課時訓(xùn)練(十三)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(一)|夯實基礎(chǔ)|1.拋物線y=2x2,y=-2x2,y=12x2的共同性質(zhì)是()A.開口向上B.對稱軸是y軸C.都有最高點D.y隨x的增大而增大2.設(shè)二次函數(shù)y=(x-3)2-4的圖象的對稱軸為直線l.若點M在直線l上,則點M的坐標(biāo)可能是()A.(1,0)B.(3,0)C.(-3,0)D.(0,-4)3.xx南寧 將拋物線y=12x2-6x+21向左平移2個單位后,得到新拋物線的解析式為()A.y=12(x-8)2+5B.y=12(x-4)2+5C.y=12(x-8)2+3D.y=12(x-4)2+34.xx寧波 拋物線y=x2-2x+m2+2(m是常數(shù))的頂點在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限5.xx濰坊 已知二次函數(shù)y=-(x-h)2(h為常數(shù)),當(dāng)自變量x的值滿足2x5時,與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1,則h的值為()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或66.xx廣州 當(dāng)x=時,二次函數(shù)y=x2-2x+6有最小值.7.xx黔三州 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表格所示,那么它的圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)是.x-1012y03438.已知常數(shù)a(a是整數(shù))滿足下面兩個條件:二次函數(shù)y1=-13(x+4)(x-5a-7)的圖象與x軸的兩個交點位于坐標(biāo)原點的兩側(cè);一次函數(shù)y2=ax+2的圖象在一、二、四象限.(1)求整數(shù)a的值;(2)在所給直角坐標(biāo)系中分別畫出y1,y2的圖象,并求出當(dāng)y1<y2時,自變量x的取值范圍.圖K13-19.xx宜賓節(jié)選 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,0),且經(jīng)過點(4,1),如圖K13-2,直線y=14x與拋物線交于A,B兩點,直線l為y=-1.(1)求拋物線的解析式;(2)在l上是否存在一點P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.圖K13-210.xx溫州 如圖K13-3所示,過拋物線y=14x2-2x上一點A作x軸的平行線,交拋物線于另一點B,交y軸于點C,已知點A的橫坐標(biāo)為-2.(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo);(2)在AB上任取一點P,連結(jié)OP,作點C關(guān)于直線OP的對稱點D.連結(jié)BD,求BD的最小值;當(dāng)點D落在拋物線的對稱軸上,且在x軸上方時,求直線PD的函數(shù)表達(dá)式.圖K13-3|拓展提升|11.xx杭州 設(shè)直線x=1是函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是實數(shù),且a<0)的圖象的對稱軸,()A.若m>1,則(m-1)a+b>0B.若m>1,則(m-1)a+b<0C.若m<1,則(m-1)a+b>0D.若m<1,則(m-1)a+b<012.xx湖州 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx(a>0)的頂點為C,與x軸的正半軸交于點A,它的對稱軸與拋物線y=ax2(a>0)交于點B.若四邊形ABOC是正方形,則b的值是.圖13-413.xx金華、麗水 如圖K13-5,拋物線y=ax2+bx(a0)過點E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),點C,D在拋物線上.設(shè)A(t,0),當(dāng)t=2時,AD=4.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2)當(dāng)t為何值時,矩形ABCD的周長有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2時的矩形ABCD不動,向右平移拋物線.當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且直線GH平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.圖K13-5參考答案1.B2.B3.D4.A解析 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的頂點坐標(biāo)為(-b2a,4ac-b24a),-b2a=-22=1>0,4ac-b24a=4(m2+2)-44=m2+1>0,故此拋物線的頂點在第一象限.故選A.5.B解析 拋物線y=-(x-h)2,當(dāng)x=h時,y有最大值0,而當(dāng)自變量x的值滿足2x5時,與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1,故h<2或h>5.當(dāng)h<2時,若2x5,則y隨x的增大而減小,故當(dāng)x=2時,y有最大值,此時-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去),此時h=1;當(dāng)h>5時,若2x5,則y隨x的增大而增大,故當(dāng)x=5時,y有最大值,此時-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),此時h=6.綜上可知h=1或6.故選擇B.6.15解析 y=x2-2x+6=(x-1)2+5,當(dāng)x=1時,y最小值=5.7.(3,0)解析 由題表可知,拋物線上的點(0,3),(2,3)是對稱點,所以對稱軸是直線x=1,因為函數(shù)圖象與x軸的一個交點是(-1,0),所以(3,0)是拋物線與x軸的另一個交點.8.解:(1)由題意可知5a+7>0,a<0,解得-75<a<0,a為整數(shù),a=-1.(2)y1=-13(x+4)(x-2),y2=-x+2,畫出圖象如圖所示.當(dāng)x<-1或x>2時,y1<y2.9.解:(1)拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,0),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2.該拋物線經(jīng)過點(4,1),1=4a,解得a=14,拋物線的解析式為y=14(x-2)2=14x2-x+1.(2)存在.根據(jù)題意,得:y=14x,y=14x2-x+1,解得x=1,y=14或x=4,y=1,點A的坐標(biāo)為(1,14),點B的坐標(biāo)為(4,1).作點B關(guān)于直線l的對稱點B,連結(jié)AB交直線l于點P,此時PA+PB取得最小值(如圖所示).點B(4,1),直線l為y=-1,點B的坐標(biāo)為(4,-3).設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k0),將A(1,14),B(4,-3)的坐標(biāo)代入y=kx+b,得k+b=14,4k+b=-3,解得k=-1312,b=43,直線AB的解析式為y=-1312x+43,當(dāng)y=-1時,有-1312x+43=-1,解得x=2813,點P的坐標(biāo)為(2813,-1).10.解析 (1)知道拋物線的解析式,求對稱軸:直線x=-b2a=4,用待定系數(shù)法求出A(-2,5),B(10,5).(2)利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)且僅當(dāng)O,D,B三點共線時,BD取得最小值;根據(jù)軸對稱和勾股定理求得D,P兩點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線PD的函數(shù)表達(dá)式.解:(1)由拋物線的解析式y(tǒng)=14x2-2x,得對稱軸為直線x=-b2a=4.由題意知,點A的橫坐標(biāo)為-2,代入解析式求得y=5,當(dāng)14x2-2x=5時,x1=10,x2=-2,A(-2,5),B(10,5).(2)連結(jié)OD,OB,利用三角形三邊關(guān)系可得BDOB-OD,當(dāng)且僅當(dāng)O,D,B三點共線時,BD取得最小值.由題意知OC=OD=5,OB=102+52=55,BD最小值為:OB-OD=55-5.設(shè)對稱軸與直線AB交于點M,與x軸交于點N,由題得點D在x軸上方的對稱軸上,則點P是線段CD的垂直平分線與AB的交點.連結(jié)OD.在RtODN中,DN=52-42=3,D(4,3),DM=2.設(shè)P(x,5),在RtPMD中,(4-x)2+22=x2,得x=52,P52,5.易得直線PD的函數(shù)表達(dá)式為y=-43x+253.11.C解析 直線x=1是函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是實數(shù),且a<0)的圖象的對稱軸,x=-b2a=1,即2a+b=0,a<0,2a<0,b>0,當(dāng)m<1時,(m-1)a>0,則(m-1)a+b>0.故選C.12.-2解析 由拋物線y=ax2+bx可知,點C的橫坐標(biāo)為-b2a,縱坐標(biāo)為-b24a.四邊形ABOC是正方形,-b2a=b24a.b=-2.故填-2.13.解:(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax(x-10).當(dāng)t=2時,AD=4,點D的坐標(biāo)是(2,4).4=a2(2-10),解得a=-14.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-14x2+52x.(2)由拋物線的對稱性得BE=OA=t,AB=10-2t.當(dāng)x=t時,y=-14t2+52t.矩形ABCD的周長=2(AB+AD)=2(10-2t)+(-14t2+52t)=-12t2+t+20=-12(t-1)2+412.-12<0,0<1<10,當(dāng)t=1時,矩形ABCD的周長有最大值,最大值是412.(3)連結(jié)DB,取DB的中點,記為P,則P為矩形ABCD的中心,由矩形的對稱性知,平分矩形ABCD面積的直線必過點P.連結(jié)OD,取OD中點Q,連結(jié)PQ.當(dāng)t=2時,點A,B,C,D的坐標(biāo)分別為(2,0),(8,0),(8,4),(2,4).結(jié)合圖象知,當(dāng)點G,H分別落在線段AB,DC上且直線GH過點P時,直線GH平分矩形ABCD的面積.ABCD,線段OD平移后得到線段GH,線段OD的中點Q平移后的對應(yīng)點是P.拋物線的平移距離=OG=DH=QP.在OBD中,PQ是中位線,PQ=12OB=4.拋物線向右平移的距離是4.