課時(shí)訓(xùn)練(二十一)相似三角形的應(yīng)用|夯實(shí)基礎(chǔ)|1.xx長春 孫子算經(jīng)是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,成書于約一千五百年前,其中有首歌謠:今有竿不知其長,量得影長一丈五尺,立一標(biāo)桿,長一尺五寸,影長五寸,問竿長幾何?意即:有一根竹竿不知道有多長,量出它在太陽下的影子長一丈五尺,同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿,它的影長五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長為()圖K21-1A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺2.xx蘭州 如圖K21-2,小明為了測量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的距離),在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺階BC等高的臺階DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三點(diǎn)共線),把一面鏡子水平放置在平臺上的點(diǎn)G處,測得CG=15米,然后沿直線CG后退到點(diǎn)E處,這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃,測得EG=3米,小明身高EF=1.6米,則涼亭的高度AB約為()圖K21-2A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米3.xx綿陽 為測量操場上旗桿的高度,小麗同學(xué)想到了物理學(xué)中平面鏡成像的原理,她拿出隨身攜帶的鏡子和卷尺,先將鏡子放在腳下的地面上,然后后退,直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E,標(biāo)記好腳掌中心位置為B,測得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是50 cm,鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為4 m,如圖K21-3所示.已知小麗同學(xué)的身高是1.54 m,眼睛位置A距離小麗頭頂?shù)木嚯x是4 cm,則旗桿DE的高度等于()圖K21-3A.10 mB.12 mC.12.4 mD.12.32 m4.xx濰坊 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(m,n)是線段AB上一點(diǎn),以原點(diǎn)O為位似中心把AOB放大到原來的兩倍,則點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.( 12m,12n)D.( 12m,12n)或(-12m,-12n)5.如圖K21-4,以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿,在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起,當(dāng)杠桿OA水平時(shí),拉力為F,當(dāng)杠桿被拉至OA1時(shí),拉力為F1,過點(diǎn)B1作B1COA,過點(diǎn)A1作A1DOA,垂足分別為C,D.給出下列四個(gè)結(jié)論:OB1COA1D;OAOC=OBOD;OCG=ODF1;F=F1.其中正確結(jié)論有()圖K21-4A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)6.如圖K21-5,數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為了測量學(xué)校旗桿AB的高度,使用長為2 m的竹竿作為測量工具,移動(dòng)竹竿,使竹竿頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面O處重合,測得OD=4 m,BD=14 m,則旗桿AB的高為m.圖K21-57.xx岳陽 九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有下列問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長為5步,股(長直角邊)長為12步,問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是步.圖K21-68.xx涼山州 如圖K21-7,若要在寬AD為20米的城南大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂BC長2米,且與燈柱AB成120角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線CO與燈臂BC垂直,當(dāng)燈罩的軸線CO通過公路路面的中心線時(shí)照明效果最好,此時(shí)路燈的燈柱AB高應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少米?(結(jié)果保留根號)圖K21-79.課本中有一道作業(yè)題:如圖K21-8,有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上.問加工成的正方形零件的邊長為多少?小穎解得此題的答案為48 mm.小穎善于反思,她又提出了如下的問題.(1)如果原題中所要加工的零件是一個(gè)矩形,且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成,如圖,此時(shí)這個(gè)矩形零件的兩條邊長分別是多少?(2)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形,如圖,這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定,但這個(gè)矩形的面積有最大值,求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長.圖K21-8|拓展提升|10.xx寧波 若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形.(1)已知ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的AC的長;(2)如圖K21-9,在四邊形ABCD中,ADBC,對角線BD平分ABC,BAC=ADC,求證:ABC是比例三角形;(3)如圖,在(2)的條件下,當(dāng)ADC=90時(shí),求BDAC的值.圖K21-9參考答案1.B2.A解析 由題意得AGC=FGE,ACG=FEG=90,FEGACG,ACFE=CGEG,AC1.6=153,AC=8,AB=AC+BC=8+0.5=8.5(米).故選A.3.B解析 由題意可得,AB=1.5 m,BC=0.5 m,DC=4 m.易得ABCEDC,則ABED=BCDC,即1.5DE=0.54,解得DE=12 m.故選B.4.B解析 當(dāng)放大后的AOB與AOB在原點(diǎn)O同側(cè)時(shí),點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2m,2n);當(dāng)放大后的AOB與AOB在原點(diǎn)O兩側(cè)時(shí),點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2m,-2n),故選B.5.D6.9解析 由題意可知,CD=2 m,CODAOB,OB=OD+BD=18(m),ODOB=CDAB,即AB=CDOBOD=2184=9(m).7.6017解析 如圖,四邊形CDEF是正方形,CD=ED=CF.設(shè)ED=x,則CD=x,AD=12-x.DECF,ADE=C,AED=B,ADEACB,DEBC=ADAC,x5=12-x12,x=6017.如圖,四邊形DGFE是正方形,過C作CPAB于P,交DG于Q,設(shè)ED=y,SABC=12ACBC=12ABCP,則125=13CP,CP=6013,同理得:CDGCAB,DGAB=CQCP,y13=6013-y6013,y=780229<6017,該直角三角形能容納的正方形邊長最大是6017步,故答案為:6017.8.解:如圖,延長OC,AB交于點(diǎn)P.ABC=120,PBC=60.OCB=A=90,P=30.AD=20米,OA=12AD=10米.BC=2米,在RtCPB中,PC=BCtan 60=23(米),PB=2BC=4米.P=P,PCB=A,PCBPAO,PCPA=BCOA,PA=PCOABC=23102=103(米),AB=PA-PB=(103-4)米.故路燈的燈柱AB高應(yīng)該設(shè)計(jì)為(103-4)米.9.解:(1)四邊形PNMQ是矩形,PNQM,APNABC,PNBC=AEAD.設(shè)PQ=ED=x,則PN=2x,AE=80-x,2x120=80-x80,解得x=2407,2x=4807,即矩形零件的兩邊長分別是2407 mm和4807 mm.(2)四邊形PNMQ是矩形,PNQM,APNABC,PNBC=AEAD.設(shè)PQ=ED=x,則PN120=80-x80,即PN=80-x80120=3(80-x)2.S矩形PNMQ=PNPQ=3(80-x)2x=-32x2+120x=-32(x-40)2+2400,當(dāng)x=40時(shí),S矩形PNMQ有最大值2400,此時(shí)PN=3(80-40)2=60(mm).這個(gè)矩形的面積達(dá)到最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長分別為40 mm和60 mm.10.解:(1)43或92或6.(2)證明:ADBC,ACB=CAD.又BAC=ADC,ABCDCA,BCCA=CAAD,即CA2=BCAD.ADBC,ADB=CBD.BD平分ABC,ABD=CBD,ADB=ABD,AB=AD,CA2=BCAB,ABC是比例三角形.(3)如圖所示,過點(diǎn)A作AHBD于點(diǎn)H.AB=AD,BH=12BD.ADBC,ADC=90,BCD=90,BHA=BCD=90.ABH=DBC,ABHDBC,ABBD=BHBC,ABBC=BDBH,ABBC=12BD2.又ABBC=AC2,12BD2=AC2,BDAC=2.