二用數(shù)學歸納法證明不等式舉例與正整數(shù)n有關的幾個不等式(1)當nN+,n5時,n2-1,x0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n1+nx.當是實數(shù),并且滿足1或者-1);當是實數(shù),并且滿足0-1).(4)如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1,a2,an的乘積a1a2an=1,那么它們的和a1+a2+ann.思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“”,錯誤的畫“”.(1)若nN+,且n2-1,x0,則(1+x)41+4x. () 探究一探究二規(guī)范解答利用數(shù)學歸納法證明不等式利用數(shù)學歸納法證明不等式 分析：找準n0,看左邊是多少項,從n=k到n=k+1時添了什么項,少了什么項,根據n=k時的假設,從而證明當n=k+1時不等式成立.探究一探究二規(guī)范解答當n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)可知,對一切的n2,且nN+,不等式都成立.探究一探究二規(guī)范解答反思感悟數(shù)學歸納法證明不等式的技巧1.證明不等式時,由n=k到n=k+1時的推證過程與證明等式有所不同,由于不等式中的不等關系,需要我們在證明時,對原式進行“放大”或者“縮小”才能使用到n=k時的假設,因此需要認真分析,適當放縮,才能使問題簡單化,這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一.2.數(shù)學歸納法的應用通常需要與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起,如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等,才能完成證明過程.探究一探究二規(guī)范解答探究一探究二規(guī)范解答利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的不等式問題不等式問題 分析：證明當n=k+1時不等式成立的關鍵是利用好n=k成立時的假設,以及當n=k+1時不等式的恰當變形.探究一探究二規(guī)范解答探究一探究二規(guī)范解答反思感悟利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的不等式問題的基本策略1.首先掌握好數(shù)學歸納法證明問題的基本步驟以及數(shù)列的有關知識,這是解決這類問題的基礎.2.這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關,有時要證明的式子是直接給出,有時是根據條件從前幾項入手,通過觀察、猜想,歸納出一個式子,然后再用數(shù)學歸納法證明.證明過程中,注意遞推關系式的利用以及正整數(shù)n的性質.探究一探究二規(guī)范解答探究一探究二規(guī)范解答不等式中的歸納、猜想、證明問題典例設f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,nN+.(1)當n=1,2,3,4時,比較f(n)與g(n)的大小.(2)根據(1)的結果猜測一個一般性結論,并加以證明.【審題策略】對于(1),可逐一計算進行比較;對于(2),可在(1)的基礎上進行歸納猜想,然后利用數(shù)學歸納法證明猜想.【規(guī)范展示】解(1)當n=1時,nn+1=1,(n+1)n=2,所以f(1)g(1).當n=2時,nn+1=8,(n+1)n=9,所以f(2)g(3).當n=4時,nn+1=1 024,(n+1)n=625,所以f(4)g(4).探究一探究二規(guī)范解答(2)由(1)可猜測,當n3時f(n)g(n).以下用數(shù)學歸納法證明該猜測.當n=3時,nn+1=81,(n+1)n=64,所以f(3)g(3).所以猜測成立;假設當n=k(k3)時猜測成立,即f(n)g(n),即(k+1)k+2(k+2)k+1成立,亦即f(n+1)g(n+1)成立.因此當n=k+1時猜測成立.由知,當n3時f(n)g(n)成立.探究一探究二規(guī)范解答【答題模板】第1步:代入計算,逐一進行比較,得出具體結論.第2步:進行歸納猜想,得到一般性結論.第3步:證明初始值成立.第4步:假設當n=k(k3)時,結論成立得到歸納假設,并變形.第5步:證明n=k+1時結論成立.第6步:證得結論.探究一探究二規(guī)范解答失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)造成失分的原因主要如下:(1)第一問數(shù)據計算失誤,得不出正確結果;(2)第二問中不能正確地利用歸納并猜想得出一般性結論;(3)用數(shù)學歸納法證明時,步驟不完整;(4)證明當n=k+1時結論成立時,不能正確地進行放縮,從而無法利用歸納假設致誤.探究一探究二規(guī)范解答1 2 3 4 5答案：C 1 2 3 4 5答案：C 1 2 3 4 5答案：8 1 2 3 4 5因此當n=k+1時不等式成立.故原不等式對一切n2,nN+均成立.1 2 3 4 55.對于一切正整數(shù)n,先猜出使tnn2成立的最小自然數(shù)t,然后用數(shù)學歸納法證明,并證明不等式n(n+1) lg(123n).解：猜想當t=3時,對一切正整數(shù)n,使3nn2成立.證明:當n=1時,31=31=12,不等式成立.假設當n=k(k1)時,3kk2成立,即3kk2+1.當n=k+1時,3k+1=33k=3k+23kk2+2(k2+1)3k2+1(k1).(3k2+1)-(k+1)2=2k2-2k=2k(k-1)0,3k+1(k+1)2.當n=k+1時不等式成立.由上知,不等式3nn2對一切正整數(shù)nN+都成立.1 2 3 4 5