2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理(平行班，含解析)一、選擇題（每小題5分，共60分）1.用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)，中至少有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為（ ）A.，都是奇數(shù) B.，都是偶數(shù)C.，中至少有兩個(gè)偶數(shù) D.，中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)【答案】D【解析】結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”的反面為恰有兩個(gè)偶數(shù)或恰有三個(gè)偶數(shù)或恰沒(méi)有偶數(shù),因此選D.2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則，逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】由求導(dǎo)公式知sinx=cosx 故A錯(cuò)誤，3x=3xln3，故C錯(cuò)誤，1x=-1x2，故D錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式，屬于容易題.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+n+3=n+3n+42nN*時(shí)，第一步驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（ ）A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給式子可知左邊為1+2+(1+3)，可知正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，左邊應(yīng)為1+2+(1+3)，即1+2+3+4，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法及歸納推理的能力，屬于容易題.4.向如下圖所示的容器中勻速注水時(shí)，容器中水面高度h隨時(shí)間變化的大致圖像是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因?yàn)槿萜髦虚g凸，所以勻速注水時(shí)，開(kāi)始和結(jié)束時(shí)水位高度變化快中間時(shí)水位高度變化慢，可知選C.【詳解】結(jié)合容器的形狀，可知一開(kāi)始注水時(shí)，水高度變化較快當(dāng)水位接近中部時(shí)變慢并持續(xù)一段時(shí)間，接近上部時(shí)，水位高度變快，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)函數(shù)概念的理解及函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí)，結(jié)合生活實(shí)踐，屬于中檔題.5.若雙曲線x2a2y2b2=1的一條漸近線方程為x3+y=0則此雙曲線的離心率為（ ）A. 103 B. 31010 C. 10 D. 22【答案】A【解析】試題分析：由條件知，ba=3，所以e=1+(ba)2=1+19=103，所以選C.考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì).6.若平面與的法向量分別是a=2,4,3，b=1,2,2，則平面與的位置關(guān)系是（ ）A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 無(wú)法確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給向量可知其數(shù)量積為零，故知兩向量垂直.【詳解】因?yàn)閍b=（2,4,3)(1,2,2)=0，所以ab，所以兩平面垂直.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的法向量，向量的數(shù)量積，利用法向量判斷平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.7.已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓x216+y29=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在邊BC上，則ABC的周長(zhǎng)是（ ）A. 8 B. 12 C. 83 D. 16【答案】D【解析】ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓x216+y29=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC上，由橢圓的定義可得：ABC的周長(zhǎng)是4a=44=16故答案為：C。8.下列選敘述錯(cuò)誤的是（ ）A. 命題“若x1，則x23x+20”的逆否命題是“若x23x+2=0，則x=1”B. 若“p或q”為真命題，則p，q均為真命題C. “若am2<bm2，則a<b”的否命題為假命題D. “x>2”是“x23x+2>0”的充分不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)四種命題的關(guān)系及且或命題的真假逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由逆否命題概念知A選項(xiàng)正確，根據(jù)或命題真假可知p,q至少一個(gè)命題為真，故p，q均為真命題錯(cuò)誤，C選項(xiàng)中，原命題的否命題為“若am2bm2,則a>b ”，當(dāng)m=0時(shí)，am2bm2成立，推不出a>b，命題不成立，是假命題，D選項(xiàng)中x>2能推出x2-3x+2>0成立，x2-3x+2>0推不出x>2，所以“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件，所以選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四種命題的關(guān)系，含且或命題的真假，及充分必要條件，屬于中檔題.9.如圖，空間四面體DABC的每條邊都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則FEDC等于（ ）A. 14 B. 14 C. 34 D. 34【答案】A【解析】試題分析：空間四面體D一ABC的每條邊都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)FE=12DB,|DB|=|DC|=1,BDC=3 FEDC=12DBDC=1211cos3=14考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算10.設(shè)F為拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，過(guò)F作傾斜角為30的直線交C于A、B兩點(diǎn)，則AB=（ ）A. 323 B. 16 C. 32 D. 43【答案】C【解析】【分析】寫(xiě)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程消元，可根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng).【詳解】由題意知F（2,0），AB所在直線方程為y=tan30(x2)=33(x2) ，聯(lián)立y2=8x消元得y283y16=0，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=83,y1y2=16，所以|AB|=1+3643+416=32，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題.11.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說(shuō)：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說(shuō)：“我沒(méi)有作案，是丙偷的”；丙說(shuō)：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說(shuō)：“乙說(shuō)的是事實(shí)”。經(jīng)過(guò)調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說(shuō)的是真話，另外兩人說(shuō)的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（ ）A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲【答案】C【解析】甲乙丙丁甲乙丙丁由四個(gè)所說(shuō)，得上面的表，由于是兩對(duì)兩錯(cuò)，如果乙說(shuō)的是對(duì)的，則甲也對(duì)丁也對(duì)，不符。所以乙說(shuō)假話，小偷不是丙。同時(shí)丙說(shuō)的也是假話。即甲、丙說(shuō)的是真話，小偷是乙，選B.12.如圖，在ABC中，CAB=CBA=30，AC、BC邊上的高分別為BD、AE，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)D、E的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為（ ）A. 3 B. 1 C. 23 D. 2【答案】A【解析】若是橢圓，則|DA|+|DB|=2a，|AC|=2c ，|DA|=3|DB|，|AB|=2|DB| ，而橢圓的離心率e1=ca=|AB|DA|+|DB|=2|DB|3|DB|+|DB|=31 ，若是雙曲線，則|DA|DB|=2a，e2=ca=|AB|DA|DB|=2|DB|3|DB|DB|=3+1，所以1e1+1e2=131+13+1=3+12+312=3，故選A.二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知向量a=1,x,3，b=2,4,y，且ab，那么x+y等于_【答案】-4【解析】【分析】根據(jù)向量平行，可求出x,y,即可求解.【詳解】a/b a=b ,即1=2x=43=y ，解得x=2y=6 ，x+y=4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.14.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F0,2的距離和到直線：y=2的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為是_【答案】x2=8y【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義知，動(dòng)點(diǎn)軌跡為拋物線，焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線為y=2，p=4，即可寫(xiě)出拋物線方程.【詳解】由題意知，該點(diǎn)軌跡是以F（0,2）為焦點(diǎn)，y=2為準(zhǔn)線的拋物線，其中p=4，所以方程為x2=8y.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題.15.四個(gè)小動(dòng)物換座位，開(kāi)始是鼠、猴、兔、貓分別坐在編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)位子上（如圖），第一次前后排動(dòng)物互換座位，第二次左右列動(dòng)物互換座位，這樣交替進(jìn)行下去，那么第xx次互換座位后，小兔的座位對(duì)應(yīng)的編號(hào)為_(kāi)【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，交換的規(guī)律是先前后再左右，由圖可以看出，此交換的周期是4,由此規(guī)律即可求解.【詳解】由圖，經(jīng)過(guò)4次交換后，每個(gè)小動(dòng)物又回到了原來(lái)的位置，故此變換的規(guī)律是周期為4，因?yàn)?018=4504+2，所以經(jīng)過(guò)xx次互換座位后，小兔對(duì)應(yīng)的是編號(hào)2的位置.【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題.解題的關(guān)鍵是根據(jù)前幾個(gè)變換方式歸納出周期為4的規(guī)律，歸納推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想對(duì)事物作出判斷.16.已知橢圓C：x24+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF1PF2的范圍為_(kāi)【答案】2,1【解析】【詳解】由題意，得x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F2(3,0)，設(shè)P(2cos,sin)，則PF1=(-3-2cos,-sin)PF2=(3-2cos,-sin)，PF1PF2=(-3-2cos)(3-2cos)+sin2=sin2+4cos2-3=3cos2-2；又因?yàn)?cos21，所以-23cos2-21，即PF1PF2 范圍為-2,1.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.三、解答題（共6小題，共70分）17.設(shè)命題p：方程x2a+6+y2a7=1表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線；命題q：存在xR，使得x24x+a<0（1）寫(xiě)出命題q的否定q；（2）若“p且q”為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【答案】（1）q：對(duì)任意的xR，x24x+a0;（2）4,7【解析】【分析】（1）根據(jù)命題否定特征即可寫(xiě)出（2）由題意知p真q假，分別得出相應(yīng)條件求交集即可.【詳解】（1）q：對(duì)任意的xR，x2-4x+a0（2）因?yàn)椤皃且q”為真所以p真，q真又p真時(shí)，a+6a-7<0 得-6<a<7q真時(shí)，=16-4a0 得a4所以，的取值范圍為4,7【點(diǎn)睛】本題主要考查了存在性命題的否定，且命題的真假，屬于中檔題.18.（1）設(shè)ab>0，用綜合法證明：a3+b3a2b+ab2；（2）用分析法證明：6+7>22+5.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題目可采用作差法求證（2）用分析法，采用平方的方法可證明【詳解】（1）a3+b3(a2b+ab2)=a2(ab)+b2(ba)=(ab)(a2b2)=(ab)2(a+b) 而(ab)20，a+b>0 a3+b3(a2b+ab2)0a3+b3a2b+ab2 （2）要證6+7>22+5，只需證(6+7)2>(22+5)2，即證42>210，只需證(42)2>(210)2，即42>40，而42>40顯然成立，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明方法中的綜合法及分析法，屬于中檔題.用分析法證明問(wèn)題時(shí)，注意證明的格式，是從結(jié)論出發(fā)尋求結(jié)論成立的條件.19.如圖，EA面ABC，BD面ABC，ACBC，AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中點(diǎn)，（1）求直線EM與CD所成角的大??；（2）求直線EM與平面BCD所成角的余弦值?！敬鸢浮浚?）90（2）63【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角計(jì)算即可（2）利用直線上的向量與平面的法向量的夾角即可得出.【詳解】如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA、CB所在的直線分別為x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)C與平面ABC垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C0,0,0， A2,0,0， B0,2,0， E2,0,1，D0,2,2，M1,1,0（1）EM=-1,1,-1， CD=0,2,2所以cos=cos<EM,CD>=0所以直線EM與CD所成角的大小為90；（2）EM=-1,1,-1，平面BCD的法向量可取n=1,0,0所以sin=cos<EM,n>=13=33,cos=1sin2=63【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角公式，屬于中檔題題.求線面角時(shí)，取斜線上任意一向量，求其與平面的法向量的夾角的余弦的絕對(duì)值，即為線面角的正弦值.20.（1）已知曲線y=x3，求曲線在x=1處的切線方程；（2）已知直線y=kx1與曲線y=lnx相切，求k的值?！敬鸢浮浚?）3xy2=0 （2）1【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求斜率即可（2）設(shè)切點(diǎn)為x0,y0，根據(jù)兩函數(shù)在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)相等及該點(diǎn)為公共點(diǎn)列方程組即可求解.【詳解】（1）切點(diǎn)為1,1 又y=3x2 所以k切=3所以切線方程為：3x-y-2=0（2）設(shè)切點(diǎn)為x0,y0，又y=1x所以y0=kx0+1k=1x0y0=lnx0x0=1y0=0k=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線方程的求法，屬于中檔題.21.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，ABC=60，PA面ABCD，PA=4，F(xiàn)是棱PA上一點(diǎn)，且AF=1，E為PD的一個(gè)靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)。（1）求證：CE面BDF（2）求平面BDF與平面PAD所成的銳二面角的余弦值?！敬鸢浮浚?）見(jiàn)解析；（2）1510【解析】【分析】（1）以AD，AP所在的直線分別為y軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系，求平面BDF的法向量，可證明與CE垂直，從而得證（2）求出兩個(gè)平面的法向量，求其夾角余弦值即可得出二面角的余弦值.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD，AP所在的直線分別為y軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則A0,0,0，D0,4,0，P0,0,4，F(xiàn)0,0,1，B23,-2,0，C23,2,0（1）CE=CD+13DP=-23,23,43設(shè)面BFD的法向量為n=x,y,z，又BD=-23,6,0，DF=0,-4,1所以-23x+6y=0-4y+z=0 取y=1 得n=3,1,4所以CEn=-6+23+163=0 即CEn又CE面BDF 所以CE面BDF（2）由（1）面BFD的法向量為n=3,1,4又面PAD的法向量可取n1=1,0,0所以cos=cos<n,n1>=33+1+161=1510【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量證明直線與平面平行，利用空間向量求兩個(gè)平面的二面角，屬于中檔題.利用向量法求二面角時(shí)，注意法向量的夾角余弦與二面角余弦的關(guān)系，可能相等，也可能互為相反數(shù).22.已知橢圓C以F11,0，F(xiàn)21,0為焦點(diǎn)，且離心率e=22（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)M0,2點(diǎn)斜率為k的直線l1與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)P、Q，求k的范圍；（3）設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在直線l1，滿足（2）中的條件且使得向量OP+OQ與AB垂直？如果存在，寫(xiě)出l1的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮?1)x22+y2=1；(2)-,-2222,+；(3)答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題意可得c,根據(jù)離心率可求出,即可寫(xiě)出方程（2）寫(xiě)出直線方程，聯(lián)立方程組消元，通過(guò)判別式大于0求得k的取值范圍（3）利用向量的坐標(biāo)，可計(jì)算OP+OQ與AB的數(shù)量積為0時(shí)，k不滿足>0,故不存在.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距長(zhǎng)分別為、b、由題設(shè)知：c=1由e=ca=1a=12，得a=2，則b=1橢圓C的方程為x22+y2=1（2）過(guò)M0,2點(diǎn)斜率為k的直線l1：y-2=kx即l1：y=kx+2與橢圓C方程聯(lián)立消y得2k2+1x2+42x+2=0“*”由l1與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)知其=32k2-82k2+1>0得k<-22或k>22k的范圍是-,-2222,+（3）設(shè)Px1,y1、Qx2,y2，則x1、x2是“*”的二根則，則則由題設(shè)知、，若，須得不存在滿足題設(shè)條件的.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的方程、離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.設(shè)直線方程時(shí)，要考慮斜率存不存在兩種情況，最后還要考慮計(jì)算出的k是否符合條件.