第第2 2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二 函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)三 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)一 基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.指數(shù)與對(duì)數(shù)式的七個(gè)運(yùn)算公式(1)aman=am+n;(2)(am)n=amn;(3)loga(MN)=logaM+logaN;(4)loga=logaM-logaN;(5)logaMn=nlogaM;(6)=N;(7)logaN=.(a0且a1,b0且b1,M0,N0)MNlogaNaloglogbbNa2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0,且a1)的增減性分0a1兩種情況,當(dāng)a1時(shí),在定義域內(nèi)都為增函數(shù),當(dāng)0a1時(shí),在定義域內(nèi)都為減函數(shù).典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國(guó),9,5分)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則()A. f(x)在(0,2)單調(diào)遞增B. f(x)在(0,2)單調(diào)遞減C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(2)(2017天津,6,5分)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).若a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.abc B.bac C.cba D.cab21log5答案答案(1)C(2)C解析解析(1)函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)=lnx(2-x),其中0 xlog24.1220.8,且y=f(x)在R上為增函數(shù),f(log25)f(log24.1)f(20.8),即abc,故選C.方法歸納方法歸納研究指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)注意的問(wèn)題(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響,解決與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí),首先要看底數(shù)a的范圍.(2)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)的限制條件.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2016課標(biāo)全國(guó),8,5分)若ab0,0c1,則()A.logaclogbc B.logcalogcbC.accb 答案答案 B0cb1時(shí),logaclogbc,A項(xiàng)錯(cuò)誤;0cb0,logcalogcb,B項(xiàng)正確;0cb0,acbc,C項(xiàng)錯(cuò)誤;0cb0,ca0可得x4或x0,且a1)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).若函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x-2,2時(shí),有g(shù)(x)=f(x),且函數(shù)g(x+2)為偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.g()g(3)g() B.g()g()g(3)C.g()g(3)g() D.g()g()0,且a1)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),=,a=,g(x+2)是偶函數(shù),g(-x+2)=g(x+2),g(3)=g(1),g()=g(4-),4-1g(1)g(),即g()g(3)0,且a1).當(dāng)2a3b4時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0(n,n+1),nN*,則n=()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2017課標(biāo)全國(guó),12,5分)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=()A.- B. C. D.1121312答案答案(1)B(2)C解析解析(1)2a3b4,f(1)=loga1+1-b=1-b0,f(2)=loga2+2-b1,-13-b0,即f(2)f(3)200,則lg130(1+12%)n-1lg 200,lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2,2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n,又nN*,n5,該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2019年.故選B.(2)設(shè)年利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)萬(wàn)元.每件產(chǎn)品的售價(jià)為0.05萬(wàn)元,x千件產(chǎn)品的245答案答案(1)B(2)1 000銷售額為0.051 000 x=50 x萬(wàn)元.當(dāng)0 x80時(shí),年利潤(rùn)L(x)=50 x-x2-10 x-250=-x2+40 x-250=-(x-60)2+950,當(dāng)x=60時(shí),L(x)取得最大值,且最大值為L(zhǎng)(60)=950;當(dāng)x80時(shí),L(x)=50 x-51x-+1 450-250=1 200-1 200-2=1 200-200=1 000,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=100時(shí),L(x)取得最大值1 000,由于9501 000,當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí),該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大,最大年利潤(rùn)為1 000萬(wàn)元.13131310 000 x10 000 xx10 000 xx10 000 x方法歸納方法歸納解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)認(rèn)真讀題,縝密審題,準(zhǔn)確理解題意,明確問(wèn)題的實(shí)際背景,然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括,將實(shí)際問(wèn)題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.(2)要合理選取參數(shù)變量,設(shè)定變量之后,就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問(wèn)題中的關(guān)系,建立相應(yīng)的函數(shù)模型,最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問(wèn)題獲解.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.某電腦公司在甲、乙兩地各有一個(gè)分公司,甲分公司現(xiàn)有某型號(hào)電腦6臺(tái),乙分公司現(xiàn)有同一型號(hào)的電腦12臺(tái).現(xiàn)A地某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)的電腦10臺(tái),B地某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)的電腦8臺(tái).已知從甲地運(yùn)往A、B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是40元和30元.從乙地運(yùn)往A、B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是80元和50元.若總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)1 000元,則調(diào)運(yùn)方案的種數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4答案答案 C設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元,甲地調(diào)運(yùn)x臺(tái)電腦至B地,則剩下(6-x)臺(tái)電腦調(diào)運(yùn)至A地;乙地應(yīng)調(diào)運(yùn)(8-x)臺(tái)電腦至B地,調(diào)運(yùn)12-(8-x)=(x+4)臺(tái)電腦(0 x6,xN)至A地.則總運(yùn)費(fèi)y=30 x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20 x+960,y=20 x+960(0 x6,xN).若y1 000,則20 x+9601 000,得x2.又0 x6,xN.0 x2,xN.x=0,1,2,即有3種調(diào)運(yùn)方案.2.(2017湖北七市(州)聯(lián)考)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放,過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系為P=P0e-kt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物,那么污染物減少19%需要花費(fèi)的時(shí)間為 小時(shí).答案答案10解析解析前5小時(shí)污染物消除了10%,此時(shí)污染物剩下90%,即t=5時(shí),P=0.9P0,則(e-k)5=0.9,e-k=0.,P=P0e-kt=P0(0.)t.當(dāng)污染物減少19%時(shí),污染物剩下81%,此時(shí)P=0.81P0,代入得0.81=(0.)t,解得t=10,即需要花費(fèi)10小時(shí).50.91591591591.函數(shù)y=的定義域?yàn)?)A. B.C.(1,+) D.(1,+)0.51log(43)x3,143,43,14隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)答案答案 A要使函數(shù)有意義,需滿足解得x0, f(4)=-2=-0.所以在給出的區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的是(2,4),故選C.6x32123.(2017湖北武昌調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1), f(x0)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-,-3)(1,+) B.(-,-3)C.(-3,1) D.(1,+)答案答案 A當(dāng)a=0時(shí),顯然不成立,當(dāng)a0時(shí),由題意知f(-1)f(1)0,即(-3a+3)(a+3)0,解得a1.故選A.4.(2017貴州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)=當(dāng)1a2時(shí),關(guān)于x的方程ff(x)=a實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.51,0,|ln|,0,xaxx x答案答案 C令u=f(x),則f(u)=a,由f(x)的圖象可知,若u0,解得u1或2eue2,顯然,當(dāng)x0,u0,2eue2時(shí), f(x)=u也有2個(gè)解,因此ff(x)=a有4個(gè)實(shí)數(shù)解. 21e1e21e1e