1985年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分36分，每小題答對得6分答錯得0分，不答得1分) 假定有兩個命題： 甲：a是大于0的實數(shù)；乙：a>b且a1>b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要條件 B甲是乙的必要而不充分條件 C甲是乙的充分必要條件 D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 PQ為經(jīng)過拋物線y2=2px焦點的任一弦，MN為PQ在準線l上的射影，PQ繞l一周所得的旋轉面面積為S1，以MN為直徑的球面積為S2，則下面結論中，正確的是( ) AS1>S2 BS1<S2 CS1S2 D有時S1>S2，有時S1=S2，有時S1<S2 已知方程arccosarccos()=arcsinx，則( ) Ax= Bx= Cx=0 D這樣的x不存在 在下面四個圖形中，已知有一個是方程mx+ny2=0與mx2+ny2=1(m0，n0)在同一坐標系中的示意圖，它應是( ) 設Z、W、為復數(shù)，|1，關于Z的方程Z=W有下面四個結論：Z=是這個方程的解； 這個方程只有一解；這個方程有兩解； 這個方程有無窮多解則( ) A只有、正確 B只有、正確 C只有、正確 D以上A、B、C都不正確 設0<a<1，若x1=a，x2=a，x3=a，xn=a，則數(shù)列xn( ) A是遞增的 B是遞減的 C奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減 D偶數(shù)項遞增，奇數(shù)項遞減 二填空題(本題滿分24分，每小題6分) 在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若角A、B、C的大小成等比數(shù)列，且b2a2=ac，則角B的弧度為等于 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非負整數(shù)解共有 組 在已知數(shù)列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干個數(shù)之和能被11整除的數(shù)組共有 對任意實數(shù)x，y，定義運算x*y為x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c為常數(shù)，等式右端中的運算是通常的實數(shù)加法、乘法運算現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個非零實數(shù)d，使得對于任意實數(shù)都有x*d=x，則d= 第二試(本試共有4題，每題滿分15分)1在直角坐標系xoy中，點A(x1，y1)和點B(x2，y2)的坐標均為一位的正整數(shù)OA與x軸正方向的夾角大于45°，OB與x軸正方向的夾角小于45°，B在x軸上的射影為B¢，A在y軸上的射影為A¢，OBB¢的面積比OAA¢的面積大33.5，由x1，y1，x2，y2組成的四位數(shù)=x1103+x2102+y210+y1試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程2如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC中點，F(xiàn)在AA1上，且A1FFA=12求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角3某足球邀請賽有十六個城市參加，每市派出甲、乙兩個隊，根據(jù)比賽規(guī)則，比賽若干天后進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)除A市甲隊外，其它各隊已比賽過的場數(shù)各不相同問A市乙隊已賽過多少場？請證明你的結論4平面上任給5個點，以表示這些點間最大的距離與最小的距離之比，證明：2sin54° 1985年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分36分，每小題答對得6分答錯得0分，不答得1分) 假定有兩個命題： 甲：a是大于0的實數(shù)；乙：a>b且a1>b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要條件 B甲是乙的必要而不充分條件 C甲是乙的充分必要條件 D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解：由于a>b且a1>b1成立時，必有a>0，b<0故由乙可得甲，故選B PQ為經(jīng)過拋物線y2=2px焦點的任一弦，MN為PQ在準線l上的射影，PQ繞l一周所得的旋轉面面積為S1，以MN為直徑的球面積為S2，則下面結論中，正確的是( ) AS1>S2 BS1<S2 CS1S2 D有時S1>S2，有時S1=S2，有時S1<S2解：設PQ與x軸夾角=，|PF|=1，|QF|=2，則|PM|=1，|QN|=2則S1=(PM+QN)PQ=(1+2)2，S2=|MN|2=(1+2)2sin2 S1S2，當且僅當=90°時等號成立選C 已知方程arccosarccos()=arcsinx，則( ) Ax= Bx= Cx=0 D這樣的x不存在 解：即arcsinx=2 arccos設arccos=，則cos=，sin= sin2=2sincos=即2為銳角2<故選D 在下面四個圖形中，已知有一個是方程與 (m0，n0)在同一坐標系中的示意圖，它應是( )解：由y2=x，若m、n均為正數(shù)，則此拋物線開口向左，且mx2+ny2=1表示橢圓，m<n，|<1此時拋物線與直線y=x的交點橫坐標應>1故否定B、D 若m、n符號相反，則拋物線開口向右且mx+ny2=0圖形是雙曲線，m<0，n>0，m=n故選A 設Z、W、為復數(shù)，|1，關于Z的方程Z=W有下面四個結論：Z=是這個方程的解； 這個方程只有一解；這個方程有兩解； 這個方程有無窮多解則( ) A只有、正確 B只有、正確 C只有、正確 D以上A、B、C都不正確 解：原式兩端取共軛：Z=，乘以再取共軛：|l|2Z=W，相加，由|l|1，得方程有唯一解Z=選A 設0<a<1，若x1=a，x2=a，x3=a，xn=a，則數(shù)列xn( ) A是遞增的 B是遞減的 C奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減 D偶數(shù)項遞增，奇數(shù)項遞減 解：作y=ax的圖象，在圖象上取點x1，x2，x3，x4，由0<a<1，知x1<x3<x2，即A、B錯，C正確選C二填空題(本題滿分24分，每小題6分) 在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若角A、B、C的大小成等比數(shù)列，且b2a2=ac，則角B的弧度為等于 解：由余弦定理，b2a2=c22accosB故ac=c22accosB即a=c2acosBÞsinA=sin(A+B)2sinAcosB.=sin(BA) 由b>a，得B>AÞA=BA，ÞB=2A，C=4A或A+BA=(不可能) B= 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非負整數(shù)解共有 組解：x1=1時，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1，共有9解；x1=0時，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3，共有9+A+C=9+72+84=165解 共有174解 在已知數(shù)列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干個數(shù)之和能被11整除的數(shù)組共有 解：把這些數(shù)mod 11得1，4，3，1，5，3，1，3，3，1依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1其中相等的和有7對(3對1，3對2，1對5)，這表示原數(shù)列中共有7組相鄰數(shù)之和能被11整除 對任意實數(shù)x，y，定義運算x*y為x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c為常數(shù)，等式右端中的運算是通常的實數(shù)加法、乘法運算現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個非零實數(shù)d，使得對于任意實數(shù)都有x*d=x，則d= 解：ax+bd+cxd=x取x=0，代入得，bd=0，但d0，故b=0a+2b+2c=3，2a+3b+6c=4Þa=5，c=1取x=1代入，得d=4經(jīng)驗算：x*y=5xxy，對于一切x，有x*4=5x4x=x成立故d=4第二試(本試共有4題，每題滿分15分)1在直角坐標系xoy中，點A(x1，y1)和點B(x2，y2)的坐標均為一位的正整數(shù)OA與x軸正方向的夾角大于45°，OB與x軸正方向的夾角小于45°，B在x軸上的射影為B¢，A在y軸上的射影為A¢，OBB¢的面積比OAA¢的面積大33.5，由x1，y1，x2，y2組成的四位數(shù)=x1103+x2102+y210+y1試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程解：x2y2x1y1=67x1<y1，x2>y2且x1，y1，x2，y2都是不超過10的正整數(shù) x2y2>67，Þ x2y2=72或81但x2>y2，故x2y2=91舍去 x2y2=72x2=9，y2=8 x1y1=7267=5Þx1=1，y1=5， =19852如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC中點，F(xiàn)在AA1上，且A1FFA=12求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角解：設AB=1，則BE=，A1F=，故B1E=，B1F=，EF= S=·=而B1EF在平面A1C1上的射影面積= cos=，即所求角=arc cos又解：設平面B1EF與平面AD1交于FG，(G在AD上)，則由平面AD1平面BC1，得FGB1E于是，延長GF、D1A1交于P，則P為截面與平面A1C1的公共點，故PB1為所求二面角的棱AG=A1H=，A1P=，PB1=作GHA1D1于H，則GH平面A1C1作HKPB1，連GK則GKH為所求二面角的平面角 HKPB1=A1B1HP HK=，tanGKH=即所求角=arc tan3某足球邀請賽有十六個城市參加，每市派出甲、乙兩個隊，根據(jù)比賽規(guī)則，比賽若干天后進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)除A市甲隊外，其它各隊已比賽過的場數(shù)各不相同問A市乙隊已賽過多少場？請證明你的結論證明：用32個點表示這32個隊，如果某兩隊比賽了一場，則在表示這兩個隊的點間連一條線否則就不連線由于，這些隊比賽場次最多30場，最少0場，共有31種情況，現(xiàn)除A城甲隊外還有31個隊，這31個隊比賽場次互不相同，故這31個隊比賽的場次恰好從0到30都有就在表示每個隊的點旁注上這隊的比賽場次考慮比賽場次為30的隊，這個隊除自己與同城的隊外，與不同城有隊都進行了比賽，于是，它只可能與比賽0場的隊同城；再考慮比賽29場的隊，這個隊除與同城隊及比賽0場、1場(只賽1場的隊已經(jīng)與比賽30場的隊賽過1場，故不再與其它隊比賽)的隊不比賽外，與其余各隊都比賽，故它與比賽1場的隊同城；依次類推，知比賽k場的隊與比賽30k場的隊同城，這樣，把各城都配對后，只有比賽15場的隊沒有與其余的隊同城，故比賽15場的隊就是A城乙隊即A城乙隊比賽了15場4平面上任給5個點，以表示這些點間最大的距離與最小的距離之比，證明：2sin54° 證明 若此五點中有三點共線，例如A、B、C三點共線，不妨設B在A、C之間，則AB與BC必有一較大者不妨設ABBC則2>2sin54° 設此五點中無三點共線的情況 若此五點的凸包為正五邊形則其五個內(nèi)角都=108°五點的連線只有兩種長度：正五邊形的邊長與對角線，而此對角線與邊長之比為2sin54° 若此五點的凸包為凸五邊形則其五個內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角108°設EAB108°，且EAAB，則AEB36°，= =2cosE2cos36°=2sin54° 若此五點的凸包為凸四邊形ABCD，點E在其內(nèi)部，連AC，設點E在ABC內(nèi)部，則AEB、BEC、CEA中至少有一個角120°>108°，由上證可知，結論成立 若此五點的凸包為三角形ABC，則形內(nèi)有兩點D、E，則ADB、BDC、CDA中必有一個角120°，結論成立綜上可知，結論成立