二次函數(shù)的綜合問題 15 二次函數(shù)的綜合問題 限時(shí):30分鐘 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.[xx蘇州] 若二次函數(shù)y=ax2+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2,0),則關(guān)于x的方程a(x-2)2+1=0的實(shí)數(shù)根為 (　　) A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6 C.x1=32,x2=52 D.x1=-4,x2=0 2.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根分別為x1=1,x2=2,那么拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線 (　　) A.x=1 B.x=2 C.x=32 D.x=-32 3.[xx連云港] 已知學(xué)校航模組設(shè)計(jì)制作的火箭的升空高度h(m)與飛行時(shí)間t(s)滿足函數(shù)表達(dá)式h=-t2+24t+1.下列說法中正確的是 (　　) A.點(diǎn)火后9 s和點(diǎn)火后13 s的升空高度相同 B.點(diǎn)火后24 s火箭落于地面 C.點(diǎn)火后10 s的升空高度為139 m D.火箭升空的最大高度為145 m 4.[xx河池二模] 如圖K15-1,四邊形OABC是邊長為1的正方形,OC與x軸正半軸的夾角為15,點(diǎn)B在拋物線y=ax2(a<0)的圖象上,則a的值為 (　　) 圖K15-1 A.-23 B.-23 C.-2 D.-12 5.[xx萊蕪] 若函數(shù)y=ax2+2ax+m(a<0)的圖象過點(diǎn)(2,0),則使函數(shù)值y<0成立的x的取值范圍是 (　　) A.x<-4或x>2 B.-4<x<2 C.x<0或x>2 D.0<x<2 6.[xx揚(yáng)州一模] 一種包裝盒的設(shè)計(jì)方法如圖K15-2所示,四邊形ABCD是邊長為80 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)O,形成一個底面為正方形的長方體包裝盒.設(shè)BE=CF=x cm,要使包裝盒的側(cè)面積最大,則x應(yīng)取 (　　) 圖K15-2 A.30 cm B.25 cm C.20 cm D.15 cm 7.如圖K15-3,我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點(diǎn)A,B,C,D分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-3,AB為半圓的直徑,則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為　　　　. 圖K15-3 8.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-(2m+3)x+m2+2. (1)若二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. (2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0),且滿足x12+x22=31+|x1x2|,求實(shí)數(shù)m的值. 能力提升 9.[xx杭州] 四位同學(xué)在研究函數(shù)y=x2+bx+c(b,c是常數(shù))時(shí),甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最小值;乙發(fā)現(xiàn)-1是方程x2+bx+c=0的一個根;丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3;丁發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時(shí),y=4.已知這四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯誤的,則該同學(xué)是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.在平面直角坐標(biāo)系中,橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)(x,y)稱為整點(diǎn).如果將二次函數(shù)y=-x2+8x-394的圖象與x軸所圍成的封閉圖形染成紅色,則此紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點(diǎn)共有　　　　個. 11.如圖K15-4,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+x的對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)為A.點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn),連接OA,OP.當(dāng)OA⊥OP時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　. 圖K15-4 12.若二次函數(shù)y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常數(shù))與y2=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常數(shù))滿足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. (1)請寫出兩個互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的函數(shù). (2)若函數(shù)y=x2-43mx-2n+1與y=-x2-2nx+3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”,求(m-2n)2019的值. (3)已知函數(shù)y=x2-x-2的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)A,B,C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A1,B1,C1,試問:經(jīng)過點(diǎn)A1,B1,C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=x2-x-2互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”嗎?請說明理由. 13.[xx陜西] 已知拋物線L:y=x2+x-6與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C. (1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),并求△ABC的面積; (2)將拋物線L向左或向右平移,得到拋物線L,則L與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C,要使△ABC和△ABC的面積相等,求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式. 拓展練習(xí) 14.[xx株洲] 如圖K15-5,已知二次函數(shù)y=ax2-53x+c(a>0)的圖象與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2. (1)若拋物線的對稱軸為直線x=3,求a的值; (2)若a=15,求c的取值范圍; (3)若該拋物線與y軸相交于點(diǎn)D,連接BD,且∠OBD=60,拋物線的對稱軸l與x軸相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F是直線l上的一點(diǎn),點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3+12a,連接AF,滿足∠ADB=∠AFE,求該二次函數(shù)的表達(dá)式. 圖K15-5 參考答案 1.A　[解析] ∵y=ax2+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2,0),∴4a+1=0.解得a=-14.∴-14(x-2)2+1=0.解得x1=0,x2=4. 2.C　3.D　4.B　5.A 6.C　[解析] 如圖,因?yàn)锽E=CF=x,所以EF=80-2x.∵△EFM和△CFN都是等腰直角三角形,∴MF=22EF=402-2x,FN=2FC=2x.∴包裝盒的側(cè)面積=4MFFN=42x(402-2x)=-8(x-20)2+3200.∴當(dāng)x=20時(shí),包裝盒的側(cè)面積最大. 7.3+3　[解析] 連接AC,BC.∵拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-3,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-3).∴OD的長為3.設(shè)y=0,則0=x2-2x-3.解得x=-1或3.∴A(-1,0),B(3,0).∴AO=1,BO=3.∵AB為半圓的直徑,∴∠ACB=90.∵CO⊥AB,易得△ACO∽△CBO,∴COBO=AOCO,∴CO2=AOBO=3.∴CO=3.∴CD=CO+OD=3+3. 8.解:(1)由題意,得[-(2m+3)]2-41(m2+2)>0,解得m>-112. (2)由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=2m+3, x1x2=m2+2,因?yàn)閤12+x22=31+|x1x2|, 所以(x1+x2)2-2x1x2=31+|x1x2|. (2m+3)2-2(m2+2)=31+m2+2, 整理,得m2+12m-28=0. 解得m1=2,m2=-14(舍去). ∴當(dāng)m=2時(shí),滿足x12+x22=31+|x1x2|. 9.B 10.25　[解析] 將二次函數(shù)化簡,得y=-(x-4)2+254.令y=0,得x=132或32,所以在紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點(diǎn)有(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2)共25個,故答案為25. 11.(2,-4)　[解析] ∵拋物線y=ax2+x的對稱軸為直線x=2,∴-12a=2.∴a=-14.∴拋物線的表達(dá)式為y=-14x2+x=-14(x-2)2+1.∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1).設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.如圖,在Rt△AOE和Rt△POE中,tan∠OAE=OEAE,tan∠EOP=PEOE.∵OA⊥OP,∴∠OAE=∠EOP.∴OEAE=PEOE.∵AE=1,OE=2,∴21=PE2.解得PE=4.∴P(2,-4).故答案為(2,-4). 12.解:(1)答案不唯一,如:y=x2和y=-x2. (2)∵函數(shù)y=x2-43mx-2n+1與y=-x2-2nx+3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”, ∴-43m=-2n且-2n+1+3=0. 解得m=3,n=2.∴(m-2n)2019=(3-22)2019=-1. (3)經(jīng)過點(diǎn)A1,B1,C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=x2-x-2互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. 理由是:∵函數(shù)y=x2-x-2的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),∴A(-1,0),B(2,0),C(0,-2). ∵點(diǎn)A,B,C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A1,B1,C1, ∴A1(1,0),B1(-2,0),C1(0,2). 設(shè)過A1,B1,C1三點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式為y1=a(x-1)(x+2), 把點(diǎn)C1的坐標(biāo)代入,得2=a(0-1)(0+2). 解得a=-1.∴y1=-(x-1)(x+2)=-x2-x+2. ∵y=x2-x-2,1+(-1)=0,-1=-1,2+(-2)=0, ∴經(jīng)過點(diǎn)A1,B1,C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=x2-x-2互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. 13.解:(1)令y=0,得x2+x-6=0.解得x1=-3,x2=2. ∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),∴A(-3,0),B(2,0). ∴AB=|2-(-3)|=5. ∵當(dāng)x=0時(shí),y=-6,∴C(0,-6).∴S△ABC=1256=15. (2)y=x2+x-6=x+122-254. 設(shè)平移后的拋物線解析式為y=(x+h)2-254. 根據(jù)題意可知,AB=AB,要使△ABC和△ABC的面積相等,只需高相等即可,故平移后的拋物線應(yīng)過點(diǎn)(0,-6)或點(diǎn)(0,6). ①若過點(diǎn)(0,-6),則h2-254=-6.解得h1=12(舍去),h2=-12.故此時(shí)滿足條件的拋物線解析式為y=x-122-254=x2-x-6. ②若過點(diǎn)(0,6),則h2-254=6.解得h1=72,h2=-72. 故此時(shí)滿足條件的拋物線解析式為y=x+722-254=x2+7x+6或y=x-722-254=x2-7x+6. 綜上所述,滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-x-6,y=x2+7x+6或y=x2-7x+6. 14.解:(1)∵對稱軸為x=-b2a=--532a=3,∴a=52. (2)∵a=15, ∴15x2-53x+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根. ∴(-53)2-415c>0.∴c<54. (3)如圖,過點(diǎn)A作AM⊥BD于M. ∵點(diǎn)D是y=ax2-53x+c的圖象與y軸的交點(diǎn), ∴OD=c. 在Rt△BOD中,∠OBD=60,OD=c, ∴OB=33c,BD=233c. ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為33c,0. 代入二次函數(shù)的解析式,得a33c2-5333c+c=0. ∴ac=12.∴c=12a. ∴BD=233c=83a,OB=33c=43a. ∵直線EF是y=ax2-53x+c的圖象的對稱軸, ∴xE=532a. ∴BE=xB-xE=43a-532a=332a. ∴AE=BE=332a,AB=33a. 在Rt△AMB中,∠OBD=60,AB=33a, ∴AM=92a,BM=332a. ∴DM=BD-BM=83a-332a=1332a. ∵∠ADB=∠AFE, ∴tan∠ADB=tan∠AFE. ∴AMDM=AEEF.∴92a1332a=332a3+12a.∴a=2. ∵ac=12,∴c=6. ∴y=2x2-53x+6.