1 變化的快慢與變化率 平均變化率某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如下：x(min)0102030405060y()3938.738.53837.637.336.8問題1：試比較時間x從0 min到20 min和從20 min到30 min體溫變化情況，哪段時間體溫變化較快？提示：從20 min到30 min變化快問題2：如何刻畫體溫變化的快慢？提示：用平均變化率問題3：平均變化率一定為正值嗎？提示：不一定可正，可負(fù)，可為零平均變化率(1)定義：對一般的函數(shù)yf(x)來說，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變化率為.其中自變量的變化x2x1稱作自變量的改變量，記作x，函數(shù)值的變化f(x2)f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作y.這樣，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即.(2)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化的快慢.瞬時變化率王先生于近日接到了一份交通違規(guī)處罰單，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行駛王先生正上初中的兒子說：“一定是交警叔叔搞錯了，那段路正好長60 km，我們用了一個小時，您當(dāng)時還問我這段路我們的平均速度呢！”問題1：限速70 km/h是指的平均速度不超過70 km/h嗎？提示：不是，是指瞬時速度問題2：瞬時速度與平均速度有何區(qū)別？提示：瞬時速度刻畫的是物體在某一時刻運動的快慢；平均速度刻畫的是物體在一段時間內(nèi)運動的快慢問題3：王先生在該路段平均速度為60 km/h，是否可能超速行駛？提示：有可能瞬時變化率(1)定義：對于一般的函數(shù)yf(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，設(shè)xx1x0，yf(x1)f(x0)，則函數(shù)的平均變化率是.而當(dāng)x趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率(2)作用：刻畫函數(shù)在一點處變化的快慢1.為平均變化率，其中x可正、可負(fù)，不能為零2瞬時變化率的實質(zhì)是當(dāng)平均變化率中自變量的改變量趨于0時的值 求平均變化率例1求函數(shù)yx3在x0到x0x之間的平均變化率，并計算當(dāng)x01，x時平均變化率的值思路點撥直接利用定義求平均變化率，先求出表達(dá)式，再代入數(shù)據(jù)，就可以求出相應(yīng)平均變化率的值精解詳析yf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3，函數(shù)yx3在x0到x0x之間的平均變化率為：3x3x0x(x)2.當(dāng)x01，x時，平均變化率的值為31231()2.一點通求平均變化率的步驟是：(1)先計算函數(shù)值的改變量yf(x1)f(x0)；(2)再計算自變量的改變量xx1x0；(3)求平均變化率.1在平均變化率的定義中，自變量的增量x滿足()Ax0Bx0Cx0 Dx0答案：C2一物體的運動方程是s3t2，則在一小段時間2,2.1內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()A0.41B3C4D4.1解析：4.1.答案：D3求函數(shù)yf(x)2x25在區(qū)間2,2x內(nèi)的平均變化率解：yf(2x)f(2)2(2x)25(2225)8x2(x)2，82x.即平均變化率為82x.求瞬時變化率例2以初速度v0(v0>0)豎直上拋的物體，t s時的高度s與t的函數(shù)關(guān)系為sv0tgt2，求物體在時刻t0處的瞬時速度思路點撥本題可先求物體在t0到t0t之間的平均速度，然后求當(dāng)t趨于0時的瞬時速度精解詳析sv0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，v0gt0gt.當(dāng)t趨于0時，趨于v0gt0，故物體在時刻t0處的瞬時速度為v0gt0.一點通求函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時變化率，可以先求函數(shù)yf(x)在x0到x0x處的平均變化率，再求當(dāng)x趨于0時平均變化率的值，即為函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時變化率4一個物體的運動方程為s1t，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是()A1米/秒 B1米/秒C2米/秒 D2米/秒解析：由1，得物體在3秒末的瞬時速度是1米/秒答案：B5求函數(shù)f(x)x23在x1處的瞬時變化率解：yf(1x)f(1)(1x)23(123)(x)22x22(x)22x，x2.當(dāng)x趨于0時，趨于2.所以函數(shù)yx23在x1時的瞬時變化率為2.1平均變化率刻畫的是函數(shù)值在區(qū)間x0，x0x上變化的快慢2瞬時變化率刻畫的是函數(shù)值在某時刻變化的快慢3x趨于0時平均變化率就趨近于函數(shù)在某點處的瞬時變化率 1在曲線yx21上取一點(1,2)及鄰近一點(1x，2y)，則()AxBx2Cx2 D2x解析：yf(1x)f(1)(1x)21(121)(x)22x，x2.答案：C2某質(zhì)點的運動規(guī)律為st23，則在時間段(3,3t)內(nèi)的平均速度等于()A6t B6tC3t D9t解析：6t.答案：A3一塊木頭沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為st2，則t2時，此木頭在水平方向的瞬時速度為()A2 B1C. D.解析：因為s(2t)222t(t)2，所以t，當(dāng)t趨于0時，t趨于，因此t2時，木塊在水平方向瞬時速度為. 答案：C4水以恒速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中，按順序與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖像相對應(yīng)的一項是()A BC D解析：以第二個容器為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以恒速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快，反映在圖像上，符合上述變化情況而第三個容器在開始時高度增加快，后來時高度增加慢，圖像適合上述變化情況故應(yīng)選C.答案：C5函數(shù)f(x)ln x1從e到e2的平均變化率為_解析：yf(e2)f(e)(ln e21)(ln e1)1，xe2e，.答案：6質(zhì)點的運動方程是s(t)，則質(zhì)點在t2時的速度為_解析：，當(dāng)t趨于0時，.答案：7設(shè)某跳水運動員跳水時，相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系為h(t)5t26t10.(1)求該運動員從時間t1到時間t3的平均速度；(2)求該運動員在時間t1處的瞬時速度解：(1)由h(t)5t26t10，得該運動員從時間t1到時間t3的平均速度：14.故該運動員從時間t1到時間t3的平均速度為14 m/s；(2)5t4，當(dāng)t趨于0時，趨于4，即該運動員在時間t1處的瞬時速度為4 m/s.8若一物體運動方程如下：(位移：m，時間：s)s求：(1)物體在t3,5內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t1時的瞬時速度解：(1)物體在t3,5內(nèi)的時間變化量為t532，物體在t3,5內(nèi)的位移變化量為s3522(3322)3(5232)48，物體在t3,5上的平均速度為24(m/s)(2)求物休的初速度v0即求物體在t0的瞬時速度.物體在t0附近的平均變化率為3t18，當(dāng)t趨于0時，趨于18，即物體的初速度為18 m/s.(3)物體在t1時瞬時速度即為函數(shù)在t1處的瞬時變化率物體在t1附近的平均變化率為3t12.當(dāng)t趨于0時，趨于12，即物體在t1時的瞬時速度為12 m/s.