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幾何多解題 類型一 點(diǎn)位置不確定 ★1.如圖，正△ABC的邊長為 10，點(diǎn)P為BC邊上的任意一點(diǎn)(不 與點(diǎn) B，C 重合)，且∠APD＝60， PD 交 AB 于點(diǎn)D.若 BD＝2，則 BP 的長為________． 第 1 題解圖 5＋5或5－5【解析】∵△ABC是正三角形，∴∠B＝∠C＝60，∵∠BPD＋∠APD＝∠C＋∠CAP，∵∠APD＝ 60，∴∠BPD＝∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴CABP＝BDCP.設(shè) BP＝x，則 PC＝10－x，∴x＝2 ，解得x1＝5＋5，x210 10－x ＝5－5. ★2.已知△ABC中，∠A＝90，AC＝AB＝4，點(diǎn)D為直 線 BC 上的一點(diǎn)，且∠ADB＝30，則△ABD 的面積為_____． 43－4或43＋4【解析】如解圖①，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延 長線上時，過點(diǎn) A 作 AH⊥BC 于 H，∵∠BAC＝90，AC＝ AB ＝ 4 ， ∴△ABC 為 等 腰直角三角形， ∴BC ＝4 2 ，  第 2 題解圖 ∴AH＝BH＝CH＝2 2，又∵∠ADB＝30，∴DH＝AH tan∠ADB ＝ 22 ＝2 6，BD＝DH－BH＝2 6－2 2，∴SABD＝BDAH tan30△2 ＝（26－22）22＝4 3－4；如解圖②，當(dāng)點(diǎn)D在BC 2 的延長線上時，過點(diǎn) A 作 AH⊥BC 于 H, BD＝DH＋BH＝26 BDAH （2 6 ＋2 2 ）2 2 ＋2 2，∴S△ABD＝ ＝ ＝4 3＋4. 2 2 ★3. 正方形ABCD的邊長為4，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線 BC 邊上的動點(diǎn)，若 CP＝6，則 EP 長為________． 4 5或42【解析】當(dāng)點(diǎn) P在直線BC的延長線上，如解圖①，設(shè) DF＝x，則 CF＝4－x，易證：△EDF∽△PCF， ∴DECP＝DFCF，即26＝4－xx，解得 x＝1，∴DF＝1，CF＝3，根據(jù)勾股定理得 EF ＝ ED2＋DF2＝ 22＋12＝ 5 ，F(xiàn)P＝CP2＋CF2＝62＋32＝35，∴EP＝5＋35＝45；當(dāng)點(diǎn) P 在直線 CB 的延長線上，如解圖②，過點(diǎn) E 作 EN⊥BC 于點(diǎn) N，∵CP＝6，BC＝4，AE＝2，∴PB＝2，PN＝4，又∵EN ＝4，∴EP＝ EN2＋PN2＝4 2.∴EP的長為 4 5或 4 2. 第 3 題解圖 類型二 線段位置不確定 ★1. 已知D，E分別在直線AB，AC上，且BC∥DE，∠BAC＝90，∠C＝30，BC＝2DE＝8，則BD的長為________． 2 或 6【解析】如解圖①，當(dāng)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)時，BC∥DE，此時，AB＝12BC＝4，所以 BD＝2；如解圖②， 當(dāng) D，E 分別在 BA，CA 的延長線上時，因?yàn)?AB＝12BC＝4,BC∥DE，所以AD＝12DE＝2，所以BD＝6. 第 1 題解圖 ★2. 在△ABC中，∠ABC＝120，∠BAC＝30，將△ABC 沿 AC 翻折得到△ADC，若△ABC 一邊上的高為3，則四邊形 ABCD 的周長為________． 24 或 83【解析】由∠ABC＝120，∠BAC＝30，可得 ∠ACB＝30，所以 AB＝BC；由翻折可得四邊形 ABCD 為菱 形；①當(dāng) AC 邊上的高為3時，可得 BC＝6，所以四邊形 ABCD 的周長為 24；②當(dāng)AB或BC邊上的高為 3 時，可得AB＝23， 所以四邊形 ABCD 的周長為83. ★3. 已知△ABC 是等邊三角形，AB＝6，D 是 BC 邊上 一點(diǎn)，且 BD＝2，點(diǎn) E 是 AC 邊一點(diǎn)，若 BE＝AD，則 CE＝ ________． 2 或 4 【解析】如解圖，過A作AM⊥BC于M，過B作BN⊥AC 于 N，易得 AM＝BN，∵AD＝BE，∴Rt△ADM≌Rt△BEN, ∴EN＝DM，∵△ABC 是等邊三角形，AB=6,∴BM＝MC＝3， ∵BD＝2，∴EN＝DM＝1，當(dāng) E 在 N 點(diǎn)下方時，有 CE1＝CN－NE1＝3－1＝2，當(dāng) E 在 N 點(diǎn)上方時，有 CE2＝CN＋NE2＝ 3＋1＝4. 第 3 題解圖 類型三 特殊圖形邊或角不確定 ★1. 在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點(diǎn)，分 別沿斜邊中點(diǎn)與這兩點(diǎn)的連線剪去兩個三角形，剩下的部分 是如圖所示的四邊形 ABCD，其中 AB＝2，BC＝4，CD＝3，∠B＝∠C＝90，則原三角形紙片的斜邊長是________． 第 1 題圖 4 5或10【解析】如解圖①，因?yàn)锳C＝22＋42＝25，點(diǎn) A 是斜邊 EF 的中點(diǎn)，所以 EF＝2AC＝45；如解圖②，因?yàn)?BD＝32＋42＝5，點(diǎn)D是斜邊EF的中點(diǎn)，所以EF＝ 2BD＝10，綜上所述，原直角三角形紙片的斜邊長是 4 5或 10. 圖① 圖② 第 1 題解圖 ★2.如圖，在△ABC中，∠B＝30，BC＝AC＝4，將△ABC 繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，旋轉(zhuǎn)角為α(0≤α≤180)，射 線 AB′與射線 BC 相交于點(diǎn) D，若△ACD 為直角三角形，那么 B，D 兩點(diǎn)的距離為________． 第 2 題圖 6 或 12 【解析】由∠B＝30，BC＝AC，可得∠ACB＝120， 將△ABC 繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn)到如解圖①所示的位置，且 ∠ADC＝90時，可得∠ACD＝60，所以 CD＝cos60AC＝ 124＝2，所以BD＝BC＋CD＝6；將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋 轉(zhuǎn)到如解圖②所示的位置，且∠CAD＝90時，可得∠ACD＝ 60，所以CD＝cos60AC＝8，所以BD＝BC＋CD＝12. ★3. 已知半徑為1的⊙O中，弦AB＝2，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB 上的一個動點(diǎn)，且△ABC 是等腰三角形，則劣弧 AC 的長 等于________． 34π或12π或π【解析】如解圖，作 AB 上的垂直平分線，交優(yōu) ︵ ︵ ︵ 弧 AB 于一點(diǎn) C，在優(yōu)弧 AB 取兩點(diǎn) D，E，使得AB＝AD＝BE， ∵OA＝OB＝1，AB＝ 2 ，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90， ︵ 1 90π1 3 ︵︵︵ 90π1 1 ︵ ∴l(xiāng)AC＝ 2 (2π1－ 180 )＝ 4 π，lAD＝lAB＝lBE＝ 180 ＝ 2 π，∴l(xiāng)AE ＝l︵＋l︵＝π. AB BE 第 3 題解圖 類型四 圖形旋轉(zhuǎn)方向不確定 ★1. 如圖，在 △ABC 中， AB ＝ AC ， ∠BAC ＝ 90 ， DE∥BC，且 BC＝2DE＝2.將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn) 90得到△AD′E′，則 BE′的長為________． 第 1 題圖 2－1或2＋1 【解析】根據(jù)題意可得 2DE＝2，DE＝2， ∴AE＝AD＝1，∵BC＝2，∴AB＝2.①如解圖①，將△ADE 繞點(diǎn) A 順時針旋轉(zhuǎn)90得到△AD′E′，則點(diǎn) E′落在 AB 上，此 時，BE′＝AB－AE′＝2－1；②如解圖②，將△ADE繞點(diǎn)A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90得到△AD′E′，則點(diǎn)D′落在AC上，點(diǎn)E′落在 BA 的延長線上，此時可得 BE′＝AB＋AE′＝AB＋AE＝2＋1. 第 1 題解圖