（山西專用）2019中考數(shù)學一輪復習 第三單元 函數(shù) 第14講 二次函數(shù)的綜合應用優(yōu)選習題.doc
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第14講 二次函數(shù)的綜合應用 基礎滿分 考場零失誤 1.(xx東營)如圖,拋物線y=a(x-1)(x-3)(a>0)與x軸交于A、B兩點,拋物線上另有一點C在x軸下方,且使△OCA∽△OBC. (1)求線段OC的長度; (2)設直線BC與y軸交于點M,當點C是BM的中點時,求直線BM和拋物線的解析式; (3)在(2)的條件下,直線BC下方拋物線上是否存在一點P,使得四邊形ABPC的面積最大?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由. 能力升級 提分真功夫 2.(xx河南,23,11分)如圖,拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A,B兩點,交y軸于點C.直線y=x-5經過點B,C. (1)求拋物線的解析式; (2)過點A的直線交直線BC于點M. ①當AM⊥BC時,過拋物線上一動點P(不與點B,C重合),作直線AM的平行線交直線BC于點Q,若以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P的橫坐標; ②連接AC,當直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時,請直接寫出點M的坐標. 3.(xx太原二模)綜合與探究 如圖,拋物線y=-33x2-233x+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,直線l經過B,C兩點,點M從點A出發(fā)沿x軸以每秒1個單位長度的速度向終點B運動,連接CM,將線段MC繞點M順時針方向旋轉90得到線段MD,連接CD,BD.設點M運動的時間為t(t>0),請解答下列問題: (1)求點A的坐標與直線l的表達式; (2)①直接寫出點D的坐標(用含t的式子表示),并求點D落在直線l上時的t的值; ②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值; (3)在點M運動的過程中,在直線l上是否存在點P,使得△BDP是等邊三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由. 預測猜押 把脈新中考 4.(2019原創(chuàng)預測)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線:y=ax2+bx+c的頂點坐標為C(-1,3),與x軸交于點A,B,點A的坐標為(-3,0),其對稱軸為直線m,點D(0,2)為y軸上的一點,AD與m交于點E,將△ACE沿x軸以每秒1個單位的速度向右平移,得到△ACE,直線AC分別與直線AD交于點F,與直線m交于點G. (1)求拋物線的表達式; (2)請直接用含t的代數(shù)式表示點A,F,G的坐標; (3)當t=23時,請判斷AF與FG的數(shù)量關系,并說明理由; (4)請直接寫出在平移過程中,點A,F,G中,一點為另兩點構成的線段中點時t的值. 答案精解精析 基礎滿分 1.解析 (1)由題可知當y=0時,a(x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0), ∴OA=1,OB=3, ∵△OCA∽△OBC, ∴OC∶OB=OA∶OC, ∴OC2=OAOB=3,則OC=3. (2)∵C是BM的中點,即OC為斜邊BM的中線, ∴OC=BC,∴點C的橫坐標為32, 又OC=3,點C在x軸下方, ∴C32,-32, 設直線BM的解析式為y=kx+b(k≠0), 把點B(3,0),C32,-32代入得3k+b=0,32k+b=-32,解得b=-3,k=33, ∴直線BM的解析式為y=33x-3, ∵點C32,-32在拋物線上,代入拋物線解析式,解得a=233, ∴拋物線解析式為y=233x2-833x+23. (3)存在. 設點P的坐標為x,233x2-833x+23,過點P作PQ⊥x軸交直線BM于點Q, 則Qx,33x-3, ∴PQ=33x-3-233x2-833x+23=-233x2+33x-33, 當△BCP面積最大時,四邊形ABPC的面積最大, S△BCP=12PQ(3-x)+12PQx-32=34PQ=-32x2+934x-934, 當x=94時,S△BCP有最大值,即四邊形ABPC的面積最大,此時點P的坐標為94,-538. 能力升級 2.解析 (1)∵直線y=x-5交x軸于點B,交y軸于點C, ∴B(5,0),C(0,-5), ∵拋物線y=ax2+6x+c過點B,C, ∴0=25a+30+c,-5=c. ∴a=-1,c=-5. ∴拋物線的解析式為y=-x2+6x-5. (2)①∵OB=OC=5,∠BOC=90, ∴∠ABC=45. ∵拋物線y=-x2+6x-5交x軸于A,B兩點, ∴A(1,0). ∴AB=4. ∵AM⊥BC, ∴AM=22. ∵PQ∥AM, ∴PQ⊥BC. 若以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,則PQ=AM=22. 過點P作PD⊥x軸交直線BC于點D,則∠PDQ=45. ∴PD=2PQ=4. 設P(m,-m2+6m-5),則D(m,m-5). 分兩種情況討論如下: (i)當點P在直線BC上方時, PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4. ∴m1=1(舍去),m2=4. (ii)當點P在直線BC下方時, PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4. ∴m3=5+412,m4=5-412. 綜上,點P的橫坐標為4或5+412或5-412. ②M136,-176或236,-76. 3.解析 (1)當y=0時,-33x2-233x+3=0,解得x1=1,x2=-3, ∵點A在點B的左側, ∴A(-3,0),B(1,0), ∵當x=0時,y=3, ∴C(0,3), 設直線l的表達式為y=kx+b(k≠0),將B,C兩點坐標代入得0=k+b,3=b, 解得k=-3,b=3, 故直線l的表達式為y=-3x+3. (2)①當點M在AO上運動時,如圖, 由題意可知AM=t,OM=3-t,MC⊥MD,過點D作x軸的垂線垂足為N,∠DMN+∠CMO=90,∠CMO+∠MCO=90, ∴∠MCO=∠DMN, 在△MCO與△DMN中, MD=MC,∠MCO=∠DMO,∠COM=∠MND, ∴△MCO≌△DMN, ∴MN=OC=3,DN=OM=3-t, ∴D(t-3+3,t-3); 同理,當點M在OB上運動時,如圖, OM=t-3,△MCO≌△DMN,MN=OC=3, ON=t-3+3,DN=OM=t-3, ∴D(t-3+3,t-3). 綜上得,D(t-3+3,t-3). 將D點坐標代入直線的解析式,得t=6-23. ②線段CD是等腰直角三角形CMD的斜邊,若CD最小,則CM最小, ∵M在AB上運動, ∴當CM⊥AB時,CM最短,CD邊最短,即CM=CO=3,根據(jù)勾股定理得CD邊最小值為6. (3)當點M在AO上運動,即0
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