=30,BOE=120,S陰影=S扇形OBE-SBOE=12022360-1212AEBE=43-14223=43-3.5.如圖,邊長為1的菱形ABCD的兩個頂點(diǎn)B,C恰好落在扇形AEF的EF上.若BAD=120,則BC的長度等于3.(結(jié)果保留)【解析】連接AC,四邊形ABCD是菱形,BAD=120,ABC=60,AB=BC,ABC為等邊三角形,BAC=60,BC的長度為601180=3.6.如圖,正方形ABCD內(nèi)接于O,M為AD的中點(diǎn),連接BM,CM.(1)求證:BM=CM;(2)當(dāng)O的半徑為2時(shí),求BM的長.解:(1)四邊形ABCD是正方形,AB=CD,AB=CD,M為AD的中點(diǎn),AM=DM,BM=CM,BM=CM.(2)連接OM,OB,OC.BM=CM,BOM=COM,正方形ABCD內(nèi)接于O,BOC=3604=90,BOM=135.由弧長公式得BM的長為1352180=32.7.如圖,在ABC中,AB=AC,以AB為直徑的O分別與BC,AC交于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作DFAC于點(diǎn)F.(1)若O的半徑為3,CDF=15,求陰影部分的面積;(2)求證:DF是O的切線;(3)求證:EDF=DAC.解:(1)連接OE,過點(diǎn)O作OMAC于點(diǎn)M,則AMO=90,DFAC,DFC=90,FDC=15,C=180-90-15=75,AB=AC,ABC=C=75,BAC=180-ABC-C=30,OM=12OA=123=32,AM=3OM=332,OA=OE,OMAC,AE=2AM=33,BAC=AEO=30,AOE=180-30-30=120,S陰影=S扇形AOE-SAOE=12032360-123332=3-934.(2)連接OD,AB=AC,OB=OD,ABC=C,ABC=ODB,ODB=C,ACOD,DFAC,DFOD,OD是O的半徑,DF是O的切線.(3)連接BE,AB為O的直徑,AEB=90,BEAC,DFAC,BEDF,FDC=EBC,EBC=DAC,FDC=DAC,A,B,D,E四點(diǎn)共圓,DEF=ABC,ABC=C,DEC=C,DFAC,EDF=FDC,EDF=DAC.8.如圖,AB為O的直徑,且AB=4,點(diǎn)C在半圓上,OCAB,垂足為O,P為半圓上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作PEOC于點(diǎn)E,設(shè)OPE的內(nèi)心為M,連接OM,PM.(1)求OMP的度數(shù);(2)當(dāng)點(diǎn)P在半圓上從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí),求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長.解:(1)OPE的內(nèi)心為M,MOP=MOC,MPO=MPE,PMO=180-MPO-MOP=180-12(EOP+OPE),PEOC,即PEO=90,OMP=180-12(EOP+OPE)=180-12(180-90)=135.(2)如圖,OP=OC,OM=OM,MOP=MOC,OPMOCM,CMO=PMO=135,點(diǎn)M在以O(shè)C為弦,并且所對的圓周角為135的兩段劣弧上(OMC和ONC).當(dāng)點(diǎn)M在扇形BOC內(nèi)時(shí),過C,M,O三點(diǎn)作O,連OC,OO,在優(yōu)弧CO上取點(diǎn)D,連接DC,DO,CMO=135,CDO=180-135=45,COO=90,又OA=2 cm,OO=22OC=222=2,弧OMC的長=902180=22(cm),同理:點(diǎn)M在扇形AOC內(nèi)時(shí),同的方法得,弧ONC的長為22 cm,所以內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長為222=2 cm.