第四章 隨機變量的數(shù)字特征 知道了隨機變量的概率分布也就知道了它的全部統(tǒng)計特性．然而，在許多實際問題中，隨機變量的概率分布往往不易求得，也有不少實際問題并不需要我們知道隨機變量的全部統(tǒng)計特性，而只需要知道它的某些主要統(tǒng)計特征．舉例：學(xué)生成績．首先要知道平均成績，其次又要注意各個學(xué)生的成績與平均成績的偏離程度. 平均成績越高，偏離程度越小，學(xué)生學(xué)習(xí)成績就越好。 我們把表示隨機變量某些特征的數(shù)值稱為隨機變量的數(shù)字特征，它們反映了隨機變量的某些本質(zhì)屬性．許多重要的分布往往由這些數(shù)字特征唯一確定．本章主要介紹數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩． 第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望 一 數(shù)學(xué)期望的定義 1. 引例 設(shè)有十個數(shù)字1，1，2，2，2，3，3，3，3，4 以表示平均值，則有 又可以寫成。顯然，這里的實際上是數(shù)字1，2，3，4在這十個數(shù)字中所占的份額，我們可以稱之為這四個數(shù)字的“權(quán)重”，所以上式又可稱為是1，2，3，4這四個數(shù)字的加權(quán)平均數(shù)。再換一個角度，設(shè)想這是十張寫有數(shù)字的卡片，隨機從中取出一張，觀察到的數(shù)值為，則它是一個隨機變量，它的可能取值為1，2，3，4，而它的分布律為： 因此，實質(zhì)上就是隨機變量的取值的平均數(shù)。受此問題的啟發(fā)，引出如下數(shù)學(xué)期望的定義. 2．?dāng)?shù)學(xué)期望（Mathematical expectation）或均值(Mean)的定義 1）[定義] 設(shè)是離散型隨機變量，其概率函數(shù)為 如果級數(shù)絕對收斂，則定義的數(shù)學(xué)期望為 ； 2）[定義] 設(shè)為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對可積，則定義的數(shù)學(xué)期望為. 【注1】 數(shù)學(xué)期望即隨機變量的平均取值，它是所有可能取值以概率為權(quán)重的加“權(quán)”平均． 考察隨機變量的平均取值． 【注2】連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的實質(zhì)是相同的：相當(dāng)于；相當(dāng)于；相當(dāng)于. 【注3】 物理解釋：數(shù)學(xué)期望——重心．設(shè)有總質(zhì)量為的個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系，記點在軸上的坐標為，質(zhì)量為，求該質(zhì)點系的重心坐標. 解：記質(zhì)點系的重心坐標為，于是，這里是在點處的質(zhì)量占總質(zhì)量的比重，因此是以為權(quán)的加“權(quán)”平均． 例１ 甲、乙兩人作射擊比賽，命中環(huán)數(shù)分別為，它們的分布律分別為 問：哪一個射手的本領(lǐng)較好？ 解 （環(huán)） （環(huán)） 顯然,，因此甲比乙的本領(lǐng)要好些． 例2 設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為：，求． 解：. 二 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望　 1.[定義] 設(shè)為離散型隨機變量，其概率函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，且級數(shù)絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 2．[定義] 設(shè)為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為：. 例3.設(shè)離散型隨機變量X的分布律如下，求：. X 0 1 2 P 3/10 6/10 1/10 解：. 例4.設(shè)風(fēng)速X是一個隨機變量，在[0，]上服從均勻分布，而飛機的兩機翼受到的壓力Y與風(fēng)速X的平方成正比，即，，求：. 解：X的密度函數(shù)為，而，所以. 三 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. (其中c為常數(shù))； 2. (其中c為常數(shù))； 3. ； 4. 如果X與Y相互獨立，則. 例4. 若X的數(shù)學(xué)期望E（X）存在，求： 解： 第二節(jié) 方差與標準差 一 方差（Variance）與標準差(Standard deviation)的概念 1．方差與標準差的定義 [定義] 設(shè)是隨機變量，若存在，則稱為的方差，記為或，即．隨機變量的標準差定義為方差的算術(shù)平方根，記為． 從定義中可清楚地看出：方差實際上是隨機變量X 的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，于是當(dāng)為離散型隨機變量，其方差為 ； 當(dāng)為連續(xù)型隨機變量，其方差為 . 【注1】方差描述的是隨機變量取值的波動程度，或隨機變量偏離均值的程度． 2.計算方差的簡便公式： 利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可以得到： .因此，方差的計算常常用簡便公式： 例1 設(shè) ， 求： 解：=0； ；所以：. 二 方差的性質(zhì) 1. (c是常數(shù))； 2. (c是常數(shù))； 3. (c是常數(shù))； 4. 如果與獨立，則 這個結(jié)論可以推廣到有限個相互獨立的隨機變量的情況： 設(shè)相互獨立，則有. 例2.設(shè)兩個相互獨立的隨機變量與 ，它們的方差分別為4和2，求 解：. 例3. 隨機變量X有，且已知求 解：由 ∴，故：. 三 常用分布的數(shù)學(xué)期望與方差 分布名稱 數(shù)學(xué)期望 方差 0-1 分布 p p(1-p) 二項分布 np n p (1-p) 泊松分布π(l) l l 均勻分布 指數(shù)分布 Exp(l) 正態(tài)分布 N(m, s 2) m s 2 例4. 設(shè)隨機變量X在區(qū)間上服從均勻分布，求 解： ， ； ； ∴. 例5. 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的二項分布，求 解：由二項分布的定義可知：隨機變量X表示重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，且在每次試驗中A發(fā)生的概率為. 現(xiàn)在引進隨機變量，表示在第次試驗中A發(fā)生；表示在第次試驗中A不發(fā)生，則.由于各次試驗的獨立性，且 ， 可得：，， ， 所以：； . 【注2】當(dāng)直接求某個隨機變量的數(shù)學(xué)期望或方差有困難或計算麻煩時，一個較為有效的處理技巧是把它分解成若干容易求數(shù)學(xué)期望或方差的隨機變量的和，從而可以方便地求出該隨機變量的數(shù)學(xué)期望或方差。 四 切比雪夫（Chebyshev）不等式 [切比雪夫定理] 對于隨機變量，，，則對于任意>0， ， 或 ． ——切比雪夫（Chebyshev）不等式 （證略） 【注2】 從定理中看出，越小，隨機變量取值于中的概率就越大，這就說明方差是一個反映隨機變量的概率分布對其分布中心()的集中程度的數(shù)量指標． 【注3】 利用切比雪夫不等式，可以在隨機變量的分布未知的情況下估算事件的概率(只不過精度太差)．切比雪夫不等式在理論上的意義更大一些. 例6.設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望方差，若，求及. 解： 這說明：具有數(shù)學(xué)期望為0，方差為1.稱Y為X經(jīng)標準化后的隨機變量. 例7. 設(shè)隨機變量相互獨立，服從相同的分布，且，求 的數(shù)學(xué)期望和方差. 解： ； . 例8. 某批產(chǎn)品的次品率為0.04，試用切比雪夫不等式估計15000件產(chǎn)品中，次品數(shù)在500～700件之間的概率. 解：設(shè)次品數(shù)為X，則X服從二項發(fā)布，所以； ，即，其中. 由切比雪夫不等式 可得： . * 第三節(jié) 矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 一. 協(xié)方差(Covariance) 設(shè)為二維隨機變量，隨機變量的協(xié)方差定義為 ． 計算協(xié)方差常用下列公式： ． 當(dāng)時，． 協(xié)方差具有下列性質(zhì)： (1) (c是常數(shù))； (2) ； (3) (是常數(shù))； (4) 【注1】． 【注2】． 【注3】 二 相關(guān)系數(shù)(Correlation coefficient）． 隨機變量的相關(guān)系數(shù)定義為 相關(guān)系數(shù)反映了隨機變量與之間線性關(guān)系的緊密程度，當(dāng)越大，與之間的線性相關(guān)程度越密切，當(dāng)時，稱與不相關(guān)． 相關(guān)系數(shù)具有下列性質(zhì)： (1) ； (2) 的充要條件是，其中為常數(shù)； (3) 若隨機變量與相互獨立，則與不相關(guān)，即，但由不能推斷與獨立． (4) 下列5個命題是等價的： ． (i) ； (ii) ； (iii) ； (iv) )； (v) ． 利用協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)可以計算 ． 【注4】的大小反映了與之間的線性關(guān)系． 若，則說與間正相關(guān)（，完全正相關(guān)）； 若，則說與間負相關(guān)（，完全負相關(guān)）． 【注5】與不相關(guān)表示與之間不存在線性關(guān)系． 【注6】與不相關(guān) ． 【注7】若與相互獨立，則與不相關(guān)．反之不然，反例見教材． 三 k階原點矩與k階中心矩 隨機變量的階原點矩定義為； 隨機變量的階中心矩定義為]； 隨機變量的階混合原點矩定義為； 隨機變量的階混合中心矩定義為． 一階原點矩是數(shù)學(xué)期望； 二階中心矩是方差D(X)； 二階混合中心矩為協(xié)方差. 思考題 　１．設(shè)，求． ?。玻O(shè)的密度函數(shù)為 記，求的數(shù)學(xué)期望 3. 一學(xué)徒工用車床接連加工10個零件，設(shè)第個零件報廢的概率為，求報廢零件個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.