1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)求幾何體的側(cè)面積與表面積2,3求幾何體的體積1,4,7組合體的表面積與體積5,6,9綜合問(wèn)題8,10,11基礎(chǔ)鞏固1.(2018河南焦作期末)一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓,則該圓錐的體積為(D)(A)23(B)3(C)233 (D)33解析:由題圓錐的底面周長(zhǎng)為2,底面半徑為1,圓錐的高為3,圓錐的體積為13123=33,故選D.2.(2018安徽馬鞍山期中)若圓錐的高等于底面直徑,則它的底面積與側(cè)面積之比為(C)(A)12(B)13(C)15(D)32解析:若圓錐的高等于底面直徑,則h=2r,則母線l=h2+r2=5r,而圓錐的底面面積為r2,圓錐的側(cè)面積為rl=5r2,故圓錐的底面積與側(cè)面積之比為15,故選C.3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(D)(A)2(B)4(C)5(D)6解析:由該幾何體是圓柱,底面直徑為2,高h(yuǎn)=2,表面積S=6.故選D.4.如圖,已知正六棱柱的最大對(duì)角面的面積為4,互相平行的兩個(gè)側(cè)面的距離為 2,則這個(gè)六棱柱的體積為(B)(A)3(B)6(C)12(D)15解析:設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為h,因?yàn)檎庵淖畲髮?duì)角面的面積為4,互相平行的兩個(gè)側(cè)面的距離為2,所以2ah=4,3a=2,解得a=233,h=3,故V=Sh=612(233)2sin 603=6.故選B.5.某幾何體的三視圖如圖所示,俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是(B)(A)203(B)103(C)6(D)163解析:該幾何體的上方是以2為底面圓的半徑,高為2的圓錐的一半,下方是以2為底面圓的半徑,高為1的圓柱的一半,其體積為V=2212+ 1213222=2+43=103.6.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于 cm3.解析:幾何體為三棱柱去掉一個(gè)三棱錐后的幾何體,底面是直角三角形,直角邊長(zhǎng)分別為3,4,側(cè)面的高為5,被截取的棱錐的高為3.如圖:V=V棱柱-V棱錐=12345-1312343=24(cm3).答案:247.若圓錐的側(cè)面積為2,底面面積為,則該圓錐的體積為 .解析:由題底面半徑是1,圓錐的母線為2,則圓錐的高為3,所以圓錐的體積為133=33.答案:33能力提升8.(2018山西山大附中高二上期中)在三棱錐PABC中,三條側(cè)棱兩兩互相垂直,側(cè)棱長(zhǎng)為a,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為(C)(A)a(B)22a(C)33a(D)3a解析:設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,因?yàn)槿龡l側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長(zhǎng)為a,所以AB=BC=AC=2a,所以SABC=32a2,根據(jù)VAPBC=VPABC,可得1312a3=1332a2h,所以h=33a,即點(diǎn)P到平面ABC的距離為33a,故選C.9.(2018湖南郴州二模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(B)(注:平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;一尺等于十寸;臺(tái)體的體積公式V=13(S上+S上S下+S下)h)(A)2寸(B)3寸(C)4寸(D)5寸解析:如圖,由題意可知,天池盆上底面半徑為14寸,下底面半徑為6寸,高為18寸.因?yàn)榉e水深9寸,所以水面半徑為12(14+6)=10寸,則盆中水的體積為139(62+102+610)=588(立方寸),所以平地降雨量等于588142=3(寸).故選B.10.如圖,四邊形ABCD中,ABAD,AB=1,C到AB與AD的距離分別為1和2,若將四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解:旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)的組合體,V圓錐=13222=83,V圓臺(tái)=131(22+12+21)=73,所以V=V圓錐+V圓臺(tái)=5.探究創(chuàng)新11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,P是BC的中點(diǎn),點(diǎn)Q是棱CC1上的動(dòng)點(diǎn).(1)點(diǎn)Q在何位置時(shí),直線D1Q,DC,AP交于一點(diǎn),并說(shuō)明理由;(2)求三棱錐B1-DBQ的體積;(3)若點(diǎn)Q是棱CC1的中點(diǎn)時(shí),記過(guò)點(diǎn)A,P,Q三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積為S,求S.解:(1)當(dāng)Q是棱CC1的中點(diǎn)時(shí),直線D1Q,DC,AP交于一點(diǎn),理由:延長(zhǎng)D1Q、DC交于點(diǎn)O,則QC為DD1O的中位線,所以C為DO的中點(diǎn),延長(zhǎng)AP、DC交于點(diǎn)O,則PC為ADO的中位線,所以C為DO的中點(diǎn),所以點(diǎn)O與點(diǎn)O重合,所以直線D1Q、DC、AP交于一點(diǎn).(2)VB1DBQ=VDB1BQ=13(1222)2=43.(3)連接AD1、PQ,由(1)知,AD1PQ,所以梯形APQD1為所求截面,梯形APQD1的高為D1Q2-14(AD1-PQ)2=322,S=12(2+22)322=92.