《高等數(shù)學：第七章 第3節(jié)平面及其方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學：第七章 第3節(jié)平面及其方程（29頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1祝同學們在新學期祝同學們在新學期 取得更好的成績?nèi)〉酶玫某煽?磨璞見玉 礪劍生輝2第七章第七章 空間解析幾何 6 6學時學時第九章第九章 重積分 1212學時學時第十章第十章 曲線積分與曲面積分 1414學時學時第十一章第十一章 無窮級數(shù) 1616學時學時第十二章第十二章 微分方程 1414學時學時總復習 4 4學時學時第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應用 2020學時學時總計總計 88學時學時內(nèi)容與學時內(nèi)容與學時高等數(shù)學實驗高等數(shù)學實驗 2學時學時3平面及其方程第三節(jié)一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角四、小結及作業(yè)4xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直

2、于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設平面上的任一點為設平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點法式方程n:平面的法向量平面的法向量5,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程 其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zyx:用法用法.方程方程就可寫出平面的點法式就可寫出平面的點法式及一個法向量及一個法向量只要知道平面上的一點只要知

3、道平面上的一點61例例.,),(的平面方程的平面方程且垂直于向量且垂直于向量求過點求過點19144120nM:解解由點法式得由點法式得0419214)()()(zyx015914zyx7例例 2 2 求過三點求過三點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程. 解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx132643kji83例例求此平面方程。面上夾角平分線軸軸與且垂直于已知平面過點),()3 , 2 ,

4、 1 (yozzyAxyzo:解解,010j,100k在角平分線上在角平分線上,110kj,110n方程方程032)()(zy5 zy即即9由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程10平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標面

5、；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.114例例軸的平面方程和求過點xA)1, 3, 4(:解解,軸軸平面過平面過x0CzBy可設方程為可設方程為代入將點) 1, 3, 4(A03CBBC303 BzBy即即03 zy12例例 5 5 求過點求過點)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zy

6、x所求平面方程為所求平面方程為解解13例例 6 6 設平面過原點及點設平面過原點及點)2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. 設平面為設平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解?:怎樣求點法式方程怎樣求點法式方程問題問題14例例 7 7 設設平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中

7、中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程. 設平面為設平面為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解15,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設方程得代入所設方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距16設平面為設平面為, 022Dzyxxyzo, 122DzDyDx即即解解12261)(DDD由題意由題意332D平面方程為平面方程為032223zyx0522zyx例8 求平行與平面 而與三個坐標面圍成的四面體體積為1的平面方程

8、。17設平面為設平面為, 022Dzyxxyzo, 122DzDyDx即即解解12261)(DDD由題意由題意332D平面方程為平面方程為032223zyx0522zyx例8 求平行與平面 而與三個坐標面圍成的四面體體積為1的平面方程。18定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角19按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCB

9、ACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 20例例9 9 研究以下各組里兩平面的位置關系：研究以下各組里兩平面的位置關系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 21)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0

10、, 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.22例例 1 10 0 設設),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz 外外一一點點，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101010PrPrnPPPPjPPjnn,10101001zzyyxxPP 解解23 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()(

11、)(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 240111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式2511例例的距離到平面求點01) 1 , 1 , 2(zyxA:解解3111111121222）（)(d12例例相切的平面方程相切的平面方程球面球面且與且與求平行于平面求平行于平面4100222zyxzyx: :解解0Dzyx的平面方程可設為的平面方程可設為平行于平行于 平面與球面相切平面與球面相切2111000222D32 D平面方

12、程平面方程032zyx26平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點到平面的距離公式點到平面的距離公式.點法式方程點法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）四、小結27練習與思考題練習與思考題解答：解答：,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k28已知一平面過點（1，0，3），且在三個軸上的截距之比為3:2:1:cba求此平面方程。解：解：設所求方程為：1czbyaxacabcba3,23:2:1:又知平面過點（1，0，3）于是有133201aaa6, 4, 2cba所求平面方程為：1642zyx2、293、一平面通過 x 軸，且與平面0 yx的夾角為,3求此平面方程。解：解：由題意設所求平面方程為：0CzBy其與平面0 yx的夾角為,3由公式可得222) 1(13cosCBBBCB2222平方后移項得：BC代入所設平面方程：0)( zyB0B所求平面方程為：0 zy或0 zy