第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1復(fù)數(shù)的概念(1)虛數(shù)單位i；(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式zabi(a，bR)；(3)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)2復(fù)數(shù)集3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算若兩個(gè)復(fù)數(shù)z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)(1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(2)減法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(3)乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；(4)除法：i(z20)；(5)實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復(fù)數(shù)的情況；(6)特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算：in(n為正整數(shù))的周期性運(yùn)算；(1i)22i；若i，則31,120.4共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模(1)若zabi，則abi，z為實(shí)數(shù)，z為純虛數(shù)(b0)(2)復(fù)數(shù)zabi的模|z|，且z|z|2a2b2.5復(fù)數(shù)的幾何形式(1)用點(diǎn)Z(a，b)表示復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，用向量O表示復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，Z稱為z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)(坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)0)(2)任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi一一對(duì)應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)Z(a，b)，也一一對(duì)應(yīng)著一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的向量.6復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量、不共線，則復(fù)數(shù)z1z2是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1z2是連接向量、的終點(diǎn)，并指向Z1的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).題型一分類討論思想的應(yīng)用當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部含有字母時(shí)，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行分類討論分別確定什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)當(dāng)xyi沒(méi)有說(shuō)明x，yR時(shí)，也要分情況討論例1已知復(fù)數(shù)z(a25a6)i(aR)，試求實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，z分別為(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)解(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有當(dāng)a6時(shí)，z為實(shí)數(shù)(2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，則有a1且a6，即當(dāng)a(，1)(1,1)(1,6)(6，)時(shí)，z為虛數(shù)(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，則有不存在實(shí)數(shù)a，使z為純虛數(shù)跟蹤演練1當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，za22a(a23a2)i.(1)為實(shí)數(shù)；(2)為純虛數(shù)；(3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限內(nèi)；(4)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線xy0上解(1)zRa23a20，解得a1或a2.(2)z為純虛數(shù)，則即故a0.(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則a0，或a2.a的取值范圍是(，0)(2，)(4)依題設(shè)(a22a)(a23a2)0，a2.題型二數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法本章中，復(fù)數(shù)本身的幾何意義、復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)它們得以相互轉(zhuǎn)化涉及的主要問(wèn)題有復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置、復(fù)數(shù)運(yùn)算及模的最值問(wèn)題等例2已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A、B在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為12i，26i，OABC.求頂點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z.解設(shè)zxyi，x，yR，如圖OABC，OCBA，kOAkBC，|zC|zBzA|，即解得或OABC，x23，y24(舍去)，故z5.跟蹤演練2已知復(fù)數(shù)z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解(1)|z1|i(1i)3|i|1i|32.(2)如圖所示，由|z|1可知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1，圓心為O(0,0)的圓，而z1對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z1(2，2)所以|zz1|的最大值可以看成是點(diǎn)Z1(2，2)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值由圖知|zz1|max|z1|r(r為圓半徑)21.題型三轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用在求復(fù)數(shù)時(shí)，常設(shè)復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，把復(fù)數(shù)z滿足的條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x，y滿足的條件，即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的基本思想在本章中非常重要例3已知z是復(fù)數(shù)，z2i，均為實(shí)數(shù)，且(zai)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)zxyi(x，yR)，則z2ix(y2)i為實(shí)數(shù)，y2.又(x2i)(2i)(2x2)(x4)i為實(shí)數(shù)，x4.z42i，又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限解得2<a<6.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)跟蹤演練3已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y.解設(shè)xabi(a，bR)，則yabi.又(xy)23xyi46i，4a23(a2b2)i46i，或或或或或或題型四類比思想的應(yīng)用復(fù)數(shù)加、減、乘、除運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是實(shí)數(shù)的加減乘除，加減法是對(duì)應(yīng)實(shí)、虛部相加減，而乘法類比多項(xiàng)式乘法，除法類比根式的分子分母有理化，且要注意i21.在運(yùn)算的過(guò)程中常用來(lái)降冪的公式有(1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kZ)；(2)(1i)22i；(3)設(shè)i，則31，2，120，2，3n1，3n1(nN*)等；(4)31；(5)作復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，有如下技巧：i，利用此結(jié)論可使一些特殊的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化例4計(jì)算：(1)(1i)(1i)；(2)2014.解(1)方法一(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.方法二原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)2014()1007iii0.跟蹤演練4計(jì)算：.解2(i3)i12i.高考對(duì)本章考查的重點(diǎn)1對(duì)復(fù)數(shù)的概念的考查是考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，要求準(zhǔn)確理解虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)的模等概念2對(duì)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的考查可能性較大，要加以重視，其中復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算類似；對(duì)于復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)最后整理成abi(a，bR)的結(jié)構(gòu)形式3對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的考查在高考中一般會(huì)結(jié)合復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算考查復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義