1.2整式過(guò)關(guān)演練(20分鐘55分)1.(xx湖北荊州)下列代數(shù)式中,整式為(A)A.x+1B.1x+1C.x2+1D.x+1x【解析】x+1是整式,故A正確;1x+1是分式,故B錯(cuò)誤;x2+1是二次根式,故C錯(cuò)誤;x+1x是分式,故D錯(cuò)誤.2.(xx廣西貴港)下列運(yùn)算正確的是(D)A.2a-a=1B.2a+b=2abC.(a4)3=a7D.(-a)2(-a)3=-a5【解析】2a-a=a,故A錯(cuò)誤;2a與b不是同類項(xiàng),不能合并,故B錯(cuò)誤;(a4)3=a12,故C錯(cuò)誤;(-a)2(-a)3=-a5,故D正確.3.(xx武漢)計(jì)算(a-2)(a+3)的結(jié)果是(B)A.a2-6B.a2+a-6C.a2+6D.a2-a+6【解析】(a-2)(a+3)=a2+a-6.4.(xx山東淄博)若單項(xiàng)式am-1b2與12a2bn的和仍是單項(xiàng)式,則nm的值是(C)A.3B.6C.8D.9【解析】單項(xiàng)式am-1b2與12a2bn的和仍是單項(xiàng)式,單項(xiàng)式am-1b2與12a2bn是同類項(xiàng),m-1=2,n=2,m=3,n=2,nm=8.5.如圖,邊長(zhǎng)為a的正方形中陰影部分的面積為(A)A.a2-a22B.a2-a2C.a2-aD.a2-2a【解析】由圖可得陰影部分的面積為a2-a22.6.(xx四川綿陽(yáng))將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:13 57 9 11131517192123252729按照以上排列的規(guī)律,第25行第20個(gè)數(shù)是(A)A.639B.637C.635D.633【解析】根據(jù)三角形數(shù)陣可知,第n行奇數(shù)的個(gè)數(shù)為n,則前n-1行奇數(shù)的總個(gè)數(shù)為1+2+3+(n-1)=n(n-1)2,則第n(n3)行從左向右的第m個(gè)數(shù)為第n(n-1)2+m個(gè)奇數(shù),即1+2n(n-1)2+m-1=n2-n+2m-1,當(dāng)n=25,m=20時(shí),這個(gè)數(shù)為639.7.如圖,將形狀、大小完全相同的“”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形,第1幅圖形中“”的個(gè)數(shù)為a1,第2幅圖形中“”的個(gè)數(shù)為a2,第3幅圖形中“”的個(gè)數(shù)為a3,以此類推,則1a1+1a2+1a3+1a19的值為(C)A.2021B.6184C.589840D.431760【解析】a1=3=13,a2=8=24,a3=15=35,a4=24=46,an=n(n+2).1a1+1a2+1a3+1a19=113+124+135+11921=121-13+12-14+13-15+119-121=121+12-120-121=589840.8.(xx湖北黃岡)若a-1a=6,則a2+1a2值為8.【解析】a-1a=6,a-1a2=6,a2-2+1a2=6,a2+1a2=8.9.(xx黑龍江大慶)若2x=5,2y=3,則22x+y=75.【解析】2x=5,2y=3,22x+y=(2x)22y=523=75.10.(xx山東臨沂)已知m+n=mn,則(m-1)(n-1)=1.【解析】(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1,m+n=mn,(m-1)(n-1)=mn-mn+1=1.11.(12分)張老師在黑板上寫了三個(gè)算式,希望同學(xué)們認(rèn)真觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律.請(qǐng)你結(jié)合這些算式,解答下列問(wèn)題:(1)驗(yàn)證規(guī)律:設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n+1,2n-1(其中n為正整數(shù)),則它們的平方差是8的倍數(shù).(2)拓展延伸:“兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是8的倍數(shù)”,這個(gè)結(jié)論正確嗎?若正確,請(qǐng)證明;不正確,請(qǐng)舉反例.請(qǐng)觀察以下算試:32-12=8152-32=8272-52=83解:(1)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)(2n+1+2n-1)=24n=8n,故兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).(2)不正確.反例:42-22=12,因?yàn)?2不是8的倍數(shù),故這個(gè)結(jié)論不正確.名師預(yù)測(cè)1.下列運(yùn)算正確的是(A)A.(a2)m=a2mB.(2a)3=2a3C.a3a-5=a-15D.a3a-5=a-2【解析】(a2)m=a2m,A正確;(2a)3=23a3=8a3,B錯(cuò)誤;a3a-5=a3+(-5)=a-2,C錯(cuò)誤;a3a-5=a3-(-5)=a8,D錯(cuò)誤.2.下列多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解的是(B)A.x3+2xB.a2+b2C.y2+y+14D.m2-4n2【解析】x3+2x=x(x2+2),A能因式分解;a2+b2無(wú)法分解因式,故B正確;y2+y+14=y+122,C能因式分解;m2-4n2=(m+2n)(m-2n),D能因式分解.3.一列自然數(shù)0,1,2,3,100.依次將該列數(shù)中的每一個(gè)數(shù)平方后除以100,得到一列新數(shù).則下列結(jié)論正確的是(D)A.原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差不可能等于零B.原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差,隨著原數(shù)的增大而增大C.當(dāng)原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差等于21時(shí),原數(shù)等于30D.當(dāng)原數(shù)取50時(shí),原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差最大【解析】設(shè)原數(shù)為a,則新數(shù)為1100a2,設(shè)新數(shù)與原數(shù)的差為y,則y=a-1100a2=-1100a2+a,當(dāng)a=0時(shí),y=0,A錯(cuò)誤;-1100<0,當(dāng)a=-b2a=-12-1100=50時(shí),y有最大值,B錯(cuò)誤,D正確;當(dāng)y=21時(shí),-1100a2+a=21,解得a1=30,a2=70,C錯(cuò)誤.4.下列圖形都是由完全相同的小梯形按一定規(guī)律組成的.如果第1個(gè)圖形的周長(zhǎng)為5,那么第2個(gè)圖形的周長(zhǎng)為8,第xx個(gè)圖形的周長(zhǎng)為6056.【解析】第1個(gè)圖形的周長(zhǎng)為2+3=5,第2個(gè)圖形的周長(zhǎng)為2+32=8,第3個(gè)圖形的周長(zhǎng)為2+33=11,第xx個(gè)圖形的周長(zhǎng)為2+3xx=6056.5.先化簡(jiǎn),再求值:2x2-3-13x2+23xy-2y2-2(x2-xy+2y2),其中x=12,y=-1.解:2x2-3-13x2+23xy-2y2-2(x2-xy+2y2)=2x2-(-x2+2xy-2y2)-(2x2-2xy+4y2)=2x2+x2-2xy+2y2-2x2+2xy-4y2=x2-2y2,當(dāng)x=12,y=-1時(shí),原式=-74.6.用四塊完全相同的小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形.(1)用不同代數(shù)式表示圖中的陰影部分的面積,你能得到怎樣的等式?試用乘法公式說(shuō)明這個(gè)等式成立;(2)利用(1)中的結(jié)論計(jì)算:已知a+b=2,ab=34,求a2b-ab2;(3)根據(jù)(1)中的結(jié)論:若x2-3x+1=0,分別求出x-1x和x4+1x4的值.解:(1)陰影部分的面積:4ab或(a+b)2-(a-b)2,得到等式:4ab=(a+b)2-(a-b)2,說(shuō)明:(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab.(2)當(dāng)a+b=2,ab=34時(shí),(a-b)2=(a+b)2-4ab=22-434=4-3=1,a-b=1.a2b-ab2=ab(a-b)=34(1)=34.(3)當(dāng)x=0時(shí),x2-3x+1=10,x2-3x+1=0中x0,則兩邊都除以x,得x-3+1x=0,即x+1x=3,x-1x2=x+1x2-4=9-4=5,則x-1x=5,x4+1x4=x2+1x22-2=x+1x2-22-2=(32-2)2-2=49-2=47.7.在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代,密碼與我們的生活已經(jīng)緊密相連,密不可分.而諸如“123456”、生日等簡(jiǎn)單密碼又容易被破解,因此利用簡(jiǎn)單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要了.有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼,方便記憶,其原理是將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式,如多項(xiàng)式x3+2x2-x-2因式分解的結(jié)果為(x-1)(x+1)(x+2),當(dāng)x=18時(shí),x-1=17,x+1=19,x+2=20,此時(shí)可以得到數(shù)字密碼171920.(1)根據(jù)上述方法,當(dāng)x=21,y=7時(shí),對(duì)于多項(xiàng)式x3-xy2分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼?(寫出三個(gè))(2)若一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是24,斜邊長(zhǎng)為10,其中兩條直角邊分別為x,y,求出一個(gè)由多項(xiàng)式x3y+xy3分解因式后得到的密碼.(只需一個(gè)即可)(3)若多項(xiàng)式x3+(m-3n)x2-nx-21因式分解后,利用本題的方法,當(dāng)x=27時(shí)可以得到其中一個(gè)密碼為242834,求m,n的值.解:(1)x3-xy2=x(x-y)(x+y),當(dāng)x=21,y=7時(shí),x-y=14,x+y=28,可得數(shù)字密碼211428,212814,142128.(答案不唯一)(2)由題意得x+y=14,x2+y2=100,解得xy=48,而x3y+xy3=xy(x2+y2),所以可得數(shù)字密碼為48100.(2)由題意得x3+(m-3n)x2-nx-21=(x-3)(x+1)(x+7),(x-3)(x+1)(x+7)=x3+5x2-17x-21,x3+(m-3n)x2-nx-21=x3+5x2-17x-21,m-3n=5,n=17,解得m=56,n=17.故m,n的值分別是56,17.