第7章 圖1 邏輯結(jié)構(gòu)1.1 定義G = (V, E) V是頂點(diǎn)集，E是頂點(diǎn)間二元關(guān)系的集合內(nèi)涵越小，外延越大與樹(shù)的區(qū)別： 樹(shù)有特殊的根結(jié)點(diǎn)； 樹(shù)的結(jié)點(diǎn)和關(guān)系能分成互不相交的若干子集圖的分類： 無(wú)向圖有向圖邊：二元關(guān)系是無(wú)序的?；。憾P(guān)系是有序的。(vi,vj)：vi,vj互為鄰接點(diǎn)<vi,vj>：弧頭vj、弧尾viG1=(V1,E1)V1=v1,v2,v3,v4E1=(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4),(v2,v3), (v2,v4),(v3,v4)G2=(V2,E2)V2=v1,v2,v3,v4E2=<v1,v2>, <v2,v1>,<v2,v3>, <v4,v3>不予討論的圖: (總能轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單圖)1.2 基本操作對(duì)整體的操作(遍歷)深度遍歷DFSTraverse、廣度遍歷BFSTraverse對(duì)頂點(diǎn)的操作InsertVex、DeleteVex、GetVex、SetVex對(duì)弧/邊的操作InsertArc、DeleteArc、GetArc、SetArc1.3 常見(jiàn)應(yīng)用信息的組織：家庭照片管理運(yùn)輸問(wèn)題：最短路徑問(wèn)題、最優(yōu)乘車路線問(wèn)題網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃：小區(qū)設(shè)店問(wèn)題、區(qū)域連通的規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)度組織：工程進(jìn)度管理1.4 概念 思路：考慮圖的復(fù)雜應(yīng)用，提供簡(jiǎn)化問(wèn)題的思路。1.4.1 圖的分類 著眼點(diǎn)：存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的選擇。無(wú)向完全圖邊數(shù)：n*(n-1)/2有向完全圖弧數(shù)：n*(n-1)稀疏圖邊數(shù)頂點(diǎn)數(shù)稠密圖邊數(shù)頂點(diǎn)數(shù)2帶權(quán)圖邊或頂點(diǎn)帶權(quán)值著眼點(diǎn)：圖的分解。子圖V(B)V(A)，E(B)E(A)，稱圖B是圖A的子圖。1.4.2 頂點(diǎn)的參數(shù)度無(wú)向圖中，依附于某頂點(diǎn)的邊數(shù)入度有向圖中，以某頂點(diǎn)為弧尾的弧數(shù)出度有向圖中，以某頂點(diǎn)為弧頭的弧數(shù)度的應(yīng)用：以下哪個(gè)圖能夠一筆畫完成？為什么？ 一筆畫問(wèn)題的本質(zhì)：圖結(jié)構(gòu)中的邊遍歷問(wèn)題。 應(yīng)用領(lǐng)域：車間/廠房布置、行走路線的安排、交通設(shè)計(jì) 1.4.3 有關(guān)路徑著眼點(diǎn)：頂點(diǎn)間的聯(lián)系。頂點(diǎn)間路徑Vi,Vj頂點(diǎn)間連通若從Vi到Vj有路徑，稱Vi到Vj是連通的。路徑長(zhǎng)度路徑上邊/弧的數(shù)目。簡(jiǎn)單路徑路徑中所有頂點(diǎn)各不相同?；芈仿窂街?，起點(diǎn)和終點(diǎn)是同一頂點(diǎn)。簡(jiǎn)單回路除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，其余頂點(diǎn)各不相同。1.4.4 有關(guān)連通著眼點(diǎn)：將不連通圖簡(jiǎn)化為連通圖。連通圖無(wú)向圖中,任意二個(gè)頂點(diǎn)之間是連通的。無(wú)向圖的連通分量無(wú)向圖的極大連通子圖。強(qiáng)連通圖有向圖中,任意二個(gè)頂點(diǎn)之間存在來(lái)往路徑。有向圖的強(qiáng)連通分量有向圖的極大強(qiáng)連通子圖。1.4.5 生成樹(shù)著眼點(diǎn)：將圖簡(jiǎn)化為樹(shù)。無(wú)向圖生成樹(shù)連通無(wú)向圖中，n個(gè)頂點(diǎn)和n-1條邊，構(gòu)成的連通子圖。（原連通圖的極小連通子圖）生成森林不連通的無(wú)向圖中，各連通分量的生成樹(shù)的集合。有向圖生成樹(shù)強(qiáng)連通有向圖中，n個(gè)頂點(diǎn)和n-1條弧，構(gòu)成的單向連通子圖(vi、vj間存在一條路徑)。一個(gè)頂點(diǎn)入度為，其余頂點(diǎn)入度為。生成森林不強(qiáng)連通的有向圖中，各有強(qiáng)連通分量的生成樹(shù)的集合。第7章 圖2 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)應(yīng)該包含：頂點(diǎn)的信息；邊/弧的信息；權(quán)的信息。2.1 鄰接矩陣2.1.1 結(jié)構(gòu)圖0, 1, 1, 01, 0, 0, 11, 0, 0, 10, 1, 1, 00, 4, 2, Inf4, 0, Inf, 82, Inf, 0, 1Inf, 8, 1, 0 0, 4, 2, InfInf, 0, Inf, 8Inf, Inf, 0, InfInf, Inf, 1, 02.1.2 類的定義const double Inf=10000;struct Edge int v1,v2; double weight;class Mgraph / 簡(jiǎn)化版，只存儲(chǔ)了邊/弧的信息。 int m_N; vector<vector<double> > *m_Es;public: MGraph(int n); MGraph(); void Append(vector<Edge> &es); void Output(); int Degree(int k);空間復(fù)雜度：O(n*n)。適合稠密圖，當(dāng)點(diǎn)多邊少時(shí)，空間浪費(fèi)多。 2.1.2 （無(wú)向圖的）類的實(shí)現(xiàn)/ 構(gòu)造函數(shù)MGraph:MGraph(int n) m_N = n; m_Es=new vector<vector<double> >(n,vector<double>(n,Inf); for(int i=0; i<m_N; i+) (*m_Es)ii=0;/ 析構(gòu)函數(shù)MGraph:MGraph() delete m_Es; / 添加邊集void MGraph:Append(vector<Edge> &es) for(int i=0; i<es.size(); i+) int v1=esi.v1, v2=esi.v2; (*m_Es)v1v2=esi.weight; (*m_Es)v2v1=esi.weight; / 計(jì)算頂點(diǎn)的度int MGraph:Degree(int k) int n=0; for(int i=0; i<m_N; i+) if(*m_Es)ki!=0 && (*m_Es)ki!=Inf) n+; return n; 2.2鄰接表2.2.1 結(jié)構(gòu)圖圖的變化特征：頂點(diǎn)變化少，關(guān)系變化多。頂點(diǎn)表: 順序結(jié)構(gòu)。邊/弧表：動(dòng)態(tài)鏈表。帶權(quán)圖的鄰接表2.2.2 類的定義struct ArcNode / 邊、弧結(jié)構(gòu) int adjvex; / 鄰接點(diǎn)、弧頭的編號(hào) double weight; ArcNode *nextarc;template<class T>struct VexNode / 頂點(diǎn)結(jié)構(gòu) T data; ArcNode *firstarc; / 指向出邊表;template<class T>class ALGraph int m_N; vector<VexNode<T> > m_Data; / 頂點(diǎn)向量public: ALGraph(vector<T> vs); ALGraph(); void Append(vector<Edge> &es); void Output();空間復(fù)雜度：O(n+e) n是頂點(diǎn)數(shù)，e是邊/弧數(shù)。2.2.3 類的實(shí)現(xiàn)/ 構(gòu)造函數(shù)template<class T>ALGraph<T>:ALGraph(vector<T> vs) m_N = vs.size(); m_Data.resize(m_N); for(int i=0; i<m_N; i+) m_Datai.data=vsi; m_Datai.firstarc=NULL; / 添加弧集/ 留意：用不同插入方法，得到鄰接表不一樣。template<class T>void ALGraph<T>:Append(vector<Edge> &es) for(int i=0; i<es.size(); i+) int v1=esi.v1, v2=esi.v2; ArcNode *p=new ArcNode; p->adjvex=v2; p->weight=esi.weight; p->nextarc=m_Datav1.firstarc; m_Datav1.firstarc = p; / 計(jì)算有向圖中頂點(diǎn)i的出度template<class T>int ALGraph<T>:OutDegree(int k) int n=0; for(ArcNode *p=m_Datak.firstarc; p; p=p->nextarc) n+; return n;/ 計(jì)算有向圖中頂點(diǎn)i的入度template<class T>int ALGraph<T>:InDegree(int k) int n=0; for(int i=0; i<m_N; i+) for(ArcNode *p=m_Datai.firstarc; p; p=p->nextarc) if(p->adjvex=k) n+; return n;試題： 計(jì)算有向圖的入度表、出度表； 判斷無(wú)向圖G是否可以一筆畫。2.2.3 擴(kuò)展思考：頂點(diǎn)的維護(hù)問(wèn)題例：刪除指定頂點(diǎn)的結(jié)構(gòu)變化原圖的結(jié)構(gòu)刪除頂點(diǎn)2之后的圖結(jié)構(gòu)2.3 逆鄰接表2.3.1 結(jié)構(gòu)圖鄰接表（出邊表）逆鄰接表（入邊表）思考：根據(jù)鄰接表繪制逆鄰接表。2.3.2 類的定義同鄰接表類2.4 十字鏈表2.4.1 結(jié)構(gòu)圖將鄰接表、逆鄰接表合二為一。主要用于表示有向圖。和稀疏矩陣的十字鏈表結(jié)構(gòu)相比：本質(zhì)一樣。細(xì)節(jié)差別在于：行頭表和列頭表合并為了頂點(diǎn)表。等價(jià)結(jié)構(gòu)：2.2.2 類的定義struct ArcNode / 弧結(jié)構(gòu) int tailvex; / 弧尾的編號(hào) int headvex; / 弧頭的編號(hào) double weight; ArcNode *tlink; / 指向弧尾相同的弧結(jié)點(diǎn) ArcNode *hlink; / 指向弧頭相同的弧結(jié)點(diǎn);template<class T>struct VexNode / 頂點(diǎn)結(jié)構(gòu) T data; ArcNode *firstin; / 指向入邊表 ArcNode *firstout; / 指向出邊表;template<class T>class OLGraph vector<VexNode<T> > m_Data; / 頂點(diǎn)向量;2.5 鄰接多重表2.4.1 結(jié)構(gòu)圖 無(wú)向圖的鄰接表有50%的冗余。精簡(jiǎn)方法：每條邊對(duì)應(yīng)一個(gè)邊結(jié)點(diǎn)。主要用于表示無(wú)向圖。 鄰接多重表結(jié)構(gòu)2.4.2 類的定義struct EdgeNode / 邊、弧結(jié)構(gòu) int ivex; / 第一鄰接點(diǎn)編號(hào) int jvex; / 第二鄰接點(diǎn)編號(hào) double weight; ArcNode *ilink; / 指向第一鄰接點(diǎn)編號(hào)為i的邊結(jié)點(diǎn) ArcNode *jlink; / 指向第二鄰接點(diǎn)編號(hào)為j的邊結(jié)點(diǎn);template<class T>struct VexNode / 頂點(diǎn)結(jié)構(gòu) T data; ArcNode *firstedge; / 第一個(gè)邊結(jié)點(diǎn);template<class T>class OLGraph vector<VexNode<T> > m_Data; / 頂點(diǎn)向量;第7章 圖3 圖的遍歷圖遍歷：從某頂點(diǎn)出發(fā)，對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)訪問(wèn)且僅訪問(wèn)一次。圖遍歷與樹(shù)遍歷的比較：區(qū)別可能回到起點(diǎn)。因?yàn)閳D不能劃分為若干個(gè)互不相交的子圖。算法擴(kuò)展對(duì)訪問(wèn)過(guò)的頂點(diǎn)作標(biāo)記，并加以識(shí)別。3.1 深度優(yōu)先搜索DFS(Depth First Search)3.1.1 算法設(shè)置一個(gè)標(biāo)記數(shù)組，設(shè)所有頂點(diǎn)都未曾被訪問(wèn)； 從起點(diǎn)v出發(fā)，訪問(wèn)此頂點(diǎn)，同時(shí)設(shè)置訪問(wèn)標(biāo)記；依次從v的未被訪問(wèn)過(guò)的鄰接點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行DFS；（效果：所有與v連通的頂點(diǎn)都被訪問(wèn)過(guò)）若所有頂點(diǎn)都已訪問(wèn)，則完成；否則，另?yè)衿瘘c(diǎn)v，轉(zhuǎn)至。圖的邏輯結(jié)構(gòu)圖的鄰接表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)以頂點(diǎn)0為起點(diǎn)的DFS：0，1，4，3，2以頂點(diǎn)3為起點(diǎn)的DFS：3，1，4，2，03.1.2 算法實(shí)現(xiàn)（遞歸）/ 帽子函數(shù)template<class T>vector<T> ALGraph<T>:DFSTraverse() vector<T> vs,vs1; / 實(shí)現(xiàn)步驟 vector<bool> visited(m_Data.size(),false); / 實(shí)現(xiàn)步驟 for(int v=0; v<m_N; v+) if(visitedv=false) vs1.clear(); DoDFSTraverse(v,visited,vs1); vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end(); return vs;template<class T>void ALGraph<T>:DoDFSTraverse(int v,vector<bool>& visited,vector<T>& vs) / 實(shí)現(xiàn)步驟 vs.push_back(m_Datav.data); visitedv=true; / 實(shí)現(xiàn)步驟 for(ArcNode *p=m_Datav.firstarc; p; p=p->nextarc) int w=p->adjvex; if(visitedw=false) DoDFSTraverse(w,visited,vs); 思考1：與樹(shù)的遞歸遍歷算法的共性。思考2：時(shí)間復(fù)雜度？ 思考3：計(jì)算DFS生成樹(shù)的各邊。思考4：若采用鄰接矩陣結(jié)構(gòu)，程序如何調(diào)整？3.1.3 調(diào)試示例紅色邊：構(gòu)成DFS生成森林，稱為樹(shù)邊。結(jié)點(diǎn)中的左數(shù)字：開(kāi)始訪問(wèn)該結(jié)點(diǎn)的步驟；結(jié)點(diǎn)中的右數(shù)字：完成訪問(wèn)該結(jié)點(diǎn)的所有鄰接點(diǎn)的步驟；3.1.4 調(diào)試中的深入思考搜索過(guò)程中，邊的分類： 回邊：子孫結(jié)點(diǎn)指向祖先結(jié)點(diǎn)。 前向邊：祖先結(jié)點(diǎn)指向子孫結(jié)點(diǎn)。 交叉邊：子樹(shù)/樹(shù)之間的邊。應(yīng)用：若在DFS過(guò)程中，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)回邊，則該圖無(wú)環(huán)。3.1.5 判斷無(wú)向圖中是否是連通，并計(jì)算連通分量的個(gè)數(shù)int ALGraph<T>:DFSTraverse() vector<T> vs,vs1; int n=0; vector<bool> visited(m_Data.size(),false); for(int v=0; v<m_N; v+) if(visitedv=false) vs1.clear(); DoDFSTraverse(v,visited,vs1); n+; vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end(); return n;3.1.5 判斷無(wú)向圖中是否有回路/ 不適用于有向圖template<class T>bool ALGraph<T>:HasCircle() vector<bool> visited(m_N,false); for(int v=0; v<m_N; v+) if(visitedv=false) if(DoHasCircle(v,visited)=true) return true; / 存在環(huán) return false; / 所有連通分量中，不存在環(huán)template<class T>bool ALGraph<T>:DoHasCircle(int v,vector<bool>& visited) visitedv=true; for(ArcNode *p=m_Datav.firstarc; p; p=p->nextarc) int w=p->adjvex; if(visitedw=true) return true; / w已被訪問(wèn)過(guò)，即發(fā)現(xiàn)環(huán)路 if(DoHasCircle(w,visited) return true; / 在以w為起點(diǎn)的DFS中發(fā)現(xiàn)環(huán)路 return false; / 在以v為起點(diǎn)的DFS中，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)環(huán)路3.2 廣度優(yōu)先搜索BFS(breadth first search)3.2.1 算法設(shè)所有頂點(diǎn)都未曾被訪問(wèn)；將起點(diǎn)編號(hào)加入隊(duì)列，同時(shí)設(shè)置訪問(wèn)標(biāo)記；取隊(duì)首元素，設(shè)為v，訪問(wèn)結(jié)點(diǎn)v；依次將v的各個(gè)未被訪問(wèn)過(guò)的頂點(diǎn)加入隊(duì)列，同時(shí)設(shè)置訪問(wèn)標(biāo)記； 若隊(duì)列不空，則循環(huán)執(zhí)行，否則；若所有頂點(diǎn)都已訪問(wèn)，則完成；否則，另?yè)衿瘘c(diǎn)V，轉(zhuǎn)至。已知鄰接表，求遍歷序列。以頂點(diǎn)0為起點(diǎn)的BFS：0，1，3，4，2以頂點(diǎn)3為起點(diǎn)的BFS：3，1，0，4，23.2.2 算法實(shí)現(xiàn)/ 帽子函數(shù)template<class T>vector<T> ALGraph<T>:BFSTraverse() vector<T> vs,vs1; / 實(shí)現(xiàn)步驟 vector<bool> visited(m_Data.size(),false); / 實(shí)現(xiàn)步驟 for(int v=0; v<m_N; v+) if(visitedv=false) vs1.clear(); DoBFSTraverse(v,visited,vs1); vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end(); return vs;template<class T>void ALGraph<T>:DoBFSTraverse(int v,vector<bool>& visited,vector<T>& vs) queue<int> Q; ArcNode *p; Q.push(v); visitedv=true; / 步驟 while(!Q.empty() / 步驟 v=Q.front(); Q.pop(); vs.push_back(m_Datav.data); / 步驟 / 步驟 for(ArcNode *p=m_Datav.firstarc; p; p=p->nextarc) int w=p->adjvex; if(visitedw=false) Q.push(w); visitedw=true; 思考1：與樹(shù)的層次遍歷算法的共性。思考2：時(shí)間復(fù)雜度？ 思考3：計(jì)算BFS生成樹(shù)的各邊。思考4：計(jì)算起點(diǎn)到其余各頂點(diǎn)的最短路徑。3.2.3 調(diào)試示例紅色邊：構(gòu)成BFS生成森林，稱為樹(shù)邊。結(jié)點(diǎn)數(shù)字：距離起點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度 3.4 生成樹(shù)、生成森林的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)（擴(kuò)展思考）在遍歷中，如何將生成樹(shù)、生成森林，以孩子兄弟法存儲(chǔ)起來(lái)？圖的鄰接表結(jié)構(gòu)圖的生成森林的二叉鏈表結(jié)構(gòu)3.5 關(guān)節(jié)點(diǎn)、重連通分量（擴(kuò)展思考）3.5.1 概念關(guān)節(jié)點(diǎn)若刪除某頂點(diǎn)及其關(guān)聯(lián)各邊，圖的一個(gè)連通分量將分割為多個(gè)連通分量，則該頂點(diǎn)是關(guān)節(jié)點(diǎn)。重連通分量沒(méi)有關(guān)節(jié)點(diǎn)的連通圖。圖的連通度若在連通圖上至少要?jiǎng)h除k個(gè)頂點(diǎn)才能破壞圖的連通性，則該圖的圖的連通度為k。實(shí)際意義：連通度等價(jià)于系統(tǒng)的可靠度。算法：在DFS生成樹(shù)，根結(jié)點(diǎn)至少有2個(gè)子結(jié)點(diǎn)，則為關(guān)節(jié)點(diǎn)。第7章 圖專題1 圖的非遞歸深度遍歷算法1.1 狀態(tài)的定義struct Status / 遍歷狀態(tài)類 int v; / 遍歷中的當(dāng)前頂點(diǎn)編號(hào) ArcNode *p; / 當(dāng)前頂點(diǎn)已經(jīng)訪問(wèn)的弧結(jié)點(diǎn)的指針;1.2 與遞歸函數(shù)完全相同的帽子函數(shù)template<class T>vector<T> ALGraph<T>:DFSTraverse() vector<T> vs,vs1; vector<bool> visited(m_N,false); for(int v=0; v<m_N; v+) if(visitedv=false) vs1.clear(); DoDFSTraverse(v,visited,vs1); vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end(); return vs;1.3 借助狀態(tài)棧的回溯法 / 約定每個(gè)頂點(diǎn)被訪問(wèn)之后，再進(jìn)棧與樹(shù)先根算法的區(qū)別：訪問(wèn)標(biāo)記的處理template<class T>void ALGraph<T>:DoDFSTraverse(int v,vector<bool>& visited,vector<T>& vs) stack<Status> S; vs.push_back(m_Datav.data); visitedv=true; Status s1=v,m_Datav.firstarc; S.push(s1); while( !S.empty() ) Status &s=S.top(); / s是棧頂狀態(tài)的引用 / 尋找v的下一個(gè)未訪問(wèn)過(guò)的鄰接點(diǎn) for(; s.p; s.p=s.p->nextarc) if(visiteds.p->adjvex=false) break; if(s.p) int w=s.p->adjvex; / 頂點(diǎn)w未訪問(wèn)過(guò) vs.push_back(m_Dataw.data); visitedw=true; Status nexts; nexts.v=w; nexts.p=m_Dataw.firstarc; S.push(nexts); else S.pop(); / 以v為起點(diǎn)的搜索已經(jīng)完畢 1.4 調(diào)試案例訪問(wèn)0訪問(wèn)1訪問(wèn)4訪問(wèn)3訪問(wèn)2第7章 圖專題2 地圖著色問(wèn)題2.1 地圖著色問(wèn)題及其邏輯結(jié)構(gòu) 設(shè)一張地圖有n個(gè)區(qū)域，用不多于4種顏色對(duì)這些區(qū)域進(jìn)行著色，相鄰區(qū)域應(yīng)具有不同的顏色。 區(qū)域圖邏輯結(jié)構(gòu)圖2.2 地圖著色判斷問(wèn)題 試設(shè)計(jì)算法，以一種著色方案為輸入，算法對(duì)該著色方案進(jìn)行考察，判別是否滿足著色要求。/ colors0.colorsm_N-1存儲(chǔ)了所有區(qū)域的顏色值template<class T>bool ALGraph<T>:Check(vector<int> &colors) for(int i=0; i<m_N; i+) for(ArcNode *p=m_Datai.firstarc; p; p=p->nextarc) if(colorsp->adjvex=colorsi) return false; return true;/ colors0.colorsn-1存儲(chǔ)了部分區(qū)域的顏色值template<class T>bool ALGraph<T>:Check(vector<int> &colors,int n) for(int i=0; i<n; i+) for(ArcNode *p=m_Datai.firstarc; p; p=p->nextarc) if(p->adjvex<n && colorsp->adjvex=colorsi) return false; return true;2.3 計(jì)算所有的地圖著色方案template<class T>vector<vector<int> > ALGraph<T>:GetAllColors() vector<vector<int> > allColors; / 所有的著色方案 vector<int> Colors(m_N,0); / 當(dāng)前著色方案 GetAllColors(0,Colors,allColors); return allColors;template<class T>void ALGraph<T>:GetAllColors(int i, vector<int> Colors, vector<vector<int> > &allColors) if(i=m_N) / 當(dāng)前著色方案已經(jīng)全部齊備 if(Check(Colors) allColors.push_back(Colors); return; for(int color=1; color<=4; color+) Colorsi=color; / 第i個(gè)區(qū)域設(shè)置為color顏色 if(Check(Colors,i+1) / 剪枝法：檢查局部解的合理性 GetAllColors(i+1,Colors,allColors); 2.3 小結(jié) 本質(zhì)上，窮舉所有的著色方案，是遍歷4叉樹(shù)所有葉子結(jié)點(diǎn)的過(guò)程。效率不高，但配合剪枝法的應(yīng)用，能較好的改善算法性能。作業(yè)與上機(jī)1 圖的鄰接表類建立鄰接表類，深度、廣度遍歷之，盡可能的豐富鄰接表類的成員函數(shù)；方向1：計(jì)算生成樹(shù)/生成森林的弧向量，進(jìn)而建立生成樹(shù)/生成森林的樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。方向2：判別圖中是否存在回路；方向3：計(jì)算頂點(diǎn)之間的最短的路徑長(zhǎng)度；方向4：計(jì)算圖中的關(guān)節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而計(jì)算圖的連通度；方向5：參照樹(shù)的非遞歸遍歷算法，實(shí)現(xiàn)圖的非遞歸深度遍歷算法。方向6：計(jì)算地圖著色的一個(gè)/所有著色方案。2 圖的應(yīng)用 Prim算法、Kruskal算法 Dijkstra算法、Floyd算法。 拓?fù)渑判蛩惴?、關(guān)鍵路徑算法。第7章 圖4 最小生成樹(shù)4.1 概念最小生成樹(shù)：各邊權(quán)值之和最小的生成樹(shù)。原圖生成樹(shù)一生成樹(shù)二生成樹(shù)三4.2 Prim算法4.2.1 算法思路設(shè)圖G=(V,E)，從起點(diǎn)v出發(fā)，構(gòu)造最小生成樹(shù)T=(VT,ET)。初始化VT=v，ET=；找權(quán)值最小的(Vp,Vq), VpVT, VqV-VT；將(Vp,Vq)并入ET，同時(shí)Vq并入VT；重復(fù)步驟n-1次。4.2.2 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)圖的結(jié)構(gòu)因需要頻繁地讀取邊的權(quán)值，所以采用鄰接矩陣。調(diào)試案例：以頂點(diǎn)4為起點(diǎn)，構(gòu)造最小生成樹(shù)。M_Data: 0, 2,Inf,Inf,Inf, 7, 3,Inf,Inf, 2, 0, 4,Inf,Inf,Inf, 6,Inf,Inf, Inf, 4, 0, 2,Inf,Inf,Inf, 2,Inf, Inf,Inf, 2, 0, 1,Inf,Inf, 8,Inf, Inf,Inf,Inf, 1, 0, 6,Inf,Inf, 2, 7,Inf,Inf,Inf, 6, 0,Inf,Inf, 5, 3, 6,Inf,Inf,Inf,Inf, 0, 3, 1, Inf,Inf, 2, 8,Inf,Inf, 3, 0, 4, Inf,Inf,Inf,Inf, 2, 5, 1, 4, 0;輔助結(jié)構(gòu)針對(duì)：找權(quán)值最小的(Vp,Vq), VpVT, VqV-VT；設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)：VT外每個(gè)頂點(diǎn)到VT的最短距離。struct ShortDist / 表示某頂點(diǎn)到VT的最短距離及對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) float Distance; / VT外頂點(diǎn)到VT的最短距離 int VexInTree;/ VT對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)編號(hào);vector<ShortDist> SDs;表示所有頂點(diǎn)到VT的最短距離及對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。示例：以V4為起點(diǎn)構(gòu)造最小生成樹(shù)，SDs的初始數(shù)據(jù)：下標(biāo)012345678VexInTree444444444DistanceINFINFINF106INFINF2SDsi.Distance=0的含義：頂點(diǎn)i已在生成樹(shù)中4.2.3 算法及分析 初始化SDs； 在SDs中,找出Distance最小非0值的下標(biāo)k； (SDsk.VexInTree,k)為生成樹(shù)的邊； k是樹(shù)外某點(diǎn)，SDsk.VexInTree是樹(shù)內(nèi)某點(diǎn)； SDsk.Distance=0，即頂點(diǎn)k并入生成樹(shù)； 若costki<SDsi.Distance，修改SDsi； n-1次重復(fù)。012345678初始化VexInTree444444444DistanceMMM106MM2第一次循環(huán)后VexInTree443444434DistanceMM2006M82第二次循環(huán)后VexInTree423444424DistanceM40006M22設(shè)圖頂點(diǎn)數(shù)為n，時(shí)間復(fù)雜度是O(n2)，空間復(fù)雜度是O(n)。4.2.4 算法實(shí)現(xiàn)一：求MST的所有邊vector<Edge> MGraph:Prim1(int startv) int n=m_Es->size(); vector<Edge> tree(n-1); vector<ShortDist> SDs(n); for(int i=0; i<n; i+) SDsi.VexInTree=startv; SDsi.Distance=(*m_Es)startvi; for(i=0; i<n-1; i+) double min=Inf; int k; for(int j=0; j<n; j+) / 找最小非0值的下標(biāo)k if(SDsj.Distance!=0 && SDsj.Distance<min) min=SDsj.Distance; k=j; treei.v1=SDsk.VexInTree; treei.v2=k; treei.weight=SDsk.Distance; SDsk.Distance=0; / 將頂點(diǎn)k納入生成樹(shù)中 for(j=0; j<n; j+) / 修改SDs if(*m_Es)kj<SDsj.Distance) SDsj.Distance=(*m_Es)kj; SDsj.VexInTree=k; return tree;4.2.5 算法實(shí)現(xiàn)二：求MST的樹(shù)結(jié)構(gòu)/ 生成一棵雙親表示法的樹(shù)，存于tree中vector<Edge> MGraph:Prim1(int startv) int n=m_Es->size(); vector<Edge> tree(n-1); vector<ShortDist> SDs(n); for(int i=0; i<n; i+) SDsi.VexInTree=startv; SDsi.Distance=(*m_Es)startvi; for(i=0; i<n-1; i+) double min=Inf; int k; for(int j=0; j<n; j+) / 找最小非0值的下標(biāo)k if(SDsj.Distance!=0 && SDsj.Distance<min) min=SDsj.Distance; k=j; treei.v1=SDsk.VexInTree; treei.v2=k; treei.weight=SDsk.Distance; SDsk.Distance=0; / 將頂點(diǎn)k納入生成樹(shù)中 for(j=0; j<n; j+) / 修改SDs if(*m_Es)kj<SDsj.Distance) SDsj.Distance=(*m_Es)kj; SDsj.VexInTree=k; return tree;運(yùn)行結(jié)果：下標(biāo)012345678tree6034-18824結(jié)構(gòu)解釋4.3 Kruskal算法4.3.1 算法思路 盡可能選擇n-1條權(quán)值最小的邊； 但不能構(gòu)成回路。 4.3.2 算法步驟 初始化VT=V，ET=，即n個(gè)頂點(diǎn)是n個(gè)連通分量； 選擇權(quán)值最小的邊(Vp,Vq)； 若Vp、Vq不屬于同一連通分量，將(Vp,Vq)并入ET；否則，舍棄。 重復(fù)，直至選取了n-1條邊。4.3.3 連通分量表示與合并 連通分量：采用子集樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。 vector<int> parents(m_N,-1); 連通分量的合并：子集樹(shù)的合并。4.3.4 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)struct Edge int v1,v2; double weight; bool operator<(Edge &e) return weight<e.weight; ;class Graph int m_N; / 頂點(diǎn)數(shù) vector<Edge> m_Es; / 有序邊集public: Graph(int n,vector<Edge> & es) m_N=n; m_Es=es; sort(m_Es.begin(), m_Es.end(); vector<Edge> Kruskal(); 4.3.5 算法實(shí)現(xiàn)vector<Edge> Graph:Kruskal() vector<Edge> tree(m_N-1); vector<int> parents(m_N,-1); for(int k=0,i=0; i<m_Es.size(); i+) int begins=Find(parents, m_Esi.v1); int ends =Find(parents, m_Esi.v2); if(begins!=ends) parentsbegins=ends; / 合并子集樹(shù) treek =m_Esi; k+; if(k=m_N) return tree; / 找到了全部的樹(shù)邊 return tree;/ 計(jì)算頂點(diǎn)v所屬的連通分量的編號(hào)int Graph:Find(vector<int> sets, int v) while(setsv>=0) v=setsv; return v;4.3.6 調(diào)試案例3,4:1 6,8:14,8:2 0,1:22,7:2 2,3:20,6:3 6,7:3 1,2:4 7,8:45,8:5 4,5:61,6:6 0,5:73,7:8三元組beginsends012345678初始化-1-1-1-1-1-1-1-1-13,4:134-1-1-14-1-1-1-1-16,8:168-1-1-14-1-18-1-14,8:248-1-1-148-18-1-10,1:2011-1-148-18-1-12,7:2271-1748-18-1-12,3:2781-1748-188-10,6:31818748-188-16,7:3881,2:4887,8:4885,8:55818748888-14.3.7 性能分析 設(shè)圖的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，邊數(shù)為e。邊數(shù)組已經(jīng)按權(quán)值有序。 空間復(fù)雜度： O(n) “選邊”的時(shí)間復(fù)雜度： 最好O(n)； 最差O(e) “求子集”的時(shí)間復(fù)雜度：最好O(log2n)；最差O(n)4.4 暢想Prim算法適合稠密圖Kruskal算法適合稀疏圖感受“貪心法”：用局部最優(yōu)解，組合全局最優(yōu)解。第7章 圖5 最短路徑約定：路徑長(zhǎng)度等于路徑中邊/弧權(quán)值之和；所有邊/弧權(quán)大于0。5.1 單源點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題性質(zhì)： 最短路徑由最短子路徑組成。策略： 由近及遠(yuǎn)計(jì)算到各頂點(diǎn)的最短路徑。Edsger Dijkstra（1930-2002）經(jīng)典之作：“GoTo Statement Considered Harmful”。 1972年因發(fā)明ALGOL語(yǔ)言而獲得圖靈獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)演說(shuō)是“The Humble Programmer”。 在操作系統(tǒng)中，提出了PV操作；5.1.1 問(wèn)題與對(duì)策 如何存儲(chǔ)源點(diǎn)v到其余頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度？ vector<double> sds; 初值：sds = (*m_Es)v; 如何區(qū)分已求解結(jié)點(diǎn)和未求解結(jié)點(diǎn)？ vector<bool> set(m_N,false); seti=true 表示頂點(diǎn)i未求解 seti=false表示頂點(diǎn)i已求解 如何表示已求解結(jié)點(diǎn)w對(duì)未求解結(jié)點(diǎn)i的影響？ 若sdsw+(*m_Es)wi<sdsi，則 sdsi=sdsw+(*m_Es)wi; 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)采用哪種形式？ 因需要多次隨機(jī)讀取邊的信息，所以采用鄰接矩陣。5.1.2 算法步驟 根據(jù)源點(diǎn)v，初始化sds、set； 在已求解結(jié)點(diǎn)集中，選取與頂點(diǎn)v最近的結(jié)點(diǎn)w，成為已求解結(jié)點(diǎn)； 借助結(jié)點(diǎn)w，修改從v出發(fā)到其余未求解結(jié)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度； 重復(fù)步驟N-1次。案例演示0,Inf,10,Inf,30,100;Inf,0,5,Inf,Inf,Inf; Inf,Inf,0,50,Inf,Inf;Inf,Inf,Inf,0,Inf,10;Inf,Inf,Inf,20,0,60;Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,0012345初始化dist0Inf10Inf30100setTruefalsefalsefalsefalsefalsepath第一次循環(huán)后dist0Inf106030100setTruefalseTruefalsefalsefalsepath2第二次循環(huán)后dist0Inf10503090setTruefalseTruefalseTrueSpath44第三次循環(huán)后dist0Inf10503060setTruefalseTrueTrueTruefalsepath44,35.1.3 算法實(shí)現(xiàn)一：求最短路徑長(zhǎng)度向量vector<double> MGraph:Dijkstra(int v) vector<double> sds=(*m_Es)v; vector<bool> set(m_N,false); setv =true; for(int i=1; i<m_N; i+) int w = MinCost(sds,set); setw=true; for(int j=0; j<m_N; j+) if(setj=false && sdsw+(*m_Es)wj<sdsj) sdsj=sdsw+(*m_Es)wj; return sds;int MGraph:MinCost(vector<double> sds,vector<bool> set) double min=Inf; int w; for(int i=0; i<m_N; i+) if(seti=false && sdsi<=min) min=sdsi; w=i; return w; 空間復(fù)雜度： O(n) 時(shí)間復(fù)雜度： O(n*n)5.1.4 算法實(shí)現(xiàn)二：求最短路徑向量vector<vector<int> > MGraph:DijkstraPath(int v) vector<double> sds=(*m_Es)v; vector<vector<int> > paths(m_N); vector<bool> set(m_N,false); setv =true; for(int i=1; i<m_N; i+) int w = MinCost(sds,set); setw=true; for(int j=0; j<m_N; j+) if(setj=false && sdsw+(*m_Es)wj<sdsj) sdsj=sdsw+(*m_Es)wj; pathsj=pathsw; pathsj.push_back(w); / 調(diào)整路徑 return paths;5.2 多源點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題方法之一：重復(fù)Dijkstra算法，時(shí)間復(fù)雜度為O(N3)。5.2.1 Floyd算法思路 N個(gè)頂點(diǎn)的圖種，最短路徑的長(zhǎng)度小于N。 頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的最短路徑：每個(gè)頂點(diǎn)都可能成為中間頂點(diǎn)。無(wú)中間結(jié)點(diǎn)時(shí)的最短路徑A0ij=costij以頂點(diǎn)0為中間頂點(diǎn)的i->j最短路徑A1ij=min(A0i0+A00j,A0ij)以頂點(diǎn)0、頂點(diǎn)1為中間頂點(diǎn)的i->j最短路徑A2ij=min(A1i1+A11