提分專練(七)以圓為背景的計(jì)算題與證明題|類型1|平面直角坐標(biāo)系中的圓1.如圖T7-1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)O為圓心的圓分別交x軸的正半軸于點(diǎn)M,交y軸的正半軸于點(diǎn)N.劣弧MN 的長為65,直線y=-43x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B. (1)求證:直線AB與O相切; (2)求圖中所示的陰影部分的面積(結(jié)果用表示).圖T7-12.xx酒泉 如圖T7-2,AN是M的直徑,NBx軸,AB交M于點(diǎn)C. (1)若點(diǎn)A0,6,N0,2,ABN=30,求點(diǎn)B的坐標(biāo); (2)若D為線段NB的中點(diǎn),求證:直線CD是M的切線.圖T7-2|類型2|垂徑定理與勾股定理聯(lián)手3.xx金華 如圖T7-3,已知:AB是O的直徑,點(diǎn)C在O上,CD是O的切線,ADCD于點(diǎn)D.E是AB延長線上的一 點(diǎn),CE交O于點(diǎn)F,連接OC,AC. (1)求證:AC平分DAO. (2)若DAO=105,E=30. 求OCE的度數(shù); 若O的半徑為22,求線段EF的長.圖T7-3|類型3|與圓有關(guān)的圖形的面積4.xx達(dá)州 已知,如圖T7-4,以等邊三角形ABC的邊BC為直徑作O,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作DFAC于點(diǎn) F. (1)求證:DF是O的切線; (2)若等邊三角形ABC的邊長為8,求由DE,DF,EF圍成的陰影部分的面積.圖T7-4|類型4|與圓的切線有關(guān)的問題5.xx揚(yáng)州 如圖T7-5,已知OABC的三個頂點(diǎn)A,B,C在以O(shè)為圓心的半圓上,過點(diǎn)C作CDAB,分別交AB,AO的延 長線于點(diǎn)D,E,AE交半圓O于點(diǎn)F,連接CF. (1)判斷直線DE與半圓O的位置關(guān)系,并說明理由. (2)求證:CF=OC; 若半圓O的半徑為12,求陰影部分的周長.圖T7-5|類型5|圓與四邊形結(jié)合的問題6.正方形ABCD內(nèi)接于O,如圖T7-6所示,在劣弧AB上取一點(diǎn)E,連接DE,BE,過點(diǎn)D作DFBE交O于點(diǎn)F,連接 BF,AF,且AF與DE相交于點(diǎn)G,求證: (1)四邊形EBFD是矩形; (2)DG=BE.圖T7-6|類型6|圓與三角函數(shù)結(jié)合的問題7.如圖T7-7,AB是O的弦,點(diǎn)C為半徑OA的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CDOA交弦AB于點(diǎn)E,連接BD,且DE=DB. (1)判斷BD與O的位置關(guān)系,并說明理由; (2)若CD=15,BE=10,tanA=512,求O的直徑.圖T7-7|類型7|圓與相似三角形結(jié)合的問題8.xx黃岡 已知:如圖T7-8,MN為O的直徑,ME是O的弦,MD垂直于過點(diǎn)E的直線DE,垂足為點(diǎn)D,且ME平分DMN. 求證:(1)DE是O的切線; (2)ME2=MDMN.圖T7-8參考答案1.解:(1)證明:作ODAB于D,如圖所示:劣弧MN的長為65,90OM180=65,解得OM=125,即O的半徑為125,直線y=-43x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,當(dāng)y=0時,x=3;當(dāng)x=0時,y=4,A(3,0),B(0,4),OA=3,OB=4,AB=32+42=5,AOB的面積=12ABOD=12OAOB,OD=OAOBAB=125=半徑,直線AB與O相切.(2)圖中所示的陰影部分的面積=AOB的面積-扇形OMN的面積=1234-141252=6-3625.2.解:(1)A的坐標(biāo)為(0,6),N的坐標(biāo)為(0,2),AN=4,ABN=30,ANB=90,AB=2AN=8,由勾股定理可知:NB=43,B(43,2).(2)證明:連接MC,NC.AN是M的直徑,ACN=90,NCB=90,在RtNCB中,D為NB的中點(diǎn),CD=12NB=ND,CND=NCD,MC=MN,MCN=MNC.MNC+CND=90,MCN+NCD=90,即MCCD.直線CD是M的切線.3.解:(1)證明:CD是O的切線,OCCD.ADCD,OCAD.DAC=ACO.OA=OC,OAC=ACO.DAC=OAC.AC平分DAO.(2)OCAD,EOC=DAO=105.OCE=180-EOC-E=18010530=45.如圖,過點(diǎn)O作OGCE于G,可得FG=CG.在RtOGC中,OC=22,OCE=45,OG=CG=2222=2.FG=CG=2.在RtOGE中,OG=2,E=30,EG=OGtanE=233=23.EF=EG-FG=23-2.4.解:(1)證明:連接OD,CD.BC是直徑,BDC=90.ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),ODAC.DFAC,ODDF.OD是半徑,DF是O的切線.(2)連接OD,OE,DE.同(1)可知點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),DE是ABC的中位線,ADE是等邊三角形.等邊三角形ABC的邊長為8,等邊三角形ADE的邊長為4.DFAC,EF=2,DF=23.DEF的面積=12EFDF=12223=23.ADE的面積=ODE的面積=43.扇形ODE的面積=6042360=83.陰影部分的面積=DEF的面積+ODE的面積-扇形ODE的面積=23+43-83=63-83.5.解:(1)DE與半圓O相切.理由如下:CDAB,D=90.四邊形ABCO是平行四邊形,OCAD,OCE=D=90,OCDE.又OC是半圓O的半徑,DE與半圓O相切.(2)證明:連接AC,四邊形ABCO是平行四邊形,AB=OC,BCAF,BCA=FAC,BA=CF,BA=CF,CF=OC.CF=OC=OF,OCF為等邊三角形,COF=60,在RtOCE中,CE=3OC=123,OE=2OC=24,EF=12,lCF=6012180=4,C陰影部分=EF+CE+lCF=12+123+4.6.解析 (1)直接利用正方形的性質(zhì)、圓周角定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得出BED=BAD=90,BFD=BCD=90,EDF=90,進(jìn)而得出答案;(2)直接利用正方形的性質(zhì)得出AD的度數(shù)是90,進(jìn)而得出DG=DF,則BE=DG.證明:(1)正方形ABCD內(nèi)接于O,BED=BAD=90,BFD=BCD=90,又DFBE,EDF+BED=180,EDF=90,四邊形EBFD是矩形.(2)正方形ABCD內(nèi)接于O,AD的度數(shù)是90,AFD=45,又GDF=90,DGF=DFG=45,DG=DF,又在矩形EBFD中,BE=DF,BE=DG.7.解析 (1)連接OB,由圓的半徑相等和已知條件證明OBD=90,即可證明BD是O的切線;(2)過點(diǎn)D作DGBE于G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=12BE=5,由兩角相等的三角形相似,得ACEDGE,利用相似三角形對應(yīng)角相等得到sinEDG=sinA=513,在RtEDG中,利用勾股定理求出DG的長,根據(jù)三角形相似得到比例式,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果.解:(1)BD與O相切.理由如下:連接OB,OB=OA,DE=DB,A=OBA,DEB=ABD,又CDOA,A+AEC=A+DEB=90,OBA+ABD=90,OBBD,BD是O的切線.(2)如圖,過點(diǎn)D作DGBE于G,DE=DB,EG=12BE=5,ACE=DGE=90,AEC=GED,ACEDGE,GDE=A,tanA=512,sinA=513,sinEDG=sinA=EGDE=513,DE=13,在RtEDG中,DG=DE2-EG2=12,CD=15,DE=13,CE=2,ACEDGE,ACDG=CEGE,AC=CEGEDG=245,O的直徑=2OA=4AC=965.8.證明:(1)OM=OE,OME=OEM.ME平分DMN,OME=DME.OEM=DME.MDDE,MDE=90.在MDE中,DEM+DME=90.DEM+OEM=90.即OED=90,OEDE.又OE為O的半徑,DE是O的切線.(2)如圖,連接NE.MN為O的直徑,MEN=90.MEN=MDE=90.又由(1)可知,NME=DME.DME EMN.MDME=MEMN,ME2=MDMN.