福福 州州 大大 學(xué)學(xué)11. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧曲線弧 的長度的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),( 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)福福 州州 大大 學(xué)學(xué)23. 計算計算 對光滑曲線弧對光滑曲線弧:( ),( ),(),L xx tyy tt Lsyxfd),( 對光滑曲線弧對光滑曲線弧:( ) (),L yy xaxbLsyxfd),( , ( )baf x y x),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧對光滑曲線弧22( )( )dxtytt21( )dyxxd)()(22rr ( ),( )f x ty t 四、小結(jié) 第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量值函數(shù)的曲面積分數(shù)量值函數(shù)的曲面積分 (第一類曲面積分第一類曲面積分) 第八章第八章 一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對面積的曲面積分的計算法三、幾何與物理意義福福 州州 大大 學(xué)學(xué)4oxyz一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用采用kkkkS),(可得可得nk 10limM),(kkk求質(zhì)求質(zhì) “大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限” 的方法的方法,量量 M.其中其中, 表示表示 n 小塊曲面的直徑的小塊曲面的直徑的最大值最大值 (曲面的曲面的直徑直徑為其上任意兩點間距離的最大者為其上任意兩點間距離的最大者). 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)5( , , )dMx y zS 定義定義: 設(shè)設(shè) 為光滑曲面為光滑曲面,“乘積和式極限乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在都存在,的曲面積分的曲面積分Szyxfd),(其中其中 f (x, y, z) 叫做被積叫做被積據(jù)此定義據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在是定義在 上的一上的一 個有界函數(shù)個有界函數(shù),記作記作或或第一類曲面積分第一類曲面積分.若對若對 做做任意分割任意分割和局部區(qū)域和局部區(qū)域任意取點任意取點, 則稱此極限為數(shù)量值函數(shù)則稱此極限為數(shù)量值函數(shù) f (x, y, z) 在曲面在曲面 上對面積上對面積函數(shù)函數(shù), 叫做積分曲面叫做積分曲面.福福 州州 大大 學(xué)學(xué)6則對面積的曲面積分存在則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性對積分域的可加性.,21則有則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì)線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面 上連續(xù)上連續(xù), 對面積對面積的曲面積分與的曲面積分與對弧長對弧長的曲線積分性質(zhì)類似的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的積分的存在性存在性. 若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成兩例如分成兩片光滑曲面片光滑曲面福福 州州 大大 學(xué)學(xué)7 0dSzyxf),(12121 ( )xoy 設(shè)設(shè)其其中中 ，關(guān)關(guān)于于面面對對稱稱，則則則則為為奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于若若,zf.),(),( 12dSzyxfdSzyxf則則為為偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于若若,zf面對稱，面對稱，面面關(guān)于關(guān)于，同樣，若同樣，若zoxyoz/21函函數(shù)數(shù)，有有類類似似結(jié)結(jié)論論偶偶為為奇奇關(guān)關(guān)于于變變量量而而)(/ yxf 對稱性對稱性(2) 若若 關(guān)于關(guān)于x,y,z 具有具有 輪換對稱性輪換對稱性，則，則特特別別，f x y z dSf y z x dSf z x y dS( , , )( , , )( , , ) f x dSf y dSf z dS( )( )( ). (x,y 不動不動, 在被積函數(shù)中僅僅考慮關(guān)于在被積函數(shù)中僅僅考慮關(guān)于 z 的奇偶情況的奇偶情況) 1為為 在在xoy面上半面上半部分部分福福 州州 大大 學(xué)學(xué)8 0dSzyxf),(面對稱，則面對稱，則關(guān)于關(guān)于，其中其中設(shè)設(shè)xoy21211 )(則則為為奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于若若,zf.),(),( 12dSzyxfdSzyxf則則為為偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于若若,zf面對稱，面對稱，面面關(guān)于關(guān)于，同樣，若同樣，若zoxyoz/21函函數(shù)數(shù)，有有類類似似結(jié)結(jié)論論偶偶為為奇奇關(guān)關(guān)于于變變量量而而)(/ yxf 1為為 在在xoy面上半面上半部分部分(2) 若若 關(guān)于關(guān)于x,y,z 具有具有 輪換對稱性輪換對稱性，則，則特特別別，( , , )( , , )( , , ) f x y z dSf z x y dSf y z x dSf x dSf y dSf z dS( )( )( ). 例例1.:,)(12222 zyxdSyxI求求福福 州州 大大 學(xué)學(xué)9例例1.:,)(12222 zyxdSyxI求求 dSxyyxI)(22202 xydS由由對對稱稱性性解解 dSx2 dSy2 dSz2 dSyxI)(22 dSzyx)(22232 dS32224 1322213()xyzdS 83思考思考: 若例若例1 中被積函數(shù)改為中被積函數(shù)改為),(zyxfxy,計算結(jié)果如何計算結(jié)果如何 ? 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)10表示什么表示什么?oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面f (x, y, z) 在在 上連續(xù)上連續(xù),存在存在, 且有且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(221( , )( , )d dxyzx yzx yx y二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分則曲面積分yxD( , )z x y:( , ),z xzy“一投一投, 二代二代, 三變換三變換”dS ( , )x yx yDS 特特別別，曲曲面面面面積積221xyxyDzzdxdy 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)11曲面面積的計算法曲面面積的計算法Dxy( , )zf x yxyoz dSS xyDyxdxdyzz221( , )ABLSf x y ds zxoy),(yxfz sLABab( , )zf x y(柱面面積柱面面積) 回顧回顧如果曲線如果曲線 L 的方程為的方程為( )(),yy xaxb則有則有Lsyxfd),(21( )dyxx( , ( )baf x y x xx 21( , ( )( ) baf x y xyx dx福福 州州 大大 學(xué)學(xué)12問題問題:二重積分是否看作第一類曲面積分的特例二重積分是否看作第一類曲面積分的特例?是是! 可從物理意義來理解可從物理意義來理解: 二重積分可表示為二重積分可表示為平面平面型構(gòu)件的質(zhì)量型構(gòu)件的質(zhì)量 , 第一類積分可表示為第一類積分可表示為曲面曲面型構(gòu)件的質(zhì)量型構(gòu)件的質(zhì)量 . 例如例如:(作業(yè)作業(yè)P53 一一2) 當當 為為 xoy 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 D 時，時， 即是即是 D 上的二重積分，上的二重積分， Szyxfd),( Szyxfd),( Dyxyxfdd)0 ,(福福 州州 大大 學(xué)學(xué)13221 , , ( , );xyxyDf x y z x yzz dxdy dSzyxf),(1.:( , )zz x y若若曲曲面面則則按照曲面的不同情況：按照曲面的不同情況：221 , ( , ), ;xzxzDf x y x zzyydxdz dSzyxf),(則則2 .( , )yy x z若若曲曲面面：221 ( , ), , .yzyzDf x y zy zxx dydz dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面則則注：注：把積分曲面投影到哪個坐標面上，把積分曲面投影到哪個坐標面上，取決于取決于積分曲面方程的表達式。積分曲面方程的表達式。福福 州州 大大 學(xué)學(xué)14例例2 2積積分分曲曲面面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy221 , , ( , )d d ;xyxyDf x y z x yzzx y ( , , )df x y zS :( , )zz x y若若曲曲面面則則()dxyzS 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)15 dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(225002(5cos )dd 221xydSzzdxdydxdy2)1(01 ,2dxdy (繁繁!) .2125 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)16解解xyz拋物面拋物面 關(guān)于關(guān)于xoz坐標面對稱坐標面對稱22zxy被積函數(shù)被積函數(shù) |xyz| 關(guān)于關(guān)于y偶函數(shù)偶函數(shù)2|Iz xy dSzy x dS 右右則有則有拋物面拋物面 又又 關(guān)于關(guān)于yoz坐標面對稱坐標面對稱22zxy被積函數(shù)被積函數(shù) |xyz| 關(guān)于關(guān)于x偶函數(shù)偶函數(shù)而而2|zy x dSzy x dS 右右右右前前(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)14|xyz dSxyzdS 即即福福 州州 大大 學(xué)學(xué)17解解依依對稱性對稱性知：知：(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz拋物面拋物面 分別分別關(guān)于關(guān)于xoz、yoz坐標面對稱坐標面對稱22zxy被積函數(shù)被積函數(shù) |xyz| 關(guān)于關(guān)于y、x 偶函數(shù)偶函數(shù)14|xyz dSxyzdS 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)18原式原式dSxyz |dSxyz 14221xydSzzdxdydxdyyx22)2()2(1 dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx福福 州州 大大 學(xué)學(xué)191222200414cossindd 2152002214sindd cosxsiny,dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 原式原式dSxyz |dSxyz 14其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 令令214u duuu251)41(41 .42015125 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)20 計計算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面.例例4 44福福 州州 大大 學(xué)學(xué)21解解 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.(底面底面)(頂面頂面)(側(cè)面?zhèn)让?, 0112 xyDdxdyxxdS01 xyDxdxdyxdS由對稱性由對稱性( ) 1 , 2 的的30 ?x dS對對嗎嗎請問請問: 投向投向xoy面區(qū)域為圓線面區(qū)域為圓線3123ddddx Sx Sx Sx S福福 州州 大大 學(xué)學(xué)22討討論論3 時時, 將將投投影影域域選選在在xoz上上. 3xdS 31xdS 32xdS2221xzxzDxyydxdzxoz(對稱性對稱性) xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx121(2)21x xdxx xdS 00.福福 州州 大大 學(xué)學(xué)23三、幾何與三、幾何與物理意義物理意義1 ( )( , , ),x y z 當當表表示示的的面面密密度度時時(, )dMx y zS 曲面形構(gòu)件的曲面形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量為為21( )( , , ),f x y z 當當時時dSS 曲曲面面面面積積221xyxyDzzdxdy 3( ),xyz曲曲面面對對 軸軸, , 軸軸軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量和和( ),xIdS 22yz 22()yIxzdS ,.x dSy dSxydSdS(4) 曲面的曲面的質(zhì)心坐標質(zhì)心坐標綜述綜述P17522()zIxydS福福 州州 大大 學(xué)學(xué)2422()zIxydS22()xyDxy222()xyDxydxdy230022/cosdd24013 222432/cosd ,22yxz xz 22xyD : xyx解解dxdyyxyyxx1222222 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)251. 定義定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計算計算: 設(shè)設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似曲面的其他兩種情況類似) 注意利用對稱性、重心公式、注意利用對稱性、重心公式、(球面坐標、柱面坐球面坐標、柱面坐標標)簡化計算的技巧簡化計算的技巧. 對面積的曲面積分的對面積的曲面積分的解法解法是將其化為投影域上的是將其化為投影域上的二重積分計算二重積分計算.四、小結(jié)四、小結(jié)福福 州州 大大 學(xué)學(xué)26111122221 (0),( )4 ()4 ()4 ()4 xyzazAxdSxdSBydSxdSCzdSxdSDxyzdSxyzdS設(shè)設(shè) ：為為 在在第第一一卦卦限限中中的的部部分分，則則有有(利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算)答案：答案：C14()zdSzdSzxy 被積函數(shù) 關(guān)于 、 都是偶函數(shù)被積函數(shù) 關(guān)于 、 都是偶函數(shù)14xdS （輪換對稱性）（輪換對稱性）思考題思考題福福 州州 大大 學(xué)學(xué)27解解 (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)dSzyx)(222 1)(8222dSzyx有有練習(xí)練習(xí):1 ：azyx , 即即yxaz 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)281 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyx2228() 3xyDxyaxydxdy .324a 1122228()24xyzdSx dS或利用輪換對稱性：2243xyDxdxdy20024 3ddaa xxxy.324a 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)29zzd1. 計算計算222d,SIxyz其中其中 是介于平面是介于平面之間之間的圓柱面的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后若將曲面分為前后(或左右或左右)Hzz,0oHxyz兩片兩片, 則計算較繁則計算較繁. (即即 作業(yè)作業(yè)P54 二二5)技巧技巧: 用元素法用元素法. 課后提高課后提高福福 州州 大大 學(xué)學(xué)302. 10,0,0 ,-.xyzxyzxy dSxdS設(shè)設(shè)曲曲面面 ：（）求求 （） 與與解：利用積分曲面的輪換對稱性，我們有解：利用積分曲面的輪換對稱性，我們有xdSydSzdS-0.xy dS （）（）1()3xdSxyz dS11333326dS 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)31oyxzL3. 求橢圓柱面求橢圓柱面19522yx位于位于 xoy 面上方及平面面上方及平面 z = y 下方那部分柱面下方那部分柱面 的側(cè)面積的側(cè)面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取取SSdszLdtt cosdcos45302d s5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd福福 州州 大大 學(xué)學(xué)32附注： 在對面積的曲面積分化為二重積分在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說明試說明這個因子的幾何意義這個因子的幾何意義.221yxzz 解答解答是曲面的面積元素是曲面的面積元素,dSMd Szdn dd S2211cos( , )( , )xyfx yfx y d S (d 稱為稱為曲面投影域的面積元素曲面投影域的面積元素)cosn00001(,),(,),)xynfxyfxy 00001(,),(,), )xynfxyfxy 或221()()xyfx,yfx,yd(參考參考 書書P152)221|cos( , )| |cos|1xyn zzz 221yxzz 故故 是曲面法向量與是曲面法向量與 z 軸軸 夾角的夾角的余弦的倒數(shù)的絕對值余弦的倒數(shù)的絕對值.: ()()zf x, y ,x, yD福福 州州 大大 學(xué)學(xué)33一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積為積為, , 則則 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 設(shè)設(shè) 為球面為球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,則則 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 為拋物面為拋物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 及平面及平面1 z所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面. .課后練習(xí)課后練習(xí)福福 州州 大大 學(xué)學(xué)34二二、計計算算下下列列對對面面積積的的曲曲面面積積分分: : 1 1、 dszxxxy)22(2, ,其其中中 為為平平面面 622 zyx在在第第一一卦卦限限中中的的部部分分； 2 2、 dszxyzxy)(, ,其其中中 為為錐錐面面22yxz 被被 柱柱面面axyx222 所所截截得得的的有有限限部部分分 . . 三三、求求拋拋物物面面殼殼)10)(2122 zyxz的的質(zhì)質(zhì)量量, ,此此殼殼 的的面面密密度度的的大大小小為為z . . 福福 州州 大大 學(xué)學(xué)35課后練習(xí)答案課后練習(xí)答案一、一、1 1、a10； 2 2、22)()(1zxyx ； 3 3、42 a ； 4 4、 10111； 5 5、 221 . .二、二、1 1、427 ； 2 2、421564a. .三、三、6 . .四、四、)136(152 . .福福 州州 大大 學(xué)學(xué)36附注附注: 數(shù)量值函數(shù)在幾何形體上的數(shù)量值函數(shù)在幾何形體上的 積分及其應(yīng)用積分及其應(yīng)用綜述綜述 .概念概念J記記 幾幾何何形形體體為為 ，該該類類形形體體的的度度量量為為MJd點點且且度度量量為為函數(shù)函數(shù)f(M)在在J上的積分上的積分dSdsdvddx, 對對應(yīng)應(yīng)度度量量微微元元分分別別為為()Jf M d分分別別為為時時，曲曲面面空空間間曲曲線線平平面面/L dSzyxfdszyxfdsyxfL),(,),(,),( ),( , ),( , , )IDf x dxf x y df x y z dV()fdM Jif (M )nk 10limif(M)是在是在J上的有界數(shù)量值函數(shù)上的有界數(shù)量值函數(shù), ,，空空間間區(qū)區(qū)域域，平平面面區(qū)區(qū)域域分分別別為為直直線線段段DIJ課后課后 參考參考福福 州州 大大 學(xué)學(xué)37 對稱性對稱性軸軸對對稱稱，則則關(guān)關(guān)于于，其其中中設(shè)設(shè)xJJJJJ21211 )(則則為為奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于若若,yf則則為為偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于若若,yf軸對稱，軸對稱，關(guān)于關(guān)于，若若同樣同樣yJJ21,函函數(shù)數(shù)，有有類類似似結(jié)結(jié)論論偶偶為為奇奇關(guān)關(guān)于于且且)(xf2( ), Jx y設(shè)設(shè)關(guān)關(guān)于于具具有有輪輪換換對對稱稱性性 則則曲曲面面有有類類似似結(jié)結(jié)論論空空間間曲曲線線空空間間區(qū)區(qū)域域空空間間形形體體/:)/(平平面面曲曲線線為為例例以以平平面面形形體體：平平面面區(qū)區(qū)域域特特別別，0( , )Jf x y d12( , )( , ).JJf x y df x y d( , )( , ).JJf x y df y x d( )( ).JJf y df x d福福 州州 大大 學(xué)學(xué)382.幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用 DDdxdydA 平面區(qū)域面積平面區(qū)域面積 空間區(qū)域的體積空間區(qū)域的體積線段長度線段長度dxabLba )()(:xyyxybxaD21 ，設(shè)設(shè)dxxyxyAba)()(12 xyDyxyxzzyxz ),(),(),(21：設(shè)設(shè) dxdydzdVV xyDdxdyyxzyxzV),(),(12福福 州州 大大 學(xué)學(xué)39 Ldss曲線弧長曲線弧長222()()()dsdxdy 平面曲線弧微分平面曲線弧微分則則設(shè)設(shè)),(),(),(: ttyytxxLdttytxs )()(22221xyxyDAzzdxdy則則設(shè)設(shè)曲曲面面),(:yxzz 曲面面積曲面面積dSA ),(1yxzzn 柱面面積柱面面積),(),( :yxhzLyx 0，設(shè)設(shè)柱柱面面 LdsyxhA),(福福 州州 大大 學(xué)學(xué)40.物理應(yīng)用物理應(yīng)用重心重心 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量物體對物體對軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力z,zyxFFFF 質(zhì)量質(zhì)量 ),(zyx的計算式的計算式由對稱性可得由對稱性可得zyzyFFIIzy,質(zhì)量微元質(zhì)量微元 202020)()()(zzyyxxr 密度函數(shù)密度函數(shù) 設(shè)為空間形體，點設(shè)為空間形體，點（x,y,z） ( , , )x y z( , , )dmx y z d( , , )Jmx y z d( , , )( , , )JJxx y z dxx y z d22() ( , , )xJIyzx y z d03( , , )xJxxFkx y z dr