第第6 6講講 一元二次方程一元二次方程欄目索引總綱目錄泰安考情分析泰安考情分析基礎知識過關基礎知識過關泰安考點聚焦泰安考點聚焦總綱目錄總綱目錄隨堂鞏固練習隨堂鞏固練習欄目索引泰安考情分析泰安考情分析欄目索引基礎知識過關基礎知識過關知識點一知識點一 一元二次方程的相關概念一元二次方程的相關概念知識點二知識點二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法知識點四知識點四 一元二次方程根與系數(shù)的關系一元二次方程根與系數(shù)的關系知識點三知識點三 一元二次方程的根的判別式及其應用一元二次方程的根的判別式及其應用知識點五知識點五 一元二次方程的應用一元二次方程的應用欄目索引基礎知識過關知識點一知識點一 一元二次方程的相關概念一元二次方程的相關概念1.1.一元二次方程一元二次方程:只含有 一個 未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a0) ,其中ax2叫做二次項,a叫做二次項系數(shù),bx 叫做一次項,b叫做一次項系數(shù),c叫做 常數(shù)項 .溫馨提示溫馨提示 判定一個方程是不是一元二次方程時要注意以下三點:(1)只含有一個未知數(shù);(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(3)方程是整式方程.一元二次方程的一般形式要注意二次項系數(shù)a0這一條件.欄目索引基礎知識過關2.2.一元二次方程的解一元二次方程的解: :使方程左右兩邊 相等 的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.欄目索引基礎知識過關知識點二知識點二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法欄目索引基礎知識過關解法定義步驟直接開平方法形如(mx+n)2=r(r0)的方程,兩邊開平方,可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解,這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法1.開方:對滿足直接開平方的方程左右兩邊開平方;2.寫解:正確寫出原方程的根配方法把一元二次方程通過配方化為(mx+n)2=r(r0)的形式,再用直接開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫做配方法1.變形:方程左邊變形為只含有二次項(二次項系數(shù)為1)和一次項的形式,右邊為常數(shù)項;2.配方:方程左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方;3.開方:方程左邊寫成完全平方式再開方,右邊計算后開方;4.寫解:正確寫出原方程的根公式法用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式:x= (b2-4ac0)1.整理:將原一元二次方程整理成一般形式;2.求根的判別式:計算=b2-4ac;3.代入求根公式;4.寫解:正確寫出原方程的根因式分解法如果一元二次方程的左邊可以分解為兩個一次因式的積,那么根據(jù)兩個因式至少有一個為0,原方程可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解,這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法1.變形:使原方程右邊為零;2.因式分解:將原方程左邊分解為兩個一次因式的積的形式;3.轉(zhuǎn)化:令方程左邊的兩個因式分別為零,求解;4.寫解:正確寫出原方程的根2bb42aac 欄目索引基礎知識過關溫馨提示溫馨提示 解一元二次方程時,要根據(jù)方程的特點靈活選擇合適的方法,一般優(yōu)先考慮直接開平方法,然后考慮因式分解法,再次考慮公式法、配方法,公式法和配方法可以解所有判別式大于或等于零的一元二次方程.欄目索引基礎知識過關知識點三知識點三 一元二次方程的根的判別式及其應用一元二次方程的根的判別式及其應用關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式為 b2-4ac ,一般用符號表示.(1)b2-4ac0方程ax2+bx+c=0(a0)有 兩個不相等 的實數(shù)根;(2)b2-4ac=0方程ax2+bx+c=0(a0)有 兩個相等 的實數(shù)根;(3)b2-4ac .54欄目索引泰安考點聚焦解析解析關于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0無實數(shù)根,=b2-4ac0,即(2k-1)2-4(k2-1) ,故k的取值范圍是k .易錯警示易錯警示 若一元二次方程有實數(shù)根,則應該包括有兩個不相等的實數(shù)根和有兩個相等的實數(shù)根兩種情況,同時滿足二次項系數(shù)不能為零,要注意考慮問題的全面性.5454欄目索引泰安考點聚焦考點四考點四 一元二次方程根與系數(shù)的關系一元二次方程根與系數(shù)的關系中考解題指導中考解題指導(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根,求關于x1,x2的某個代數(shù)式的值,先把這個代數(shù)式變形為含有x1+x2和x1x2的式子,再把x1+x2和x1x2的值整體代入.(2)若給出了關于x1和x2的某個代數(shù)式的值或范圍,要求未知字母系數(shù)的值或范圍,先把這個代數(shù)式進行變形,轉(zhuǎn)化為用x1+x2和x1x2表示的式子,然后根據(jù)所給的值或取值范圍構造方程或不等式,從而求出未知字母系數(shù)的值或范圍.欄目索引泰安考點聚焦例例4 4 (2018濰坊)已知關于x的一元二次方程mx2-(m+2)x + =0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2,若 + =4m,則m的值是 ( A )A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在4m11x21x欄目索引泰安考點聚焦解析解析由題意得=-(m+2)2-4m=4m+40,且m0,解得m-1且m0,由題意知x1+x2= ,x1x2= ,所以 + = = =4m,化簡得m2-m -2=0,解得m1=2,m2 =-1(舍去),所以m 的值為2,故選A.4m2mm1411x21x1212xxx x214mm欄目索引泰安考點聚焦變式變式4-14-1 (2017泰山模擬)一元二次方程x2-3x -2=0的兩根為x1,x2,則下列結(jié)論正確的是 ( C )A.x1=-1,x2=2 B.x1=1,x2=-2C.x1+x2=3 D.x1x2=2解析解析方程x2-3x -2=0的兩根為x1,x2,x1+x2=3,x1x2=-2,C選項正確.欄目索引泰安考點聚焦考點五考點五 一元二次方程的應用一元二次方程的應用中考解題指導中考解題指導列方程解實際問題的關鍵:(1)找到等量關系.(2)在得到方程的解后,要檢驗它是否符合實際意義.考向考向1 1列方程解決實際問題列方程解決實際問題例例5 5某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關系,每盆植3株時,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利減少0.5元,要使每盆的盈利達到15元,每盆應多植多少株?設每盆多植x株,則可以列出的方程是 ( A )A.(x+3)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15欄目索引泰安考點聚焦解析解析由題意得每盆有這種花卉(x+3)株,平均每株盈利(4-0.5x)元,所以可列出的方程為(x+3)(4-0.5x)=15.考向考向2 2增長率增長率( (降低率降低率) )問題的考查問題的考查例例6 6煙臺市某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本,其中固定成本每年均為4萬元,可變成本逐年增長,已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.6萬元,設可變成本平均每年增長的百分率為x.(1)第3年的可變成本用含x的代數(shù)式表示為 2.6(1+x)2 萬元;(2)如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬元,求可變成本平均每年增長的百分率x.欄目索引泰安考點聚焦解析解析(1)2.6(1+x)2.由第1年的可變成本為2.6萬元可以表示出第2年的可變成本,為2.6(1+x)萬元,則第3年的可變成本為2.6(1+x)2萬元.(2)由養(yǎng)殖成本=固定成本+可變成本,得4+2.6(1+x)2=7.146,解得x1=0.1,x2=-2.1(不符合題意,舍去).所以可變成本平均每年增長的百分率為10%.欄目索引泰安考點聚焦考向考向3 3利潤問題的考查利潤問題的考查例例7 7某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為六個檔次,第一檔次(即最低檔次)的產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件,每件利潤為10元.調(diào)查表明:生產(chǎn)的蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次,該產(chǎn)品每件的利潤增加2元.(1)若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤為14元,則此批次蛋糕屬于第幾檔次的產(chǎn)品?(2)由于生產(chǎn)工序不同,蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次,一天產(chǎn)量會減少4件.若生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤為1 080元,則該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的蛋糕產(chǎn)品?欄目索引泰安考點聚焦解析解析(1)根據(jù)生產(chǎn)的蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次,每件產(chǎn)品的利潤增加2元得(14-10)2+1=3,所以每件利潤14元的蛋糕為第三檔次產(chǎn)品.(2)設烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的蛋糕產(chǎn)品,根據(jù)題意得2(x -1)+1076-4(x -1)=1 080,整理得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2=11(不合題意,舍去).答:該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的蛋糕產(chǎn)品.欄目索引泰安考點聚焦考向考向4 4幾何問題的考查幾何問題的考查例例8 8王叔叔從市場上買了一塊長80 cm、寬70 cm的矩形鐵皮,準備制作一個工具箱.如圖,他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長為x cm的正方形后,剩余的部分剛好能圍成一個底面積為3 000 cm2的無蓋長方體工具箱,根據(jù)題意列方程為( C )A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-42=3 000C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-42-(70+80)x =3 000欄目索引泰安考點聚焦解析解析由題意得剩余部分圍成的工具箱的底面是長(80-2x)cm,寬(70-2x)cm的長方形,則由題意得(80-2x)(70-2x)=3 000.欄目索引泰安考點聚焦考向考向5 5單單( (雙雙) )循環(huán)問題的考查循環(huán)問題的考查例例9 9學校要組織足球比賽,賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間賽一場).計劃安排21場比賽,應邀請多少支球隊參賽?設邀請x支球隊參賽.根據(jù)題意,下面所列方程正確的是 ( B )A.x2=21 B.x(x -1)=21C.x2=21 D.x(x -1)=211212欄目索引泰安考點聚焦解析解析邀請x個隊參賽,則每個隊都要進行(x -1)場比賽,但兩隊之間只有一場比賽,由題意得:x(x -1)=21.方法技巧方法技巧列一元二次方程解決實際問題時,首先是將問題進行歸類,明確其中的等量關系,其次是判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.12欄目索引隨堂鞏固訓練一、選擇題一、選擇題1.(2017岱岳二模)將一元二次方程x2-6x -5=0配方后可變形為( A )A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4隨堂鞏固訓練欄目索引隨堂鞏固訓練2.(2017肥城一模)下列選項中,使關于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有實數(shù)根的是 ( D )A.a0 B.a=0C.c0 D.c=03.(2017煙臺)若x1,x2是方程x2-2mx +m2-m-1=0的兩個根,且x1+x2=1-x1x2,則m的值為 ( D )A.-1或2 B.1或-2C.-2 D欄目索引隨堂鞏固訓練二、填空題二、填空題4.(2018德州)若x1,x2是一元二次方程x2+x -2=0的兩個實數(shù)根,則x1+x2+x1x2= -3 .5.(2017新泰模擬)已知關于x的一元二次方程(a -1)x2-2x +1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則a的取值范圍是 a0,解得a2,又二次項系數(shù)不為0,a-10,即a1.故a的取值范圍是a0)的兩個根分別為m +1和2m -4,則 = 4 .ba解析解析易知x2= (ab0),所以x =,所以方程的兩個根互為相反數(shù),即m+1+2m-4=0,解得m=1,所以方程的兩個根為2和-2,所以=2,故 =4.babababa欄目索引隨堂鞏固訓練三、解答題三、解答題7.2016年某市某樓盤以每平方米6 500元的均價對外銷售,因為樓盤滯銷,房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn),決定進行降價促銷,經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào),2018年的均價為每平方米5 265元.(1)求平均每年下調(diào)的百分率;(2)假設2019年的均價仍然下調(diào)相同的百分率,張強準備購買一套100平方米的住房,他持有現(xiàn)金20萬元,可以在銀行貸款30萬元,張強的愿望能否實現(xiàn)?(房價每平方米按照均價計算)欄目索引隨堂鞏固訓練解析解析(1)設平均每年下調(diào)的百分率為x,根據(jù)題意得,6 500(1-x)2=5 265,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).故平均每年下調(diào)的百分率為10%.(2)由題意可知2019年的均價為每平方米5 265(1-10%)=4 738.5元,則100平方米的住房總房款為1004 738.5=47.385萬元,因20+3047.385,所以張強的愿望能夠?qū)崿F(xiàn).