空間直角坐標系一、考點突破知識點課標要求題型說明空間直角坐標系1. 了解空間直角坐標系的建系方式；2. 能在空間直角坐標系中求出點的坐標或根據(jù)已知坐標作出點。解答題在二維平面直角坐標系基礎上的推廣，是空間立體幾何的代數(shù)化，是以后學習“空間向量”等內容的基礎，具有承前啟后的作用。二、重難點提示重點：空間直角坐標系的有關概念、空間點的坐標的確定方法。難點：空間直角坐標系的產生過程。考點一：空間直角坐標系1. 空間直角坐標系的概念從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系Oxyz，點O叫作坐標原點，x軸、y軸和z軸叫作坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面。2. 右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系?！疽c詮釋】通常，將空間直角坐標系畫在紙上時，x軸與y軸、x軸與z軸均成135角，而z軸垂直于y軸。y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的單位長度的一半。3. 空間一點的坐標對于空間任意一點A，作點A在三條坐標軸上的射影，即經過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P、Q、R。點P、Q、R在相應數(shù)軸上的坐標依次為x、y、z，我們把有序實數(shù)組（x，y，z）叫作點A的坐標，記為A（x，y，z）。【重要提示】特殊位置的點的坐標： 原點坐標； 軸上的點的坐標為，其中為任意實數(shù)； 軸上的點的坐標為，其中為任意實數(shù)； 軸上的點的坐標為，其中為任意實數(shù)； 平面（通過軸和軸的平面）上的點的坐標為，其中、為任意實數(shù)； 平面（通過軸和軸的平面）上的點的坐標為，其中、為任意實數(shù)； 平面（通過軸和軸的平面）上的點的坐標為，其中、為任意實數(shù)?？键c二：空間直角坐標系中點的讀取方法1. 投影法：即找到點在三條坐標軸上的投影點。方法是過點作三個平面分別垂直于軸、軸和軸于、三點（、即為點在三條坐標軸上的投影點），點、在軸、軸和軸上的坐標分別為、，則就是點的坐標。2. 路徑法：先從原點出發(fā)沿軸的正方向或負方向移動個單位，再沿軸的正方向或負方向移動個單位，最后沿軸的正方向或負方向移動個單位即可讀出此點坐標。考點三：空間直角坐標系中點的對稱點關于原點的對稱點是；點關于軸的對稱點是；點關于軸的對稱點是；點關于軸的對稱點是；點關于平面的對稱點是；點關于平面的對稱點是；點關于平面的對稱點是。【重要提示】空間直角坐標系中的點關于坐標軸、坐標平面對稱點的坐標求法，可用口訣“關于誰誰不變，其余的均相反”來記憶?！倦S堂練習】點P（a，b，c）到坐標平面xOy的距離是_。思路分析：過點P向xOy平面作垂線，該垂線上的所有點在軸上的投影相同，在軸上的投影也相同，只有在軸上的不同。答案：點P在xOy平面的射影的坐標是P（a，b，0），所以d|c|。技巧點撥：過P（a，b，c）向xOy平面作垂線，則垂線上的點坐標為（a，b，m）（其中m為變數(shù)）；過P（a，b，c）向xOz平面作垂線，則垂線上的點坐標為（a，m，c）（其中m為變數(shù)）；過P（a，b，c）向yOz平面作垂線，則垂線上的點坐標為（m，b，c）（其中m為變數(shù)）。例題1 （求空間內點的坐標）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AD3，AB5，AA14，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担瑢懗龃碎L方體各頂點的坐標。思路分析：以D為原點建系找各點在xOy平面內的射影找各點在z軸上的正射影寫出點的坐標。答案：如圖，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系Dxyz。由題意知長方體的棱長ADBC3，DCAB5，DD1AA14，顯然D（0，0，0），A在x軸上，A（3，0，0）；C在y軸上，C（0，5，0）；D1在z軸上，D1（0，0，4）；B在xOy平面內，B（3，5，0）；A1在xOz平面內，A1（3，0，4）；C1在yOz平面內，C1（0，5，4）。由B1在xOy平面內的射影為B（3，5，0），B1的橫坐標為3，縱坐標為5。B1在z軸上的射影為D1（0，0，4），B1的豎坐標為4，B1（3，5，4）。技巧點撥：1. 建立空間直角坐標系時應遵循的兩個原則（1）讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面上。（2）充分利用幾何圖形的對稱性。2. 求某點M坐標的方法過點M分別作三個坐標平面的平行平面（或垂面），分別交坐標軸于A、B、C三點，確定x、y、z。具體理解，可以以長方體為模型，要掌握一些特殊點（落在坐標軸上的點和落在坐標平面上的點）的坐標表示的特征。例題2 （空間直角坐標系中關于對稱點）如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1的對稱中心為坐標原點，交于同一頂點的三個面分別平行于三個坐標平面，頂點A（2，3，1），求其他7個頂點的坐標。思路分析：充分運用長方體是對稱的幾何圖形這一性質求解。答案：設長方體的對稱中心為坐標原點O，頂點A（2，3，1），A關于原點的對稱點C1的坐標為（2，3，1）。C與C1關于xOy坐標平面對稱，C（2，3，1）。A1與C關于原點對稱，A1（2，3，1）。點C與點D關于yOz坐標平面對稱，D（2，3，1）。點B1與點D關于原點對稱，B1（2，3，1）。同理可求得點D1的坐標為（2，3，1），點B的坐標為（2，3，1），綜上知長方體其他7個頂點的坐標分別為C1（2，3，1），C（2，3，1），A1（2，3，1），B（2，3，1），B1（2，3，1），D（2，3，1），D1（2，3，1）。 技巧點撥：空間對稱的特點是“關于誰對稱，誰不變，其余互為相反數(shù)”，如關于x軸對稱的兩個點，橫坐標不變，縱、豎坐標分別互為相反數(shù)；關于xOy平面對稱的兩個點，橫、縱坐標不變，豎坐標互為相反數(shù)。平時解題時要注意方法規(guī)律的總結。忽略空間直角坐標系中坐標軸兩兩垂直導致建系錯誤例題 在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1底面ABC，所有的棱長都是1，建立適當?shù)淖鴺讼?，并寫出各點的坐標?！惧e解】如圖所示，分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，0，0）。各棱長均為1，且B、C、A1均在坐標軸上，B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（0，1，1）?！惧e因分析】三棱柱各棱長均為1，ABC為正三角形，即BAC60，故本題做錯的根本原因在于建立直角坐標系時沒有抓住空間直角坐標系三條坐標軸兩兩垂直的本質。【防范措施】建立空間直角坐標系時，應選擇從一點出發(fā)的三條兩兩垂直的線作為坐標軸，如果圖中沒有滿足條件的直線，可以通過作“輔助線”，達到建系的目的。【正解】如圖所示，取AC的中點O和A1C1的中點O1，連接BO、OO1，可得BOAC，BOOO1，分別以OB、OC、OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。各棱長均為1，OAOCO1C1O1A1，OB。A、B、C均在坐標軸上，A（0，0），B（，0，0），C（0，0）。點A1、C1均在yOz平面內，A1（0，1），C1（0，1）。點B1在xOy面內的射影為點B，且BB11，B1（，0，1）。