面面垂直的性質(zhì)一、考點突破知識點課標要求題型說明面面垂直的性質(zhì)1. 理解面面垂直性質(zhì)定理的含義；2. 能運用性質(zhì)定理證明相關問題；3. 理解并掌握空間“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化。選擇題填空題解答題垂直關系是高考的重點內(nèi)容，同學們要多練習多思考，認真掌握。其中二面角的平面角是難點。二、重難點提示重點：平面和平面垂直的性質(zhì)定理及二面角的平面角問題。難點：平面和平面垂直的性質(zhì)定理的應用及二面角的平面角問題考點一：平面與平面垂直的性質(zhì)1. 平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。符號語言，l，a，ala圖形語言簡記為：面面垂直線面垂直2 .平面與平面垂直的其他性質(zhì)（1）如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)。其圖形語言和符號語言如下：（2）如果兩個平面垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面，即（3）如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面，即（4）三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即考點二：二面角的求法【規(guī)律總結(jié)】作二面角的一般方法（1）定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，如圖，則AOB為二面角l的平面角。由定義法作出二面角的平面角，若已知二面角的兩個面是特殊的三角形（如以棱為公共邊的兩個等腰三角形），這時可以選取棱上的特殊點，如公共底邊的中點或公共底邊上高的垂足，從特殊點出發(fā)根據(jù)定義作出二面角的平面角。（2）垂面法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角，如圖，AOB為二面角l的平面角。（3）線面垂直法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的A點向另一個平面作垂線，垂足為B，由點B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則AOB為二面角的平面角或其補角，如圖，AOB為二面角l的平面角，這種方法是求二面角大小最常用的方法。（4）射影面積法設二面角為，過作于點，過作于點，連接，則是二面角的平面角，于是?！疽c詮釋】對于特殊圖形，不易作出二面角的平面角時，可用上述公式計算?！疽?guī)律總結(jié)】求二面角同求異面直線所成的角及斜線與平面所成的角一樣，步驟如下：簡稱為“一作二證三算四答”。例題1 （平面與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何證明題中的應用）（洛陽）如圖，P是ABC所在平面外的一點，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求證：BCAC。思路分析： 答案：證明：過A作AEPC于點E，由平面PAC平面PBC，且平面PAC平面PBCPC，可知AE平面PBC，又BC平面PBC，故AEBC，又PA平面ABC，BC平面ABC，故PABC，PAAEA，BC平面PAC，又AC平面PAC，故BCAC。技巧點撥：1. 在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題。2. 利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：（1）兩個平面垂直；（2）直線必須在其中一個平面內(nèi)；（3）直線必須垂直于它們的交線。例題2 （求二面角）如圖，四棱錐PABCD是底面邊長為1的正方形，PDBC，PD1，PC。（1）求證：PD面ABCD；（2）求二面角APBD的大小。思路分析：（1） 利用線面垂直的判定定理；（2） 利用線面垂直法找出二面角的平面角，在三角形中計算角的大小。答案：（1）證明：PDDC1，PC，PDC是直角三角形，即PDCD，又PDBC，BCCDC，PD面ABCD；（2）解：連接BD，設BD交AC于點O，過O作OEPB于點E，連接AE，PD面ABCD，AOPD，又AOBD，AO面PDB，AOPB，又OEPB，OEAOO，PB平面AEO，從而PBEO，故AEO就是二面角APBD的平面角，PD面ABCD，PDBD，在RtPDB中，PB，又，OE，tanAEO，AEO60，故二面角APBD的大小為60。技巧點撥：用線面垂直法作出二面角是最常用的找平面角的方法，關鍵是找到線面垂直關系。垂面法求二面角的平面角【滿分訓練】如果二面角l的平面角是銳角，點P到，和棱l的距離分別為2、4和4，求二面角的大小。思路分析：點P可能在二面角l內(nèi)部，也可能在外部，應分別處理。答案：如圖（1）是點P在二面角l的內(nèi)部的情況。圖（2）是點P在二面角l的外部的情況。PA，PAl，ACl，l平面PAC，同理，l平面PBC，而平面PAC平面PBCPC，平面PAC與平面PBC應重合，即A、C、B、P在同一平面內(nèi)，則ACB是二面角l的平面角，在RtAPC中，sinACP，ACP30，在RtBPC中，sinBCP，BCP45，故ACB304575或ACB453015。即二面角l的大小為75或15。技巧點撥：本題主要考查求二面角的另一種方法“垂面法”，所謂“垂面法”即過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面相交產(chǎn)生兩條射線，這兩條射線所成的角即為二面角的平面角。