教材同步復(fù)習(xí)第一部分 第四章三角形課時(shí)17等腰三角形與直角三角形2知識(shí)要點(diǎn) 歸納知識(shí)點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定知識(shí)點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定概念概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形性質(zhì)性質(zhì)(1)兩底角相等，即兩底角相等，即BC；(2)兩腰相等，即兩腰相等，即ABAC；(3)是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸，即是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸，即AD所在的直線；所在的直線；(4)“三線合一三線合一”(即頂角的即頂角的_、底邊上的中線和、底邊上的中線和底邊上的高互相重合底邊上的高互相重合)平分線3判定判定(1)兩邊相等的三角形是等腰三角形；兩邊相等的三角形是等腰三角形；(2)_相等的三角形是等腰三角形相等的三角形是等腰三角形周長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積面積周長(zhǎng)：周長(zhǎng)：Ca2b；面積：面積：S_(其中其中a是底邊長(zhǎng)，是底邊長(zhǎng)，b是腰長(zhǎng)，是腰長(zhǎng)，h是底邊上的高是底邊上的高)兩角 【注意】(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，常用的輔助線有三種：作等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線；(2)“三線合一”定理中條件和結(jié)論之間的互換性，即若三角形的三線中有兩線重合，則可得到此三角形必是等腰三角形，因此以上情況可簡(jiǎn)稱為“兩線合一則等腰”，這可作為等腰三角形的一種判定方法；(3)當(dāng)在三角形中出現(xiàn)了高、中線或角平分線時(shí)，有時(shí)可以延長(zhǎng)某些線段以構(gòu)造等腰三角形，然后用三線合一定理去處理 【易錯(cuò)提示】(1)當(dāng)已知等腰三角形的一個(gè)角時(shí)，要先確定該角是頂角還是底角，分情況進(jìn)行討論；(2)當(dāng)已知等腰三角形的兩邊，確定哪條邊作為腰或底時(shí)，一定不要忽視三角形的三邊關(guān)系45D 2如圖，在ABC中，ABADDC，B70，則C的度數(shù)為() A35B40 C45 D506A7知識(shí)點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定知識(shí)點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定三60三條60 【注意】1.在三角形中，證明兩條線段或兩個(gè)角相等，常用的方法：(1)如果線段或角在同一個(gè)三角形中，先考慮用“等邊對(duì)等角”“等角對(duì)等邊”來(lái)證明；(2)如果線段或角不在同一個(gè)三角形中，可證明兩個(gè)三角形全等，或通過(guò)等腰三角形“三線合一”來(lái)解決. 8 2等腰三角形與等邊三角形的對(duì)比、分析960平分線1310三兩三60【夯實(shí)基礎(chǔ)】113如圖，如圖，AD是等邊三角形是等邊三角形ABC的中線，的中線，AEAD，則，則EDC()A30B20C25 D154如圖，如圖，ABAC8 cm, DBDC. 若若ABC60，則，則BE_cm.D412知識(shí)點(diǎn)三直角三角形與勾股定理知識(shí)點(diǎn)三直角三角形與勾股定理一半一半a2b2c2301390a2b2c2 【夯實(shí)基礎(chǔ)】 5如圖，在RtABC中，C90，AC6，AB10，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為() A2B4 C6 D814B 6如果下列各組數(shù)是三角形的三邊長(zhǎng)，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是() A7,24,25 B5a,4a,3a(a0) C5,12,13 D0.3,0.4,0.715D16知識(shí)點(diǎn)四等腰直角三角形的性質(zhì)與判定知識(shí)點(diǎn)四等腰直角三角形的性質(zhì)與判定概念概念有一個(gè)角是直角，且兩條直角邊相等的三角形叫做等腰直角三角形有一個(gè)角是直角，且兩條直角邊相等的三角形叫做等腰直角三角形性質(zhì)性質(zhì)(1)兩直角邊相等，即兩直角邊相等，即ACBC；(2)兩銳角相等且都等于兩銳角相等且都等于45；(3)是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸，即是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸，即CD；(4)“三線合一三線合一”1718122.5 【例1】(2018婁底)如圖，ABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，DEAB于點(diǎn)E，BFAC于點(diǎn)F，DE3 cm，則BF_cm.19重難點(diǎn) 突破考點(diǎn)考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定(高頻考點(diǎn)高頻考點(diǎn))620 【例2】如圖，已知ABC中，ABAC5，BC8. 若ABC沿射線BC方向平移m個(gè)單位得到DEF，頂點(diǎn)A，B，C分別與D，E，F(xiàn)對(duì)應(yīng). 若以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn) 【思路點(diǎn)撥】已知ADE是等腰三角形，所以可以分3種情況討論：當(dāng)ADAE時(shí)，ADE是等腰三角形過(guò)點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M，利用勾股定理列方程可得結(jié)論；當(dāng)ADDE時(shí)，四邊形ABED是菱形，可得m5；當(dāng)AEDE時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，m8.21的三角形是等腰三角形，則m的值是_.22答圖1 23圖2 圖3答圖 本題考查等腰三角形的判定及分類討論思想.在我們遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決. 由上述幾類問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所要研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類，然后逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想.分類討論一方面可將復(fù)雜的問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，另一方面恰當(dāng)?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問(wèn)題的能力和周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng).24 【例3】(2018福建)如圖，等邊三角形ABC中，ADBC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，EBC45，則ACE等于 () A15 B30 C45 D6025考點(diǎn)考點(diǎn)2等邊三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算等邊三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】先判斷出先判斷出AD是是BC的垂直平分線，進(jìn)而求出的垂直平分線，進(jìn)而求出ECB45，即可，即可得出結(jié)論得出結(jié)論A 【解答】等邊三角形ABC中，ADBC，BDCD，即AD是BC的垂直平分線 點(diǎn)E在AD上， BECE，EBCECB. EBC45，ECB45. ABC是等邊三角形，ACB60， ACEACBECB15.26 【例4】(2018湘潭)九章算術(shù)是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，ABC中，ACB90，ACAB10，BC3，求AC的長(zhǎng)如果設(shè)ACx，則可列方程為_(kāi).27考點(diǎn)考點(diǎn)3直角三角形與勾股定理直角三角形與勾股定理(高頻考點(diǎn)高頻考點(diǎn))【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】設(shè)設(shè)ACx，可知，可知AB10 x，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論【解答解答】設(shè)設(shè)ACx，ACAB10，AB10 x.在在RtABC中，中，ACB90，AC2BC2AB2，即，即x232(10 x)2.x232(10 x)2 本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用2829易錯(cuò)點(diǎn)等腰三角形、直角三角形的分類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)等腰三角形、直角三角形的分類問(wèn)題 【錯(cuò)解分析】本題未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以兩條邊中較長(zhǎng)邊4既可以是直角邊，也可以是斜邊，求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后用勾股定理求解即可30