第二章 推理與證明章末檢測卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1證明：<1<n1(n>1)，當(dāng)n2時(shí)，中間式子等于()A1B1C1 D1解析：n2時(shí)中間式子的最后一項(xiàng)為，所以中間子式為1.答案：D2用反證法證明命題：“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被3整除”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為()Aa，b都能被3整除Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除Da不能被3整除解析：反證法證明命題時(shí)，應(yīng)假設(shè)命題的反面成立“a，b中至少有一個(gè)能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故應(yīng)假設(shè)a，b都不能被3整除答案：B3下列推理正確的是()A把a(bǔ)(bc)與loga(xy)類比，則有：loga(xy)logaxlogayB把a(bǔ)(bc)與sin(xy)類比，則有：sin(xy)sinxsinyC把(ab)n與(xy)n類比，則有：(xy)nxnynD把(ab)c與(xy)z類比，則有：(xy)zx(yz)解析：A中類比的結(jié)果應(yīng)為loga(xy)logaxlogay，B中如xy時(shí)不成立，C中如xy1時(shí)不成立，D中對于任意實(shí)數(shù)分配律成立答案：D4若a>0，b>0，則有()A.>2ba B.<2baC.2ba D.2ba解析：(2ba)0，2ba.答案：C5證明命題：“f(x)ex在(0，)上是增函數(shù)”現(xiàn)給出的證法如下：因?yàn)閒(x)ex，所以f(x)ex.因?yàn)閤>0，所以ex>1,0<<1.所以ex>0，即f(x)>0.所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，使用的證明方法是()A綜合法 B分析法C反證法 D以上都不是解析：這是從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結(jié)論的，是綜合法，故選A.答案：A6下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f(x)>0恒成立因?yàn)閒(x)x3在(1,1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在(1,1)內(nèi)，f(x)3x2>0恒成立以上推理中()A大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C結(jié)論正確 D推理形式錯(cuò)誤解析：f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f(x)0恒成立，故大前提錯(cuò)誤故選A.答案：A7用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n2n能被3整除”的第二步中，當(dāng)nk1時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將5k12k1變形為()A(5k2k)45k2kB5(5k2k)32kC(52)(5k2k)D2(5k2k)35k解析：5k12k15k52k25k52k52k52k25(5k2k)32k.答案：B8將平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算相類比，易得下列結(jié)論：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc，則正確的結(jié)論有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律，故正確，錯(cuò)誤；由abac(a0)得a(bc)0，從而bc0或a(bc)，故錯(cuò)誤答案：B9觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28 B76C123 D199解析：記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案：C10數(shù)列an滿足a1，an11，則a2 017等于()A. B1C. 2 D3解析：a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 017a13672a1.答案：A11已知abc0，則abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0解析：因?yàn)?abc)2a2b2c22(abbcac)0，又因?yàn)閍2b2c20.所以2(abbcac)0.故選D.答案：D12如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為(n2)，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如，則第7行第4個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為()A. B.C. D.解析：由“第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知，第7行第1個(gè)數(shù)為，由“每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知，第7行第2個(gè)數(shù)為.同理易知，第7行第3個(gè)數(shù)為，第7行第4個(gè)數(shù)為.故選A.答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確答案填在題中橫線上)13已知x，yR，且xy>2，則x，y中至少有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為_解析：“至少有一個(gè)”的反面為“一個(gè)也沒有”即“x，y均不大于1”，亦即“x1且y1”答案：x，y均不大于1(或者x1且y1)14觀察下列不等式1<，1<，1<，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_解析：先觀察左邊，第一個(gè)不等式為2項(xiàng)相加，第二個(gè)不等式為3項(xiàng)相加，第三個(gè)不等式為4項(xiàng)相加，則第五個(gè)不等式應(yīng)為6項(xiàng)相加，右邊分子為分母的2倍減1，分母即為所對應(yīng)項(xiàng)數(shù)，故應(yīng)填1<.答案：1<15若三角形的周長為L，面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則有r，類比此結(jié)論，在四面體中，設(shè)其表面積為S，體積為V，內(nèi)切球半徑為R，則有_解析：三角形可分解為三個(gè)以內(nèi)切圓圓心為頂點(diǎn)的三角形，于是有LrS，即r，四面體可分解為四個(gè)以四面體各面為底面，內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)的三棱錐于是SRV，即R.答案：R16用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式時(shí)，其左邊1，則從“nk到nk1”應(yīng)將左邊加上_解析：f(k)1，f(k1)1，f(k1)f(k).答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(10分)把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立(1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交；(2)如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行解析：(1)類比為：如果一個(gè)平面和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必和另一個(gè)相交結(jié)論是正確的，證明如下：設(shè)，且a，則必有b，若與不相交，則必有.又，與a矛盾，必有b.(2)類比為：如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行，結(jié)論是錯(cuò)誤的，這兩個(gè)平面也可能相交18(12分)已知a>0，b>0，用分析法證明：.證明：因?yàn)閍>0，b>0，要證，只要證，(ab)24ab，只要證(ab)24ab0，即證a22abb20，而a22abb2(ab)20恒成立，故成立19(12分)已知a1a2a3a4>100，求證a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.解析：假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，則a1a2a3a425252525100，這與已知a1a2a3a4>100矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤所以a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.20(12分)ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C與a，b，c都成等差數(shù)列，求證ABC為正三角形證明：因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以2BAC，又ABC，由得B.又a，b，c成等差數(shù)列，所以b，由余弦定理得b2a2c22accosB，將代入得2a2c22ac.化簡得a22acc20，即(ac)20，所以ac，由得abc，所以ABC為正三角形21(12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)(1)sin213cos217sin13cos17.(2)sin215cos215sin15cos15.(3)sin218cos212sin18cos12.(4)sin2(18)cos248sin(18)cos48.(5)sin2(25)cos255sin(25)cos55.試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；根據(jù)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解析：選擇(2)式計(jì)算如下sin215cos215sin15cos151sin30.三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.22(12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足an，且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明解析：(1)a2，又a1，則a2，類似地，求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜想an.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1時(shí)，由(1)可知猜想成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k2)時(shí)猜想成立，即ak.則當(dāng)nk1時(shí)，ak1，Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1，k(2k3)ak1，ak1.由nk1時(shí)猜想也成立由可知，猜想對任何nN*都成立an的通項(xiàng)公式為an.