第四章 微分法 積分法 互逆運算 不定積分 1 二 基本積分表 三 不定積分的性質 一 原函數(shù)與不定積分的概念 第一節(jié) 機動目錄上頁下頁返回結束 不定積分的概念與性質 2 一 原函數(shù)與不定積分的概念 機動目錄上頁下頁返回結束 3 機動目錄上頁下頁返回結束 問題 1 在什么條件下 一個函數(shù)的原函數(shù)存在 2 若原函數(shù)存在 它如何表示 4 定理 存在原函數(shù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù) 機動目錄上頁下頁返回結束 5 定理 原函數(shù)都在函數(shù)族 C為任意常數(shù) 內 機動目錄上頁下頁返回結束 6 不定積分的幾何意義 的原函數(shù)的圖形稱為 的圖形 的所有積分曲線組成 的平行曲線族 機動目錄上頁下頁返回結束 的積分曲線 7 例1 設曲線通過點 1 2 且其上任一點處的切線 斜率等于該點橫坐標的兩倍 求此曲線的方程 解 所求曲線過點 1 2 故有 因此所求曲線為 機動目錄上頁下頁返回結束 8 第二節(jié) 不定積分的概念與性質 9 二 基本積分表p170 171 從不定積分定義可知 或 或 機動目錄上頁下頁返回結束 10 例2 求 例3 求 機動目錄上頁下頁返回結束 11 三 不定積分的性質 機動目錄上頁下頁返回結束 12 例4 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 13 例5 求 解 原式 例6 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 14 例7 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 15 內容小結 1 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質 基本積分表 2 直接積分法 利用恒等變形 及基本積分公式進行積分 常用恒等變形方法 分項積分 加項減項 利用三角公式 代數(shù)公式 積分性質 機動目錄上頁下頁返回結束 16 思考與練習 1 若 提示 機動目錄上頁下頁返回結束 17 2 若 是 的原函數(shù) 則 提示 已知 機動目錄上頁下頁返回結束 18 3 若 的導函數(shù)為 則 的一個原函數(shù) 是 提示 已知 求 即 B 或由題意 其原函數(shù)為 機動目錄上頁下頁返回結束 19 4 求下列積分 提示 機動目錄上頁下頁返回結束 20 5 求不定積分 解 機動目錄上頁下頁返回結束 21 6 已知 求A B 解 等式兩邊對x求導 得 機動目錄上頁下頁返回結束 22 二 第二類換元法 第三節(jié) 一 第一類換元法 機動目錄上頁下頁返回結束 換元積分法 第四章 23 第二類換元法 第一類換元法 基本思路 機動目錄上頁下頁返回結束 設 可導 則有 24 一 第一類換元法 機動目錄上頁下頁返回結束 25 例1 求 解 令 則 故 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 26 例2 求 解 令 則 機動目錄上頁下頁返回結束 27 例3 求 解 機動目錄上頁下頁返回結束 28 例4 求 解 機動目錄上頁下頁返回結束 類似 29 例5 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 30 31 例6 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 32 例7 求 解 原式 例8 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 33 例9 求 解法1 解法2 兩法結果一樣 機動目錄上頁下頁返回結束 34 例10 求 機動目錄上頁下頁返回結束 35 例11 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 36 例12 求 解 機動目錄上頁下頁返回結束 37 例13 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 38 例14 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 分析 39 1 求 提示 法1 法2 法3 作業(yè)目錄上頁下頁返回結束 思考與練習 40 二 第二類換元法 機動目錄上頁下頁返回結束 第一類換元法解決的問題 難求 易求 若所求積分 易求 則得第二類換元積分法 難求 41 定理2 設 是單調可導函數(shù) 且 具有原函數(shù) 機動目錄上頁下頁返回結束 則有換元公式 42 例16 求 解 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 43 例17 求 解 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 44 例18 求 解 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 45 令 于是 機動目錄上頁下頁返回結束 46 原式 例19 求 解 令 則 原式 當x 0時 類似可得同樣結果 機動目錄上頁下頁返回結束 47 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 例20 求 48 例21 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 49 例22 求 解 令 得 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 50 思考與練習 下列積分應如何換元才使積分簡便 令 令 令 機動目錄上頁下頁返回結束 51 第三節(jié) 由導數(shù)公式 積分得 分部積分公式 或 機動目錄上頁下頁返回結束 分部積分法 第四章 52 例1 求 解 令 則 原式 思考 如何求 提示 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 53 例2 求 解 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 54 例3 求 解 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 55 例4 求 解 令 則 原式 再令 則 故原式 機動目錄上頁下頁返回結束 56 解題技巧 把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 按 反對冪指三 的 順序 前者為后者為 例5 求 解 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 反 反三角函數(shù)對 對數(shù)函數(shù)冪 冪函數(shù)指 指數(shù)函數(shù)三 三角函數(shù) 57 例6 求 解 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 令 58 例7 已知 的一個原函數(shù)是 求 解 說明 此題若先求出 再求積分反而復雜 機動目錄上頁下頁返回結束 59 60 思考與練習 下述運算錯在哪里 應如何改正 得0 1 答 不定積分是原函數(shù)族 相減不應為0 求此積分的正確作法是用換元法 機動目錄上頁下頁返回結束 61 第四節(jié) 機動目錄上頁下頁返回結束 有理函數(shù)的積分 第四章 62 一 有理函數(shù)的積分 有理函數(shù) 時 為假分式 時 為真分式 有理函數(shù) 多項式 真分式 分解 其中部分分式的形式為 若干部分分式之和 機動目錄上頁下頁返回結束 63 例1 將下列真分式分解為部分分式 解 1 用拼湊法 機動目錄上頁下頁返回結束 64 2 用賦值法 故 機動目錄上頁下頁返回結束 65 3 混合法 機動目錄上頁下頁返回結束 原式 66 四種典型部分分式的積分 機動目錄上頁下頁返回結束 變分子為 再分項積分 67 例2 求 解 已知 例1 3 目錄上頁下頁返回結束 68 例3 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 69 例4 求 解 機動目錄上頁下頁返回結束 說明 將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分雖可行 但不一定簡便 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結構尋求 簡便的方法 70 例5 求 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 71 二 簡單無理函數(shù)的積分 被積函數(shù)為簡單根式的有理式 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分 例如 機動目錄上頁下頁返回結束 72 例6 求 解 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 73 例7 求 解 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 取根指數(shù)2 3的 最小公倍數(shù)6 則有 原式 令 機動目錄上頁下頁返回結束 74 例8 求 解 令 則 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 75 作業(yè)P218 4 12 2 4 6 8 9 10 34 4 21 1 2 4 6 7 9 12 15 16 18 45 4 31 3 5 7 9 11 4 41 3 5 7 9 11 4 51 2 3 4 76