課時訓練(二十五)特殊平行四邊形(二)|夯實基礎|1.xx貴陽 如圖K25-1,在菱形ABCD中,E是AC的中點,EFCB,交AB于點F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周長為()圖K25-1A.24B.18C.12D.92.xx寧夏 將一個矩形紙片按如圖K25-2所示折疊,若1=40,則2的度數(shù)是()圖K25-2A.40B.50C.60D.703.xx恩施州 如圖K25-3所示,在正方形ABCD中,G為CD邊中點,連結(jié)AG并延長交BC邊的延長線于E點,對角線BD交AG于F點,已知FG=2,則線段AE的長度為()圖K25-3A.6B.8C.10D.124.xx蘭州 在平行四邊形ABCD中,對角線AC與DB相交于點O.要使四邊形ABCD是正方形,還需添加一組條件.下面給出了四組條件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD.其中正確的序號是.5.xx上海 對于一個位置確定的圖形,如果它的所有點都在一個水平放置的矩形內(nèi)部或邊上,且該圖形與矩形的每條邊都至少有一個公共點(如圖K25-4),那么這個矩形水平方向的邊長稱為該圖形的寬,鉛垂方向的邊長稱為該圖形的高.如圖,菱形ABCD的邊長為1,邊AB水平放置.如果該菱形的高是寬的23,那么它的寬的值是.圖K25-46.如圖K25-5,AC是矩形ABCD的對角線,AB=2,BC=23,點E,F分別是線段AB,AD上的點,連結(jié)CE,CF,當BCE=ACF,且CE=CF時,AE+AF=.圖K25-57.如圖K25-6,在平行四邊形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,B=60,G是CD的中點,E是邊AD上的動點,EG的延長線與BC的延長線交于點F,連結(jié)CE,DF.(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形.(2)當AE=cm時,四邊形CEDF是矩形;當AE=cm時,四邊形CEDF是菱形.(直接寫出答案,不需要說明理由)圖K25-68.xx吉林 如圖K25-7,在ABC中,AB=AC,過AB上一點D作DEAC交BC于點E,以E為頂點,ED為一邊,作DEF=A,另一邊EF交AC于點F.(1)求證:四邊形ADEF為平行四邊形;(2)當點D為AB中點時,ADEF的形狀為;(3)延長圖中的DE到點G,使EG=DE,連結(jié)AE,AG,FG,得到圖,若AD=AG,判斷四邊形AEGF的形狀,并說明理由.圖K25-7|拓展提升|9.xx海南 如圖K25-8,分別沿長方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對角線AC,EG剪開,拼成如圖所示的KLMN,若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形,且KLMN的面積為50,則正方形EFGH的面積為()圖K25-8A.24B.25C.26D.2710.xx咸寧 如圖K25-9,已知MON=120,點A,B分別在OM,ON上,且OA=OB=a,將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OM,旋轉(zhuǎn)角為(0<<120且60),作點A關(guān)于直線OM的對稱點C,畫直線BC交OM于點D,連結(jié)AC,AD.有下列結(jié)論:圖K25-9AD=CD;ACD的大小隨著的變化而變化;當=30時,四邊形OADC為菱形;ACD的面積的最大值為3a2.其中正確的是.(把你認為正確結(jié)論的序號都填上)11.xx紹興 小敏思考解決如下問題:原題:如圖K25-10,點P,Q分別在菱形ABCD的邊BC,CD上,PAQ=B,求證:AP=AQ.(1)小敏進行探索,若將點P,Q的位置特殊化:把PAQ繞點A旋轉(zhuǎn)得到EAF,使AEBC,點E,F分別在邊BC,CD上,如圖,此時她證明了AE=AF.請你證明.(2)受以上(1)的啟發(fā),在原題中,添加輔助線:如圖,作AEBC,AFCD,垂足分別為E,F.請你繼續(xù)完成原題的證明.(3)如果在原題中添加條件:AB=4,B=60,如圖.請你編制一個計算題(不標注新的字母),并直接給出答案.圖K25-10參考答案1.A2.D解析 如下圖,易知23=1+180=220,從而3=110,又由平行線的性質(zhì),得2+3=180,進而2=70,故選D.3.D解析 正方形ABCD,G為CD邊中點,ABDG=21.ABCD,ABDG=AFFG.FG=2,AF=4.易證ADGECG,EG=AG=AF+FG=4+2=6.AE=12.故選D.4.解析 有一個角是直角的平行四邊形是矩形,有一組鄰邊相等的矩形是正方形,故正確.BD為平行四邊形的對角線,AB為平行四邊形的其中一條邊,所以AB=BD時,平行四邊形不可能是正方形,故錯誤.對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形,由OB=OC,得AC=BD,由OBOC,得ACBD,所以四邊形ABCD為正方形,故正確.鄰邊相等的平行四邊形是菱形,對角線相等的菱形是正方形.在平行四邊形ABCD中,由AB=AD,得四邊形ABCD為菱形,又AC=BD,四邊形ABCD為正方形.故正確.5.1813解析 如圖,將菱形ABCD放置在一個水平矩形AFCE中,設寬AF為a,則高CF為23a,因為菱形ABCD的邊長為1,所以BF為a-1,在RtBCF中,由勾股定理得(a-1)2+23a2=12,解得a=1813.6.433解析 如圖,作FGAC,易證BCEGCF(AAS),BE=GF,BC=CG.在RtABC中,tanACB=ABBC=223=33,ACB=30,AC=2AB=4,DAC=ACB=30.FGAC,AF=2GF,AE+AF=AE+2BE=AB+BE.設BE=x,在RtAFG中,AG=3GF=3x,AC=AG+CG=3x+23=4,解得x=433-2,AE+AF=AB+BE=2+433-2=433.7.解:(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形,CFED,FCG=EDG.G是CD的中點,CG=DG.在FCG和EDG中,FCG=EDG,CG=DG,CGF=DGE,FCGEDG(ASA),FG=EG.又CG=DG,四邊形CEDF是平行四邊形.(2)當AE=3.5 cm時,四邊形CEDF是矩形.當AE=2 cm時,四邊形CEDF是菱形.8.解:(1)證明:DEAC,DEF=EFC.DEF=A,A=EFC,EFAB,四邊形ADEF為平行四邊形.(2)菱形.理由如下:點D為AB中點,AD=12AB.DEAC,點D為AB中點,E為BC中點,DE=12AC.AB=AC,AD=DE,平行四邊形ADEF為菱形.(3)四邊形AEGF為矩形.理由:四邊形ADEF為平行四邊形,AFDE,AF=DE,AD=EF.EG=DE,AF=EG.又AFEG,四邊形AEGF是平行四邊形.AD=AG,AG=EF,四邊形AEGF為矩形.9.B解析 設長方形紙片長,寬分別為x,y,正方形紙片邊長為z.四邊形OPQR是正方形,RQ=RO,x-z=z-y,x=2z-y;KLMN的面積為50,xy+z2+(z-y)2=50,把代入,得(2z-y)y+z2+(z-y)2=50,2zy-y2+z2+z2-2yz+y2=50,整理,得2z2=50,z2=25,正方形EFGH的面積=z2=25,故選擇B.10.解析 連結(jié)OC,點A關(guān)于直線OM的對稱點是點C,由對稱性可得OA=OC,CD=AD,故正確;OA=OC,COD=AOD=,由對稱性可知OM垂直平分AC,OCA=90-.OA=OB,OA=OC,OB=OC.BOC=120-2,BCO=30+,BCA=90-+30+=120,ACD=180-120=60,故錯誤;CD=AD,ACD為等邊三角形.當=30時,AOC=60ACO為等邊三角形.OC=OA=AC,又ACD=60,AD=CD,AD=CD=AC.OA=OC=CD=AD.四邊形OADC為菱形.故正確;要使ACD的面積最大即AC要最大,當=90,A,O,C在一條直線上時,AC最大,ACD的面積的最大值為122a3a=3a2,故正確.11.解析 (1)可先求出AFC=AFD=90,然后證明AEBAFD即可;(2)先求出EAP=FAQ,再證明AEPAFQ即可;(3)可以分三個不同的層次,直接求菱形本身其他內(nèi)角的度數(shù)或邊的長度,也可求菱形的周長.可求PC+CQ,BP+QD,APC+AQC的值.可求四邊形APCQ的面積、ABP與AQD的面積和、四邊形APCQ周長的最小值等.解:(1)證明:如圖,在菱形ABCD中,B+C=180,B=D,AB=AD,EAF=B,C+EAF=180,AEC+AFC=180.AEBC,AEB=AEC=90,AFC=90,AFD=90,AEBAFD,AE=AF.(2)證明:如圖,PAQ=EAF=B,EAP=EAF-PAF=PAQ-PAF=FAQ.AEBC,AFCD,AEP=AFQ=90.AE=AF,AEPAFQ,AP=AQ.(3)答案不唯一,舉例如下:層次1:求D的度數(shù).答案:D=60.分別求BAD,BCD的度數(shù).答案:BAD=BCD=120.求菱形ABCD的周長.答案:16.分別求BC,CD,AD的長.答案:4,4,4.層次2:求PC+CQ的值.答案:4.求BP+QD的值.答案:4.求APC+AQC的值.答案:180.層次3:求四邊形APCQ的面積.答案:43.求ABP與AQD的面積和.答案:43.求四邊形APCQ周長的最小值.答案:4+43.