專題 轉(zhuǎn)化與化歸思想【思想方法詮釋】數(shù)學(xué)問題的解答離不開轉(zhuǎn)化與化歸，它既是一種數(shù)學(xué)思想，又是一種數(shù)學(xué)能力，是高考重點(diǎn)考查的最重要的思想方法在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，它無個(gè)不在，比如：處理立體幾何問題時(shí)，將空間問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上解決；在解析幾何中，通過建立坐標(biāo)系將幾何問題化歸為代數(shù)問題；復(fù)數(shù)問題化歸為實(shí)數(shù)問題等1轉(zhuǎn)化與化歸的原則（1）目標(biāo)簡單化原則：將復(fù)雜的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化（2）和諧統(tǒng)一性原則：即化歸應(yīng)朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形關(guān)系上趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行，使問題的條件和結(jié)論更均勻和恰當(dāng)（3）具體化原則：即化歸言論自由應(yīng)由抽象到具體（4）低層次原則：即將高維空間問題化歸成低維空間問題（5）正難則反原則：即當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解2轉(zhuǎn)化與化歸常用到的方法（1）直接轉(zhuǎn)化法：把問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題（2）換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑（4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題（5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑（6）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化途徑（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題（8）等價(jià)問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的（9）加強(qiáng)命題法：在證明不等式時(shí)，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即命題的結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較易證明的命題，比如在證明不等式時(shí)：原命題往往難以得證，這時(shí)常把結(jié)論加強(qiáng)，使之成為原命題的充分條件，從而易證（10）補(bǔ)集法：如果下面解決原問題有困難，可把原問題結(jié)果看作集合A，而包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補(bǔ)集使原問題得以解決【核心要點(diǎn)突破】要點(diǎn)考向1：函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化例1：已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx或函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思路精析：單調(diào)增函數(shù)不等式恒成立分離參數(shù)求函數(shù)最值實(shí)數(shù)a的范圍解析：f(x)在區(qū)間(0，1上為單調(diào)增函數(shù)f(x)0在(0，1上恒成立亦即：a-(2x2+2x) 在(0，1上恒成立，又在(0，1上為單調(diào)遞減，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，1上為單調(diào)增函數(shù)注：函數(shù)與方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程，不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍要點(diǎn)考向2：正面與反面的轉(zhuǎn)化例2：有9張卡片分別寫著數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次從中抽取一張卡片（不放回），試求：（1）甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率（2）甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率思路精析：（1）甲、乙二人依次各抽一張的可能結(jié)果甲抽到含奇數(shù)，乙抽到含偶數(shù)數(shù)字卡片的結(jié)果求概率（2）找對立事件求對立事件概率求出原事件概率解答：（1）甲、乙二人依次從九張卡片中各抽取一張的可能結(jié)果有，甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的結(jié)果有種，設(shè)甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率為P1，則（2）設(shè)甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字的概率為P2，甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的對立事件為兩人均抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片設(shè)為，則注：一般地，一個(gè)題目若出現(xiàn)多種成立的情況，則不成立的情況一般較少，宜從反而考慮，多使用于“至多”“至少”這種情形要點(diǎn)考向3：命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化例3：已知f(x)為定義在實(shí)數(shù)R上的奇函數(shù)，且f(x)在0,+)上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使 對所有的均成立？若存在，求出所有適合條件的實(shí)數(shù)m；若不存在，請說明理由思路精析：由奇偶性及單調(diào)性f(x)單調(diào)性關(guān)于的不等式一元二次不等式恒成立函數(shù)最值m的范圍解析：由f(x)是R上的奇函數(shù)可得f(0)=0又在0,+)上是增函數(shù)，故f(x)在R上為增函數(shù)由題設(shè)條件可得又由f(x)為奇函數(shù)，可得f(x)在R上為增函數(shù)，即令于是問題轉(zhuǎn)化為對一切0t1,不等式t2-mt+2m-20恒成立又存在實(shí)數(shù)m滿足題設(shè)的條件，注：根據(jù)問題的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化命題，使原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)，易于解決的新問題，是我們解決數(shù)學(xué)問題的常用思路，常見的有：（1）在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉(zhuǎn)化與化歸將復(fù)雜的三角問題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式化的“三用”（順用、逆用、變形用）、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化等（2）換元法：是將一個(gè)復(fù)雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要方法（3）在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時(shí)，常將平面向量語言與三角函數(shù)，平面幾何、解析幾何語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化（4）在解決數(shù)列問題時(shí)，常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解（5）在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)，常將函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、切線問題，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f(x)構(gòu)成的方程、不等問題求解（6）在解決解析幾何、立體幾何問題時(shí)，常常在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化（7）實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化【跟蹤模擬訓(xùn)練】一、選擇題（每小題6分，共36分）1若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則 （ ）ABCD22已知是定義在上的增函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，若滿足，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）A B C D3已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是( ) (A) (B) (C) (D)4將一個(gè)正方體截去四個(gè)角得到一個(gè)四面體BDA1C1，這個(gè)四面體的體積是正方體體積的 （ ）5.對于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q，如果點(diǎn)P（a，0）滿足|PQ|a|,則a的取值范圍是（ ）(A)（-,0) (B)(-,2 (C)0,2 (D)(0,2)6設(shè)分別為具有公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足的值為（ ）A2BC4D二、填空題（每小題6分，共18分）7 ，當(dāng)AB有且只有一個(gè)元素時(shí)，a、b滿足的關(guān)系式是 8. 當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式x2+mx+40恒成立，則m的取值范圍是_.9.如圖,三棱錐PABC中,各條棱的長都是2,E是側(cè)棱PC的中點(diǎn),D是側(cè)棱PB上任一點(diǎn),則ADE的最小周長為_.三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）10已知向量m=(1,1)，向量與向量夾角為，且·=-1，(1)求向量；(2)若向量與向量=(1,0)的夾角為，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C為DABC的內(nèi)角，且A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|+|的取值范圍。11已知可行域的外接圓C與軸交于點(diǎn)A1、A2，橢圓C1以線段A1A2為短軸，離心率（）求圓C及橢圓C1的方程；（）過橢圓C1上一點(diǎn)P(不在坐標(biāo)軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點(diǎn)，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N求MON面積的最小值（O為原點(diǎn)）12設(shè)函數(shù)（）當(dāng)曲線處的切線斜率（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（）已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，且。若對任意的，恒成立，求m的取值范圍。參考答案1A 2C 3A 4解析：選B設(shè)正方體棱長為a，則 56A7解析：AB有且只有一個(gè)元素可轉(zhuǎn)化為直線與圓相切，故8【解析】不等式x2+mx+40在（1，2）恒成立，又x(1,2)g(x)0,g(x)在（1，2）為單調(diào)增函數(shù)，m-5.答案：m-59【解析】把空間問題化歸成平面問題,是立體幾何中化歸思想最重要的內(nèi)容.有這種思想作指導(dǎo),結(jié)合題干圖,由于AE是定長:故只要把側(cè)面PAB、PBC展平,那么當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)的AE長,即AD+DE的值最小.在如圖所示的AEP中,PA=2,PE=1,APE=120°,故依余弦定理有AE2=22+12-2·2·1·cos120°=7,所以AE=,于是得AED的最小周長為.答案： 10解析：(1)設(shè)=(x,y)    則由<,>=得：cos<,>=      由·=-1得x+y=-1  聯(lián)立兩式得或    =(0,-1)或(-1,0)(2) <,>=    得·=0若=(1,0)則·=-1¹0故¹(-1,0) =(0,-1)    2B=A+C，A+B+C=p    ÞB=   C=    +=(cosA,2cos2)  =(cosA,cosC)    |+|=    =    =    =0<A<0<2A<-1<cos(2A+)<|+|Î()11解析：（）由題意可知，可行域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，為直角三角形，     2分外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為2b=4，b=2又，可得所求橢圓C1的方程是 4分（）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡為：，     同理PB的方程為                6分又PA、PB同時(shí)過P點(diǎn)，則x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，AB的直線方程為：x0x+y0y=4               8分（或者求出以O(shè)P為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）從而得到、所以   8分當(dāng)且僅當(dāng).           12分（或者利用橢圓的參數(shù)方程、函數(shù)求最值等方法求的最大值）12解析：當(dāng)所以曲線處的切線斜率為1.（2），令，得到因?yàn)楫?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=（3）由題設(shè)， 所以方程=0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得因?yàn)槿?，而，不合題意若則對任意的有則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得   綜上，m的取值范圍是【備課資源】1設(shè)橢圓的半徑焦距為c，直線過(0,a)和(b,0)，已知原點(diǎn)到的距離等于，則橢圓的離心率為 （ ）解析：選B由已知得：2某小組共10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的概率為（ ）解析：選B利用正難則反轉(zhuǎn)化：3從雙曲線的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線l,切點(diǎn)為T，且l交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若點(diǎn)M是線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|-|TM|等于（ ）4.已知a0，f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1)，l是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0)處的切線.（1）求l的方程；（2）若切線l與曲線y=f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的值；（3）證明：對于任意的a=n(nN*),函數(shù)y=f(x)總有單調(diào)遞減區(qū)間，并求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍.（區(qū)間x1,x2的長度=x2-x1)【解析】(1)f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.f(0)=-1,即切點(diǎn)P(0,1)，l斜率為-1，切線l的方程：y=-x+1.(2)切線l與曲線y=f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1，即ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.令h(x)=ax2-x+ln(x+1),則方程h(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.h(0)=0,方程h(x)=0有一解x=0.5.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)h(x)在（1，+)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)m=2時(shí)，若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.