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課時(shí)訓(xùn)練(十八)　等腰三角形　 |夯實(shí)基礎(chǔ)| 1.[xx臺(tái)州] 如圖K18-1,已知等腰三角形ABC,若以點(diǎn)B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是(　　) 圖K18-1 A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE 2.[xx包頭] 若等腰三角形的周長為10 cm,其中一邊長為2 cm,則該等腰三角形的底邊長為 (　　) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 3.如圖K18-2,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長是 (　　) 圖K18-2 A.3 B.4 C.6 D.5 4.[xx河池] 如圖K18-3,已知等邊三角形ABC的邊長為12,D是AB上的動(dòng)點(diǎn),過D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過E作EF⊥BC于點(diǎn)F,過F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí),AD的長是 (　　) 圖K18-3 A.3 B.4 C.8 D.9 5.如圖K18-4,P是∠AOB外的一點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上,點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在MN的延長線上.若PM=2.5 cm,PN=3 cm,MN=4 cm,則線段QR的長為(　　) 圖K18-4 A.4.5 cm B.5.5 cm C.6.5 cm D.7 cm 6.[xx麗水] 等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100,則頂角的度數(shù)是　　　　. 7.如圖K18-5,在Rt△ABC中,D,E為斜邊AB上的兩個(gè)點(diǎn),且BD=BC,AE=AC,則∠DCE的大小為　　　　. 圖K18-5 8.[xx揚(yáng)州] 如圖K18-6,把等邊三角形ABC沿著DE折疊,使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)P處,且DP⊥BC,若BP= 4 cm,則EC=　　　　cm. 圖K18-6 9. [xx南充] 如圖K18-7,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,∠B=70,∠FAE=19,則 ∠C=　　　　度. 圖K18-7 10.[xx淄博] 在邊長為4的等邊三角形ABC中,D為BC邊上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)D分別作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,則DE+DF=　　　　. 11.如圖K18-8,點(diǎn)B,D在射線AM上,點(diǎn)C,E在射線AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84,求∠A的度數(shù). 圖K18-8 12.如圖K18-9,在△ABC中,CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,BE與CD相交于點(diǎn)O,且OB=OC. (1)求證:△ABC為等腰三角形; (2)試猜想:直線OA與線段BC的位置關(guān)系,并加以證明. 圖K18-9 |拓展提升| 13.在凸四邊形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90,AC把四邊形ABCD分成兩個(gè)等腰三角形,則∠ABC的度數(shù)為　　　　. 14.[xx紹興] 數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題: 例1　等腰三角形ABC中,∠A=110,求∠B的度數(shù).(答案:35) 例2　等腰三角形ABC中,∠A=40,求∠B的度數(shù).(答案:40或70或100) 張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題: 變式　等腰三角形ABC中,∠A=80,求∠B的度數(shù). (1)請(qǐng)你解答以上的變式題. (2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x,當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí),請(qǐng)你探索x的取值范圍.  參考答案 1. C　[解析] ∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC, 因此選C. 2.A　[解析] 考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系.(1)若底邊長為2 cm,則腰長為(10-2)2=4(cm),4+2>4,符合三角形三邊關(guān)系,所以該等腰三角形的底邊長為2 cm;(2)若腰長為2 cm,則底邊長為10-22=6(cm),2+2<6,不符合三角形三邊關(guān)系,所以舍去. 3.A 4.C　[解析] 由題易知△DEF為等邊三角形,設(shè)AE=x,則AD=2x,可得DE=DF=3x,BD=x,由x+2x=12,解得x=4, ∴AD=2x=8. 5.A 6.100　[解析] 根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180,又等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100,得這個(gè)100的內(nèi)角只可能是頂角,故填100. 7.45 8.(2+23)　[解析] 根據(jù)“30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可求得BD=8 cm,再由勾股定理求得DP=43 cm.根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到∠DPE=∠A=60,DP=DA=43 cm,易得∠EPC=30,∠PEC=90,所以EC=12PC=12(8+43-4)=2+23(cm). 9.24　[解析] 設(shè)∠C的度數(shù)為x, ∵DE垂直平分AC,∴EA=EC,∴∠EAC=∠C=x. ∵∠FAE=19, ∴∠AFB=∠FAC+∠C=(x+19)+x=2x+19. ∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠FAC=x+19, ∵∠BAF+∠AFB+∠B=180, ∴70+(2x+19)+(x+19)=180, 解得x=24.故答案為24. 10.23　[解析] 如圖,過點(diǎn)C作CG⊥AB,垂足為G,連結(jié)AD,則AG=BG=2, ∴CG=AC2-AG2=42-22=23. ∵S△ABD+S△ACD=S△ABC, ∴12ABDE+12ACDF=12ABCG, ∴124DE+124DF=124CG, ∴DE+DF=CG=23. 11.解:∵AB=BC=CD=DE, ∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED. 根據(jù)三角形外角的性質(zhì),∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM, ∴∠CED=3∠A. 又∵∠EDM=84, ∴∠A+3∠A=84, ∴∠A=21. 12.解:(1)證明:∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB,即∠EBC=∠DCB. 又∵CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E, ∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, ∴△ABC為等腰三角形. (2)OA⊥BC.證明如下: 連結(jié)AO,并延長交BC于點(diǎn)F. ∵AB=AC, ∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上. ∵OB=OC, ∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上, ∴OA垂直平分BC,即OA⊥BC. 13.60或90或150　[解析] 顯然等腰三角形ABC的兩腰是AB,BC,只需討論△ACD中哪兩邊相等即可.①當(dāng)AC=AD時(shí),AB=BC=AD=AC,∴△ABC是正三角形,即∠ABC=60;②當(dāng)CD=AD時(shí),AB=BC=AD=CD,∴四邊形ABCD是菱形,而 ∠BAD=90,∴四邊形ABCD是正方形,即∠ABC=90;③當(dāng)AC=CD時(shí),過點(diǎn)C分別作CE⊥AB于點(diǎn)E,CF⊥AD于點(diǎn)F,則四邊形CEAF是矩形,CE=AF=12AD=12BC, ∴∠ABC=30(此時(shí),∠BAC=∠ACB=75,∠CDA=∠CAD=15,故∠BCD=360-30-90-15>180,舍去)或∠ABC=150. 14.解:(1)當(dāng)∠A為頂角時(shí),∠B=50, 當(dāng)∠A為底角時(shí),若∠B為頂角,則∠B=20, 若∠B為底角,則∠B=80, ∴∠B=50或20或80. (2)分兩種情況: ①當(dāng)90≤x<180時(shí),∠A只能為頂角, ∴∠B的度數(shù)只有一個(gè). ②當(dāng)0

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